2021-2022高中數(shù)學必修四期末試卷(含答案)

一、選擇題1．已知，，則的值為（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知的內角、、的對邊分別為、、，邊上的高為，且，則的最大值是（）A． B． C． D．4．若，則下列說法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正確的是（）A．① B．② C．③ D．①③5．已知非零向量，夾角為，且，,則等于（）A． B． C． D．6．已知、為單位圓上的兩個動點，且滿足，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．7．已知為等邊三角形，則()A． B． C． D．8．在中，為邊上的高，為的中點，若，其中，則等于（）A．1 B．C． D．9．已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關于軸對稱，那么函數(shù)的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱10．將函數(shù)的圖象橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），然后向左平移個單位，所得函數(shù)記為.若，，，且，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，12．設函數(shù)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（）A．4 B．5 C．12 D．13二、填空題13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)m的最大值是______.14．若，且，則的值是____________．15．已知，若對任意不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．已知，，，，如果P點是所在平面內一點，且，那么的值等于________.17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中(點為圖象的一個最高點)，則函數(shù)=___________.18．如圖，游樂場所的摩天輪勻速旋轉，每轉一周需要l2min，其中心O離地面45米，半徑40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請問：當你第六次距離地面65米時，用了________分鐘？19．已知向量，，若單位向量與平行，則=___________.20．已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，則的最大值是_______.三、解答題21．如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，當時，以x軸非負半軸為始邊作角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，．（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；（2）利用兩角差的余弦公式與誘導公式．證明：．（附：平面上任意兩點，間的距離公式22．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值．23．已知，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角.24．如圖，在梯形中，E為的中點，．（1）求；（2）求與夾角的余弦值．25．已知函數(shù)滿足條件：，且．（1）求的解析式；（2）由函數(shù)的圖象經過適當?shù)淖儞Q可以得到的圖象．現(xiàn)提供以下兩種變換方案：①→→②→→請你選擇其中一種方案作答，并將變換過程敘述完整．26．已知函數(shù)．（1）用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內的簡圖；（2）說明函數(shù)的圖像可以通過的圖像經過怎樣的變換得到？（3）若，寫出的值.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】利用二倍角公式化簡得到再利用同角的平方關系求解.【詳解】由題得所以因為，所以因為，所以.故選：D【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三變（變角、變名、變式）.2．C解析：C【解析】因為，所以，所以，故選C.3．C解析：C【分析】由余弦定理化簡可得，利用三角形面積公式可得，解得，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解其最大值．【詳解】由余弦定理可得：，故：，而，故，所以：．故選．【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．4．B解析：B【分析】取判斷①③，根據(jù)余弦函數(shù)的性質結合二倍角公式判斷②.【詳解】當時，，則①③錯誤；，即，②正確；故選：B【點睛】本題主要考查了求余弦函數(shù)的值域以及二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題.5．A解析：A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，兩邊平方即可求解.【詳解】,,，夾角為,,,解得：，故選：A【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的運算性質，數(shù)量積的定義，屬于中檔題.6．B解析：B【分析】作出圖形，可求得線段的中點的軌跡方程為，由平面向量加法的平行四邊形法則可得出，求得的取值范圍，進而可求得的取值范圍.【詳解】由，可知為等邊三角形，設為的中點，且，所以點的軌跡為圓，又，所以，，即.由平面向量加法的平行四邊形法則可得，因此.故選：B.【點睛】本題考查平面向量模長的取值范圍的計算，考查了圓外一點到圓上一點距離的取值范圍的計算，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.7．