中南大學最優(yōu)控制論文

《最優(yōu)控制理論》課程總結姓名：班級：學號：任課老師：一、摘要最優(yōu)控制理論（optimalcontroltheory），是現(xiàn)代控制理論的一個主要分支，著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標實現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學科。它是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分。其所研究的問題可以概括為：對一個受控的動力學系統(tǒng)或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運動在由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標狀態(tài)的同時，其性能指標值為最優(yōu)。這類問題廣泛存在于技術領域或社會問題中。這類問題廣泛存在于技術領域或社會問題中。例如，確定一個最優(yōu)控制方式使空間飛行器由一個軌道轉(zhuǎn)換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個溫度的調(diào)節(jié)規(guī)律和相應的原料配比使化工反應過程的產(chǎn)量最多。因此最優(yōu)控制理論對于解決實際問題和促進科學的發(fā)展具有重要的意義和作用。關鍵字：最優(yōu)控制變分法極大值原理動態(tài)規(guī)劃二、引言控制工程領域早期的經(jīng)典控制方法和技術早已被工程師們所熟知并進行廣泛的應用。一般而言經(jīng)典控制非常適合解決單輸入單輸出線性定長系統(tǒng)的控制器設計問題。然而對于高階系統(tǒng)或多輸入多輸出系統(tǒng)，采用經(jīng)典控制方法很難獲得令人滿意的控制性能。在這種情況下，控制學者于20世紀60年代初開始研究狀態(tài)空間方法，并依此發(fā)展出現(xiàn)代控制的理論框架。其中最優(yōu)控制則是現(xiàn)代控制理論的主要分支，解決最優(yōu)控制問題的主要方法有變分法、極值原理和動態(tài)規(guī)劃。從數(shù)學的觀點來看，最優(yōu)控制研究的問題是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，屬于變分學的范疇，但它只能解決一類簡單的最優(yōu)控制問題，因為它只對無約束或開集性約束是有效的，而無法解決工程實際中經(jīng)常碰到的容許控制屬于閉集的一類最優(yōu)控制問題。這就促使了控制學者們開辟求解最優(yōu)控制問題的新途徑。蘇聯(lián)學者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學者R.貝爾曼1956年提出的動態(tài)規(guī)劃，對最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用，而這兩種理論則被稱作是最優(yōu)控制理論的兩大基石，它們對現(xiàn)代控制理論的發(fā)展起了重要的推動作用。三、最優(yōu)控制問題的分類

①

按狀態(tài)方程分類：連續(xù)最優(yōu)化系統(tǒng)、離散最優(yōu)化系統(tǒng)。

②

按控制作用實現(xiàn)方法分類：開環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)、閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)。

