Hermite插值的上機(jī)實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用課程設(shè)計(jì)

學(xué)校代碼： 10128學(xué) 號(hào)： 20122090課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書題 目：Hermite插值地上機(jī)實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué) 院：理學(xué)院班 級(jí)：指導(dǎo)教師：任文秀 曹艷2015年1月16日目錄摘要 0第一章Hermite插值地上機(jī)實(shí)現(xiàn) 0§1.1插值概述 1§1.1.1插值問(wèn)題地提出 1§1.1.2插值地種類 1§1.2Hermite插值地問(wèn)題 3§1.2.1Hermite插值地幾種形式 3§1.2.2Hermite插值地幾個(gè)重要定理 10§1.2.3Hermite插值地優(yōu)點(diǎn) 11§1.3Hermite插值地源程序 11§1.3.1三次Hermite插值地C程序 11§1.3.2二重Hermite插值地matlab程序 12第二章Hermite插值地應(yīng)用 12§2.1Hermite插值函數(shù)地工程應(yīng)用 12§2.2應(yīng)用Hermite插值作心電圖基線漂移校正 15參考文獻(xiàn) 22附錄A三次Hermite插值地C程序 23附錄B二重Hermite插值地MATLAB程序 26摘要隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)地普及和應(yīng)用地日益廣泛 ,細(xì)分方法在近年來(lái)已經(jīng)成為了計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) (CAD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué) (CG)領(lǐng)域內(nèi)地一個(gè)國(guó)際性研究熱點(diǎn) .通過(guò)近三十年地發(fā)展 ,細(xì)分方法日趨完善 ,多數(shù)經(jīng)典地細(xì)分方法已經(jīng)建立起了較為系統(tǒng)地理論知識(shí)體系 .1992年Merrien首次提出了 Hermite型地插值細(xì)分格式 ,隨后Hermite插值型細(xì)分方法得到了迅速地發(fā)展 ,從一維區(qū)間上生成 C1、C2細(xì)分曲線地格式到維矩形網(wǎng)格上生成光滑曲面地格式得以在短時(shí)間內(nèi)展現(xiàn) ,但是對(duì)于二維矩形上生成地光滑曲面在直觀上與采樣函數(shù)有不小地差距 .在構(gòu)造插值時(shí)，對(duì)所構(gòu)造地插值，不僅要求差值多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)地函數(shù)值與被插函數(shù)地函數(shù)值相同，還要求在節(jié)點(diǎn)處地插值函數(shù)與被插函數(shù)地一階導(dǎo)數(shù)地值也相等對(duì)所構(gòu)造地插值，不僅要求差值多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)地函數(shù)值與被插函數(shù)地函數(shù)值相同，還要求在節(jié)點(diǎn)處地插值函數(shù)與被插函數(shù)地一階導(dǎo)數(shù)地值也相等 .關(guān)鍵詞Hermite插值；拉格朗日插值； Newton插值；余項(xiàng)；Hermite插值應(yīng)用第一章Hermite插值地上機(jī)實(shí)現(xiàn)(n1)!§1.1插值概述§1.1.1插值問(wèn)題地提出在許多實(shí)際問(wèn)題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，但這些關(guān)系地表達(dá)式不一定都知道，通常只是由觀察或測(cè)試得到一些離散數(shù)值，所以只能從這些數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)地近似表達(dá)式.有時(shí)，雖然給出了解讀表達(dá)式，不過(guò)由于解讀表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，使用或計(jì)算起來(lái)十分麻煩 .這就需要建立某種近似表達(dá)，因此引入插值 .§1.1.2插值地種類類型1拉格朗日插值 .定義

1.1若函數(shù)

y=f(x)

在若干點(diǎn)

xi地函數(shù)值

yi=

fxi

（i=0,1,

,n），則另一個(gè)函數(shù)

pn(x)：p(

xi)=

yi

,i=0,1,

,n,則稱

p(x)為

f(x)

地插值函數(shù)，而

f(x)

為被插值函數(shù)

.對(duì)于

x

[a,b]

，且x xi，用

Pn（x)地值作為

f(x)地近似值或估計(jì)值，常稱內(nèi)插法

.對(duì)于

x

[a,b]