B解析：B【分析】判斷兩向量夾角容易出錯，是，而不是【詳解】由圖發(fā)現(xiàn)的夾角不是而是其補角，【點睛】本題考查的是兩向量夾角的定義，屬于易錯題，該類型題建議學生多畫畫圖.8．D解析：D【分析】根據(jù)題設條件求得，利用向量的線性運算法則和平面向量的基本定理，求得，得到，即可求解.【詳解】在中，為邊上的高，可得，又由，所以,由向量的運算法則，可得,又因為為的中點，，因為，所以，則.故選：D.【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算法則，以及平面向量的基本定理的應用，其中解答中熟記向量的運算法則，結合平面向量的基本定理，求得是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.9．B解析：B【分析】由相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可知，從而可求出，再由的圖像向左平移個單位后，得到的圖象關于軸對稱，可得，從而可求出的值，然后逐個分析各個選項即可【詳解】因為相鄰兩條對稱軸的距離為，故，，從而.設將的圖像向左平移單位后，所得圖像對應的解析式為，則，因的圖像關于軸對稱，故，所以，，所以，因，所以.又，令，故對稱軸為直線，所以C，D錯誤；令，故，所以對稱中心為，所以A錯誤，B正確.故選：B【點睛】此題考查了三角函數(shù)的圖像變換和三角函數(shù)的圖像和性質，屬于基礎題.10．D解析：D【分析】先利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖像的對稱性，求得的值，可得的值.【詳解】將函數(shù)的圖象橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），可得的圖象；再向左平移個單位，所得函數(shù)，若，，，則，，，，，則.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.11．D解析：D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，然后可以求出，通過函數(shù)經過的最大值點求出值，即可得到結果.【詳解】由函數(shù)的圖象可知:，.當，函數(shù)取得最大值1，所以，，，，故選：D.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式，通過周期求的值，通過最值點求的值是解題的關鍵，屬于基礎題.12．A解析：A【分析】由題意知函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)等價于函數(shù)與圖象在區(qū)間上交點的個數(shù)，作出兩個函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可求解.【詳解】令可得，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)等價于函數(shù)與圖象在區(qū)間上交點的個數(shù).分別作出與圖象，由圖知兩個函數(shù)圖象在區(qū)間上有個交點，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是，故選：A【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有幾個不同的解就有幾個零點；（2）利用函數(shù)的零點存在性定理：利用函數(shù)的零點存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，并且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質，（如單調性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；將函數(shù)拆成兩個函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點個數(shù)；（4）利用函數(shù)的性質：若能確定函數(shù)的單調性，則其零點個數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個周期內的零點個數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點個數(shù).二、填空題13．【分析】利用輔助角公式進行化簡結合函數(shù)的單調性進行求解即可【詳解】解：當時∵在區(qū)間上單調遞增∴得即m的最大值為故答案為：【點睛】本題考查二倍角公式和輔助角公式化簡考查三角函數(shù)的單調性屬于基礎題解析：【分析】利用輔助角公式進行化簡，結合函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】解：，當時，，∵在區(qū)間上單調遞增，∴，得，即m的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查二倍角公式和輔助角公式化簡，考查三角函數(shù)的單調性，屬于基礎題.14．【分析】由誘導公式化簡再利用同角三角函數(shù)間的關系和角的范圍可得答案【詳解】由且得故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式和同角三角函數(shù)間的關系在運用公式時注意角的范圍屬于基礎題解析：【分析】由誘導公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的關系和角的范圍可得答案.【詳解】由，且，得．故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式和同角三角函數(shù)間的關系，在運用公式時，注意角的范圍，屬于基礎題.15．【分析】先將化解成正弦型然后根據(jù)取值范圍求出最值根據(jù)恒成立可建立不等式解出不等式即可【詳解】當時恒成立解得故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的化解以及以及已知范圍求正弦型函數(shù)的最值解析：【分析】先將化解成正弦型，然后根據(jù)取值范圍求出最值，根據(jù)恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【詳解】，當時，，，恒成立，，解得.