③

按性能指標分類：最小時間控制問題、最少燃料控制問題、線性二次型性能指標最優(yōu)控制問題、非線性性能指標最優(yōu)控制問題。

④

按終端條件分類：固定終端最優(yōu)控制問題、自由終端（可變）最優(yōu)控制問題、終端時間固定最優(yōu)控制問題、終端時間可變最優(yōu)控制問題。

⑤

按應用領域來分：終端控制問題、調(diào)節(jié)器問題、跟蹤問題、伺服機構問題、效果研究問題、最小時間問題、最少燃料問題。四、主要方法為了解決最優(yōu)控制問題，必須建立描述受控運動過程的運動方程，給出控制變量的允許取值范圍，指定運動過程的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)，并且規(guī)定一個評價運動過程品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標。通常，性能指標的好壞取決于所選擇的控制函數(shù)和相應的運動狀態(tài)。系統(tǒng)的運動狀態(tài)受到運動方程的約束，而控制函數(shù)只能在允許的范圍內(nèi)選取。解決最優(yōu)控制問題的主要方法有變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。1、變分法變分法的發(fā)展可追溯到17世紀末，后來在20世紀60年代被引入解決最優(yōu)控制問題。它是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學領域，與處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。變分法的關鍵定理是歐拉方程。它對應于泛函的臨界點。在尋找函數(shù)的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小者（或者兩者都不是）。其基本思想是將變分問題轉(zhuǎn)化為微分方程的邊值問題進行求解，是一種非常經(jīng)典的方法，但它只能解決容許控制屬于開集的最優(yōu)控制問題，無法解決工程實際中經(jīng)常遇到的容許控制屬于閉集的最優(yōu)控制。下面將分一些基本情況對變分法進行簡要概述。1）、無等式約束在無等式約束下求取函數(shù)極值的必要條件為?LL當然僅滿足必要條件并不能保證泛函取得極值，還應考慮下列情況①端點固定此時X(t0)=X0,X(tf則只需δX②端點可變考慮端點約束Xt0=則需加入橫截條件[α若當端點時刻固定，端點狀態(tài)自由時，其橫截條件簡化為δL(2）、有等式約束處理有等式約束的泛函極值問題通常通過構造拉格朗日方程將有等式約束的問題轉(zhuǎn)化為無等式約束的問題，下面列舉一些常見的等式約束，求泛函極值的必要條件。(1)連續(xù)時間①差分方程在起點時刻，終點時刻，起點狀態(tài)固定，終點狀態(tài)自由的情況下，其必要條件為狀態(tài)方程：x協(xié)調(diào)方程：λ極值條件：δ初始條件：X橫截條件：λ②積分約束在起點時刻，終點時刻，起點狀態(tài)固定，終點狀態(tài)自由，積分約束為t0狀態(tài)方程：xt=f[x協(xié)態(tài)方程：λλt=-極值條件：?約束條件：x橫截條件：λ③狀態(tài)和控制等式約束給定的等式約束為：φxt,ut狀態(tài)方程：x協(xié)態(tài)方程：λ極值條件：?等式約束：φ約束條件：x橫截條件：λ④終端約束在起點固定，終點約束為ξx狀態(tài)方程：x協(xié)態(tài)方程：λ極值條件：?約束條件：xt0橫截條件：λt⑤內(nèi)點等式約束在內(nèi)點等式約束為Nx起點固定，終點約束為ξx狀態(tài)方程：x協(xié)態(tài)方程：λ=極值條件：?H約束條件：xt0橫截條件：λt內(nèi)點約束:N角條件：λ(2)離散時間在離散的情況下求得目標函數(shù)的最優(yōu)控制序列{u(k)狀態(tài)方程：X協(xié)態(tài)方程：λ極值條件：?終端條件：ξx橫截條件：λk2、極大值原理用變分法求泛函極值建立在系統(tǒng)控制向量不收任何限制的基礎上，容許控制為一個開集，即δu任意，u不收限制，它遍及整個空間，且δH1)連續(xù)時間在端點約束為ξxt0,t正則方程：xtλ=極值條件：H終端條件：ξ橫截條件：λtHxλtf可見利用最大值原理和變分法求解最優(yōu)控制問題時，除了控制方程的形式不同外，其余條件是相同的2）離散時間在起點時刻，終點時刻，起點狀態(tài)固定，終點狀態(tài)自由的情況下，求使目標函數(shù)取得極值的控制序列u*狀態(tài)方程：X協(xié)態(tài)方程：λ極值條件：H初始條件：x(0)*=x橫截條件：λ3、動態(tài)規(guī)劃在Л.