，用

Pn

(x)地值去估計(jì)f(x)地值，又稱外插法 .注解1.1拉格朗日插值分為線性插值 L1(x)和n次插值Ln(x).注解1.2拉格朗日插值地余項(xiàng)為Rn(x) f(n1)()W(n1)(x)類型2Newton插值定義1.2任何一個(gè)不高于n次多項(xiàng)式，都可以表示成函數(shù)1,xx0,(xx0)(xx1),,(xx0)(xx1)(xxn1)地線性組合.既可以把滿足插值條件P(xi)yi(i0,1,,n)地n次插值多項(xiàng)式寫成如下形式：a0a1(xx0)a2(xx0)(xx1)an(xx0)(xx1)(xxn1)其中，ak為待定系數(shù)，這種形式地插值多項(xiàng)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式，記為Nn(x).注解1.3設(shè)x0,x1,...,xn互不相同，則fx關(guān)于x0,x1,...,xn地n階差商為：fx0,x1,...,xnfx1,x2,...,xnfx0,x1,...,xn1.xnx0則一階差商為fx1fx0.fx0,x1x1x0且二階差商為fx0,x1,x2fx1,x2fx0,x1.x2x0總結(jié)以上可得如下表1-1.表1-1差商表xi f(xi)x0fxoxfx11x2fx2x3fx3

一階差商 二階差商 三階差商 n階差商f[x0,x1]f[x1,x2] f[x0,x1,x2]f[x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3]xn fxn fxn1,xn fxn2,xn1,xn fxn3,...,xn fx0,x1,...,xn類型3分段插值定義1.3對(duì)給定區(qū)間 a,b做劃分a x0 x1 ... xn b在每個(gè)小區(qū)間 [xi,xi1]上作fx以xi,xi1為節(jié)點(diǎn)地線性插值，記這個(gè)插值px pix，pixxxi1fxixxifxi1，(xixxi1)xixi1xi1xi把每一個(gè)區(qū)間地線性插值函數(shù)連接起來(lái)，得到fx地以ax0x1...xnb為剖分節(jié)點(diǎn)地分段性函數(shù) px.注解1.4分段插值地基本思想將被插值函數(shù) f x地插值節(jié)點(diǎn)由小到大排序，然后在每對(duì)相鄰地兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)地區(qū)間上用n次多項(xiàng)式去近似

f x

.類型4Hermite插值定義 1.4Hermite插值是利用未知函數(shù)

f x在插值節(jié)點(diǎn)上地函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式；分為帶導(dǎo)數(shù)地插值與不帶導(dǎo)數(shù)地插值二類 .類型5三次樣條插值樣條插值是一種改進(jìn)地分段插值 .定義1.5函數(shù)Sx a,b，且在每個(gè)小區(qū)間 xi,xi1上是三次多項(xiàng)式，其中a x0

x1

...

xn

b是給定節(jié)點(diǎn)，則稱

Sx

是節(jié)點(diǎn)

x0,x1,...,xn上地三次樣條函數(shù)

.若在節(jié)點(diǎn)xi上給定函數(shù)值yi fxi,i 0,1,..,n，并且Sxi yi,i 0,1,..,n，則稱Sx為三次樣條插值函數(shù) .注解1.5本文著重介紹 Hermite插值§1.2Hermite插值地問(wèn)題§1.2.1Hermite插值地幾種形式類型一Hermite插值地一般形式求一個(gè)次數(shù)不大于 n+r+1地代數(shù)多項(xiàng)式 H(x),滿足H(xi)f(xi),i=0,1,2,...,n.（1.1）H(xi) f(xi), i 0,1,2, ,r(r n)稱以上地插值問(wèn)題為 Hermite插值問(wèn)題注解1.6Hermite插值多項(xiàng)式地推導(dǎo)（即建立 Hermite插值多項(xiàng)式地方法）令n rH(x) hk(x)f(xk)k 0

hk(x)f(xk)（1.2）k 0其中hk(x)(k 0,1, ,n)和hk(x)(k 0,1, ,r)都是n r 1次待定多項(xiàng)式，并且它們滿足以下條件：hk(xi1iki,k0,1,,n)ik0（1.3）hk(xi)0,k0,1,,n;i0,1,,rhk(xi1iki,k0,1,,r)ik0（1.4）hk(xi)0,k0,1,,r;i0,1,,n顯然滿足條件式（1.3）,（1.4）地多項(xiàng)式（1.2）地次數(shù)不大于nr1次，且滿足插值條件式1.1）.形式一求解hk(x)（不帶導(dǎo)數(shù)地Hermite插值）由條件式（1.3）知xi(i 0,1, ,r;i k)是hk(x)地二重零點(diǎn).且由條件式（ 1.3）知xi(i r 1,r 2, ,n;i k)是hk(x)地零點(diǎn).當(dāng)0kr時(shí)hk(x)具有如下形式：hk(x)2x222xr1(xxn)(AxB)(xx0)xk1xxk1(xxr)xr(xxi)2n(AxB)xxi（1.5）i0ir1ik其中，A,B是待定系數(shù).由條件式（1.3）知hk(xk) 1,hk(xk) 0即rxi)2n(AxkB)(xk(xkxi)1i0ir1ikrxi)2nrrxi)2nA(xk(xkxi)2(AxkB)(xkxj)(xk(xkxi)i0ir1j0i0ir1ikijiknrxi)2n(AxkB)(xk(xkxi)0jr1i0ir1ikij由上述兩式解得r1n12xjjr1xkxjAj0xkrxi)2n.(xk(xkxi)i0ir1ikB

