必修五不等式專題復(fù)習(xí)

《不等式》專題復(fù)習(xí)知識回顧一．不等式的主要性質(zhì)：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：(同向可加)(4)乘法法則：(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大?。鹤鞑罘ǎㄗ鞑睢冃巍袛喾枴Y(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式二．解不等式1.一元二次不等式的解集：2、簡單的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶不過；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法（轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式）注意：右邊不是零時，先移項再通分，化為上兩種情況再處理4、不等式的恒成立問題：應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上三、線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法：定點法3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件②線性目標(biāo)函數(shù)③線性規(guī)劃問題④可行解、可行域和最優(yōu)解：4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by＝0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解四．均值不等式1．若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.2．如果a,b是正數(shù)，那么變形：①a+b≥；②ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用)；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。典例剖析題型一：不等式的性質(zhì)對于實數(shù)中，給出下列命題：①；②；求的值域。注意：在應(yīng)用均值不等式求最值時，若等號取不到，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的值域。（條件不等式）若實數(shù)滿足，則的最小值是.已知，且，求的最小值。已知x，y為正實數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.題型六：利用基本不等式證明不等式19、已知a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc16．（12分）設(shè)a>0,b>0，且a+b=1，求證：．題型七：均值定理實際應(yīng)用問題：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。四.線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值滿足不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值22、已知實系數(shù)一元二次方程的兩個實根為、,并且,．則的取值范圍是23、已知滿足約束條件：,則的最小值是24、已知變量（其中a>0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為。25、已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于（）題型九：實際應(yīng)用某餅店制作的豆沙月餅每個成本35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本20元，售價30元?，F(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個數(shù)不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？易錯點剖析1、抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是不等式應(yīng)用的重要一環(huán)，根據(jù)結(jié)論與條件，要想促使結(jié)論與條件的“溝通”，必須仔細(xì)分析結(jié)構(gòu)特點，選用恰當(dāng)?shù)牟坏仁交蜃兪?；?、正數(shù)、滿足=1，的最大值。分析（1）本題是求“積”的最大值，常規(guī)是向“和”或“平方和”轉(zhuǎn)化，并根據(jù)“和”或“平方和”是否是定值，做出選擇。（2）要利用=1，就必須去掉根號，因此要向“平方和”轉(zhuǎn)化，那么應(yīng)用變式①也就順理成章了。解：∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得“=”?！嗟淖畲笾凳抢?、已知正數(shù)、滿足=1，求最小值；分析：將條件與結(jié)論放在一起，可以看出，要想從條件式推出結(jié)論式，必須完成從“和”向“平方和”的轉(zhuǎn)化；若從結(jié)論入手轉(zhuǎn)化，再利用條件，就必須完成從“平方和”向“和”的轉(zhuǎn)化。顯然，不管是由條件推出結(jié)論還是由結(jié)論轉(zhuǎn)化再利用條件，都離不開變式④。解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=’?！嘧钚≈凳?。注：轉(zhuǎn)化中必要的“技術(shù)處理”對均值不等式的應(yīng)用，除了要會從結(jié)構(gòu)入手分析外，必要的“技術(shù)處理”還必須掌握如：“配系數(shù)”（將“”寫成“”或“”）；“拆項”（將“”寫成“”）；“加、減湊項”（將“”寫成“”）；“升降冪”（）等都是常用的“技術(shù)處理”方法。已知，求證：分析：從結(jié)構(gòu)特點和字母的次數(shù)看與變式⑤吻合，可從此式入手。解：∵若b>0,則，∴……①……②∴由①+②。例4、已知求的最小值。分析：本題求“和”的最小值，但“積”并不是定值，故需要進(jìn)行“拆項”變形等“技術(shù)處理”，注意到，容易找到解題的突破口…解：由，于是≥=，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”∴的最小值是16。另外也可由==…≥來求得此最小值。使用均值定理的注意事項（易錯提醒）應(yīng)用均值不等式求最值方便、快捷，但必須注意條件“一正、二定、三相等”，即涉及的變量都是正數(shù)，其次是和（平方和）為定值或積為定值，然后必須注意等號可以成立。如的最小值是5；但使用均值不等式容易誤解為是4，因為不成立（不能取“=”）。在使用均值不等式時，要注意它們多次使用再相加相乘的時候，等號成立的條件是否一致。如例4，要保證兩次均值不等式的取等條件相同（同時滿足）。在使用均值定理求最值的時候，如果等號成立的條件不具備，應(yīng)考慮用函數(shù)的單調(diào)性來解決。如求的最小值，可利用函數(shù)的單調(diào)性來解決。應(yīng)用舉例：循序漸進(jìn)，學(xué)會變型（配套訓(xùn)練）1.求的最小值。（2）2.求的最大值。（）3.求函數(shù)的值域。（[-1，]）不等式專題檢測一、選擇題：1．若，且，則下列不等式一定成立的是 （） A．B． C.D．2、若，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（） A． B． C． D．3．若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C． D．4．已知實數(shù)x,y滿足x2＋y2＝1，則(1－xy)(1＋xy)有 （） A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1 C．最小值和最大值 D．最小值15．設(shè)x>0,y>0,,，a與b的大小關(guān)系 （） A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b6．若關(guān)于的不等式內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C． D．7．若時總有則實數(shù)的取值范圍是(）A． B． C． D．8．甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點（） A．甲 B．乙C．甲乙同時到達(dá) D．無法判斷9．設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．10.設(shè)f(x)是奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x、y，有則f(x)在區(qū)間[a,b]上（） A．有最大值f(a) B．有最小值f(a) C．有最大值 D．有最小值第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題：11．已知，求的取值范圍．12．若．13．函數(shù)的值域為．14．要挖一個面積為432m2的矩形魚池，周圍兩側(cè)分別留出寬分別為3m，4m的堤堰，要想使占地總面積最小，此時魚池的長、寬15、下列四個命題中：①a+b≥2②sin2x+≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若=1，則x+y的最小值是12