С.龐特里亞金等人發(fā)展極大值原理期間，在1953年至1957年間，美國數(shù)學家R.貝爾曼等人發(fā)展了變分法中的哈密頓-雅可比（Hamilton-Jacobi）理論，并逐步形成了與最大值原理并稱為最優(yōu)控制理論兩大基石的動態(tài)規(guī)劃，它可以卓有成效的解決各種最優(yōu)控制問題，并且與變分發(fā)，極大值原理有非常密切的聯(lián)系。其基本思想為：不論現(xiàn)在的狀態(tài)和過去的決策如何，隨后各段的決策對于現(xiàn)在的狀態(tài)必定構成最優(yōu)決策。由于它最初是應用于多級決策過程的一種優(yōu)化方案，所以下面首先闡述時間離散問題。1)時間離散若需求一個控制序列{u(k)*逐步求出u(N-1),u(N-2)……u(0)2)時間連續(xù)時間連續(xù)問題可通過求解HJB方程：?來求得u(t)*,其約束條件為可見HJB方程是V(x,t)的一階偏微分方程，并帶有取極小值的運算，因此求解是非常困難的，只能用計算機求數(shù)值解。五、三種方法的優(yōu)劣及相互的關系變分法是求解泛函極值的一種經(jīng)典方法，也是研究最優(yōu)控制問題的一種重要工具。但由于它不能解決控制函數(shù)的取值受到封閉性的邊界限制的情況，變分法對于解決許多重要的實際最優(yōu)控制問題，是無能為力的。極大值原理則彌補了變分法的這種不足，可用于控制變量受限制的情況，能給出問題中最優(yōu)控制所必須滿足的條件。雖然最小值原理為解決帶有閉集約束的最優(yōu)控制問題提供了有效的方法，但遺憾的是它只是一個必要條件。也就是說，由最大值原理所求得的解能否使性能泛函J達到極小值，還需要進一步分析與判定。但是，如果根據(jù)物理意義已經(jīng)能夠斷定所討論的最優(yōu)控制問題的解是存在的，而由最大值原理所得到的解只有一個，那么，該解就是最優(yōu)解。實際上，我們遇到的問題往往屬于這種情況。動態(tài)規(guī)劃與極大值原理一樣，是處理控制變量有有界閉集約束時，確定最優(yōu)控制解的有效數(shù)學方法。利用動態(tài)規(guī)劃求解控制有約束的最優(yōu)控制問題特別方便，但必須滿足最優(yōu)化原理和無后效性的限制，其應用有一定的局限性。而在實際應用中，動態(tài)規(guī)劃需要很大的空間以存儲中間產(chǎn)生的結果，這樣可以使包含同一個子問題的所有問題共用一個子問題解，從而體現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)越性，但這是以犧牲空間為代價的，為了有效地訪問已有結果，數(shù)據(jù)也不易壓縮存儲，因而空間矛盾是比較突出的。另一方面，動態(tài)規(guī)劃的高時效性往往要通過大的測試數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來（以與搜索作比較），因而，對于大規(guī)模的問題如何在基本不影響運行速度的條件下，解決空間溢出的問題，也是動態(tài)規(guī)劃解決問題時一個普遍會遇到的問題。雖然動態(tài)規(guī)劃的實現(xiàn)受到了許多的限制，但它比最大值原理應用的范圍要廣泛得多，并且所得到的結論是關于最優(yōu)控制問題的充分條件。作為解決最優(yōu)控制問題的三種重要方法，它們也不是獨立存在的，相反，三者有著重要的聯(lián)系。由動態(tài)規(guī)劃的哈密頓-雅克比方程，可以推得變分法中的歐拉方程和橫截條件；也可以推得極小值原理的必要條件。并且在所要求的條件都滿足的情況下，使用這三種方法所得結論相同。六、最優(yōu)控制理論存在的問題常見的實際物理系統(tǒng)，性能指標的提法合理則一般存在最優(yōu)解，而且在一定的范圍內(nèi)有唯一解。但是，對于一個比較復雜的問題，最優(yōu)控制問題解的存在性和唯一性的判定是比較復雜的，有時甚至是不可能的?，F(xiàn)在的研究一般都假定是有唯一解的最優(yōu)控制問題，即可以求出一個最優(yōu)的解來。我們還應該了解，我們希望找到的是“整體”的最優(yōu)控制，也就是在允許的范圍內(nèi)，尋找的控制作用使動態(tài)系統(tǒng)的性能指標達到最小或者最大。但是，在實際情況中除二次型性能指標的最優(yōu)控制問題外，一般是很難用定量方法求得整體最優(yōu)控制的，因此常常是求出許多局部最優(yōu)控制，再挑選整體最優(yōu)控制。七、結束語21世紀是科技迅猛發(fā)展的時代，各門學術都將有令人耳目一新的成就出現(xiàn)。而最優(yōu)控制仍是一個十分活躍的研究領域，在理論和實踐兩方面都得到了充