特征值與特征向量計(jì)算第六章

特征值與特征向量計(jì)算第六章演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)矩陣特征值

與特征向量的計(jì)算主要內(nèi)容一、冪法二、反冪法三、冪法、反冪法小結(jié)四、QR算法五、Jacobi方法目前二頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)問(wèn)題的提出：工程技術(shù)的許多實(shí)際問(wèn)題，例如振動(dòng)問(wèn)題，穩(wěn)定問(wèn)題的求解，有時(shí)會(huì)歸結(jié)成求矩陣的特征值λ和對(duì)應(yīng)的特征向量χ。學(xué)過(guò)線性代數(shù)后，我們已知求矩陣A的特征值λ和特征向量χ的解法，即先求出A的特征多項(xiàng)式：

令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。通過(guò)求解上述高次多項(xiàng)式方程，所得根λ即為矩陣A的特征值，然后求解方程組﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得出特征值λ對(duì)應(yīng)的特征向量X。目前三頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)

但眾所周知，高次多項(xiàng)式求根是相當(dāng)困難的，而且重根的計(jì)算精度較低。同時(shí)，矩陣A求特征多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程對(duì)舍入誤差十分敏感，這對(duì)最后計(jì)算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)看，上述方法缺乏實(shí)用價(jià)值。目前，求矩陣特征值問(wèn)題實(shí)際采用的是迭代法和變換法。這里將介紹通過(guò)求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法----冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。一、冪法

定理：設(shè)矩陣A的特征值為并設(shè)A有完全的特征向量系

(它們線性無(wú)關(guān))，則對(duì)任意一個(gè)非零向量V0Rn

所構(gòu)造的向量序列有其中表示向量的第j個(gè)分量.P129：定理6-2；歸一化冪法是定理6-3。目前四頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)證明：僅就為實(shí)數(shù)的情況來(lái)證明.假定

于是,由矩陣特征值定義知,得…………..目前五頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)同理可得：假定,因?yàn)?故得

從上述證明過(guò)程可得出計(jì)算矩陣A的按模最大特征值的方法,具體步驟如下：(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T

(2)計(jì)算Vk=AVk-1(3)當(dāng)k足夠大時(shí),即可得到：目前六頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)

若按上述計(jì)算過(guò)程，有一嚴(yán)重缺點(diǎn)，當(dāng)|1|>1

（或|1|<1時(shí)）{Vk}中不為零的分量將隨K的增大而無(wú)限增大，計(jì)算機(jī)就可能出現(xiàn)上溢（或隨K的增大而很快出現(xiàn)下溢），因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，須按規(guī)范法計(jì)算，每步先對(duì)向量Vk進(jìn)行“規(guī)范化”,即取Vk中絕對(duì)值最大的一個(gè)分量記作mk=max(Vk)，用mk遍除的所有向量Vk

，得到規(guī)范化向量。

為說(shuō)明上述算法的正確性，我們證明下述定理定理二：在定理一的條件下,規(guī)范化向量序列{uk}收斂于矩陣A按模最大的特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量,而向量序列{Vk}的絕對(duì)值最大的分量mk收斂于1,即目前七頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)證:目前八頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前九頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)例：

用冪法求矩陣按模最大特征值1和對(duì)應(yīng)的特征向量x1解:

取初始向量V0=u0=(1,1,1)T

，計(jì)算出Vk,uk和mk,迭代7次的結(jié)果列于下表目前十頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)

由上可見(jiàn)經(jīng)過(guò)7次迭代,m7的值已穩(wěn)定到小數(shù)后5位，故所求的按模最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量可取作：1、歸一化例題6-22、冪法的加速：原點(diǎn)平移法；Aitken加速法；Rayleigh商加速法注：目前十一頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前十二頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前十三頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前十四頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前十五頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)二、反冪法：基本思路：設(shè)A沒(méi)有零特征值，則A非奇異，即A的逆矩陣存在，設(shè)的特征值為其對(duì)應(yīng)的特征向量為

因?yàn)?/p>

Axk

=kxk

所以

A-1

xk

=k-1

xk

故k-1就是矩陣A-1的特征值，它們滿足

對(duì)應(yīng)的特征向量仍為xk。因此，求矩陣A的按模最小特征值，就相當(dāng)于求其逆陣A-1的按模最大特征值n-1

，這只需應(yīng)用冪法即可求得。目前十六頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)注意點(diǎn)： 由于求逆非常費(fèi)時(shí)。故在用迭代向量由uk-1求Vk時(shí)，可采用解方程組的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故計(jì)算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每次迭代僅僅求解兩個(gè)三角方程組就更省時(shí)了。特別當(dāng)n較大時(shí)，將大大地節(jié)省計(jì)算量。三、冪法小結(jié)：冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，容易編寫(xiě)程序在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是收斂速度慢，其有效性依賴(lài)于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是求矩陣的按模最小特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。目前十七頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)四、ＱＲ算法

目前十八頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前十九頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)1、Householder矩陣

P136定義6-1，定理6-4目前二十頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十一頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十二頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)P137定理6-5目前二十三頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十四頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十五頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)２、矩陣的ＱＲ分解目前二十六頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十七頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前二十八頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)可驗(yàn)證:.

目前二十九頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)定理6.7目前三十一頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)３、求矩陣全部特征值的ＱＲ算法目前三十二頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十三頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十四頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十五頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十六頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十七頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前三十八頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)五、Jacobi方法目前三十九頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)１、預(yù)備知識(shí)目前四十頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矩陣

目前四十一頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前四十二頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)2、Jacobi法的基本思想與收斂性目前四十三頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前四十四頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前四十五頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)目前四十六頁(yè)\總數(shù)五十三頁(yè)\編于十三點(diǎn)３、用Jacobi法的計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟目前四十七頁(yè)\