故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的化解以及以及已知范圍求正弦型函數(shù)的最值.16．13【分析】由條件可得可得由可得出答案【詳解】又故答案為：13【點睛】本題主要考查了平面向量線性運算和數(shù)量積的運算性質的應用屬于中檔題解析：13【分析】由條件可得，，可得，由，可得出答案.【詳解】，，，，，，，，，又，.故答案為：13.【點睛】本題主要考查了平面向量線性運算和數(shù)量積的運算性質的應用，屬于中檔題.17．【分析】由點的坐標可得的值由圖象可求得函數(shù)的圖象可得該函數(shù)的最小正周期可求得的值再將點的坐標代入函數(shù)的解析式結合的取值范圍可求得的值可得出函數(shù)的解析式【詳解】由于函數(shù)的圖象的一個最高點為則由圖象可知解析：【分析】由點的坐標可得的值，由圖象可求得函數(shù)的圖象可得該函數(shù)的最小正周期，可求得的值，再將點的坐標代入函數(shù)的解析式，結合的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式．【詳解】由于函數(shù)的圖象的一個最高點為，則，由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，，，將點的坐標代入函數(shù)的解析式得，可得，，則，，解得，故答案為：【點睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.18．【分析】根據(jù)題意得到化簡得到或得到答案【詳解】設時間為根據(jù)題意：故故或故或故故答案為：【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應用意在考查學生的應用能力解析：【分析】根據(jù)題意得到，化簡得到或，得到答案.【詳解】設時間為，，根據(jù)題意：，故.故或，故或，.故.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應用，意在考查學生的應用能力.19．或【分析】由向量的坐標運算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得結論【詳解】由題意∴又∴或故答案為：或【點睛】易錯點睛：本題考查求單位向量一般與平行的單位向量有兩個它們是相反向量解析：或．【分析】由向量的坐標運算求出，并求出它的模，用除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得結論．【詳解】由題意，∴，又，∴或．故答案為：或．【點睛】易錯點睛：本題考查求單位向量，一般與平行的單位向量有兩個，它們是相反向量：．只寫出一個向量是錯誤的．20．【分析】設設則有聯(lián)立四個方程令整理得到從方程有根判別式大于等于零求得結果【詳解】設由題意可知則由與夾角為所以①且②③④因為聯(lián)立①②③④令即整理得將其看作關于的方程若方程有解則有整理得解得因為所以的最解析：【分析】設設，，則有，，，，聯(lián)立四個方程，令，整理得到，從方程有根，判別式大于等于零求得結果.【詳解】設，，由題意可知，則由與夾角為，所以，①且，②，③，④因為，聯(lián)立①②③④，，令，即，，整理得，將其看作關于的方程，若方程有解，則有，整理得，解得，因為，所以的最大值是，故答案為：.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關向量的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義式求得兩向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運算法則求得其結果；（3）利用向量的平方與向量模的平方相等，得到等量關系式；（4）聯(lián)立，從方程有根，判別式大于等于零，得到不等關系式，求得結果.三、解答題21．（1）兩角差的余弦公式為：，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先構造向量，再利用數(shù)量積代入計算即得結果；（2）利用誘導公式知，再結合兩角差的余弦公式展開即得結論.【詳解】解：（1）兩角差的余弦公式為：.證明：依題意，，則，故由得，，即，當時，容易證明上式仍然成立．故成立；（2）證明：由誘導公式可知，.而，故.即證結論.【點睛】本題解題關鍵在于構造向量，綜合運用數(shù)量積的定義法運算和坐標運算，即突破難點.22．（1）；（2）．【分析】（1）由二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質得出結論；（2）已知條件即為，由平方關系求得，然后由兩角和的余弦公式計算．【詳解】解：（1）所以（2）因為，所以，即所以因為，所以．【點睛】思路點睛：本題考查二倍角公式，兩角和與差的正弦、余弦公式，求三角函數(shù)的周期．解題思路是利用二倍角公式和兩角和與差的正弦（余弦）公式把函數(shù)式變形為一個角的一個三角函數(shù)形式，即形式，然后結合正弦函數(shù)性質求解．在求三角函數(shù)值時，要注意已知角和未知角的關系，通過分析已知角和未知角的關系選用恰當?shù)墓接嬎?，同時注意角的范圍的判斷．23．（1）；（2）.【分析】（1）由已知利用向量的數(shù)量積的定義可求，然后由可求（2）設與的夾角，代入向量的夾角公式可求【詳解】解：（1），，且與夾角為.（2）設與的夾角則.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及向量的數(shù)量積的性質的簡單應用，屬于基礎試題24．（1）0；（2）.【分析】（1）由為等邊三角形得出，由向量的加法和減法運算得出，再由向量的數(shù)量積公式得出的值；（2）設，則，由數(shù)量積公式得出，進而得出與夾角的余弦值．【詳解】解：（1）因為，所以為等邊三角形，又E為的中點所以則（2）設，則設與的夾角為，則．【點睛】本題主要考查了利用定義求向量的數(shù)量積以及夾角，屬于中檔題.25．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)周期求ω，利用對稱軸求φ；（2）選擇①，先平移變換，后進行周期變換；選擇②，先周期變換，后進行平移變換.【詳解】（1）由，知函數(shù)的周期為π，所以，即.由，知函