1Axk.rn(xkxi)2(xkxi)i0ir1ik將A,B代入式（1.5），得hk(x) {1 (x xk)[lkn(xk) lkr(xk)]}lkn(x)lkr(x)（1.6）k 0,1, ,r其中，lkn(x)nxxi.i0xkxiikrxxi.lkr(x)i0xkxiikn1lkn(xk)xk.i0xiikr1lkr(xk)xk.i0xiik當(dāng)r 1 k n時(shí)，hk(x)具有如下形式rxi)2nhk(x)C(x(xxi).（1.7）i0ir1ik由條件式（1.3）知hk(xk) 1C1.rn(xkxi)2(xkxi)i0ir1k將C代入式（1.7），得h(x)wr(x)l(x),kr1,r2,,n（1.8）kw(x)knrk其中，rwr(x)(xxi).i0rwr(xk)(xkxi).i0lkn(x)nxxi.i0xkxiik綜合式（1.1）、（1.2）可以得到hk(x)(k0,1,n)，即式（1.6）、（1.8）形式二求解hk(x)(即帶導(dǎo)數(shù)地Hermite插值）由條件式（1.4）知xi(i0,1,,r;ik)是hk(x)地二重零點(diǎn)，且由條件式（1.4）知xi(ik,r1,r2,,n)是hk(x)地零點(diǎn).當(dāng)0kr時(shí)，hk(x)具有如下形式：nrhk(x)D(xxi)(xxi)（1.9）i0i0由條件式（1.4）知hk(xk)1ikD1nnrrnr(xkxi)(xkxi)(xkxi)(xkxi)j0i0i0j0i0i0ijikjkikij將D代入式（1.9），得hk(x)(xxk)lkn(x)lkr(x),k0,1,,r.(1.10)其中，lkn(x)nxxi.i0xkxiikrxxi.lkr(x)i0xkxiik由式（1.2）,（1.6）,（1.8）,（1.10）所表示地多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式，其中由式（1.6）,（1.8），（1.10）所表示地多項(xiàng)式稱為Hermite插值基函數(shù).Hermite插值多項(xiàng)式地余項(xiàng)為R2n1(x)=f(2n1)()W（2n1）(x).（2n2)!類型二二重Hermite插值多項(xiàng)式一般地Hermite插值為m=2地情況，即給定地插值節(jié)點(diǎn)nxi i 0均為二重節(jié)點(diǎn)，更具體些f(x) C2 a,b ，n及插值節(jié)點(diǎn) xi i 0，若有H2n1(x) P2n1滿足H2n1(xi)f(xi).H2'n1(xi)f'(xi),i0,1,n.就稱H2n1(x)為fx關(guān)于節(jié)點(diǎn)xin地二重Hermite插值多項(xiàng)式.i0類型三三次Hermite插值設(shè)yfx是區(qū)間[a,b]上地實(shí)函數(shù),x0,x1是[a,b]上相異兩點(diǎn),且xx,01yfx在xi上地函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為yfxi0,1和mfxii0,1,求iii三次多項(xiàng)式H3x,使其滿足：H3(xi)yiH3'(xi)(i0,1).miH3(x)稱為三次埃爾M特插值多項(xiàng)式.注解1.7誤差估計(jì)定理1.1設(shè)f(x)在包含x0、x1地區(qū)間[a,b]內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)R31f(4)22(x)f(x)H3(x)()(xx0)（xx1）（4!設(shè)M4maxf(4)(x)x0xx1則當(dāng)

x∈[a,b]時(shí)有余項(xiàng)(a,b)且與x有關(guān)）xx0,x1時(shí),余項(xiàng)有如下估計(jì)式R3(x)M4h4.384類型四兩點(diǎn)三次Hermite插值設(shè)f(x)在節(jié)點(diǎn)x0、x處地函數(shù)值為y0、y，在節(jié)點(diǎn)x0、x處地一階導(dǎo)數(shù)值為y0'、y1'，兩111個(gè)節(jié)點(diǎn)最高可以用3次Hermite多項(xiàng)式H3(x)，作為插值函數(shù)H3(x)應(yīng)滿足插值條件H3(x0)y0H3(x1)y1.H3(x0)y0H3(x1)y1.H3(x)應(yīng)用四個(gè)插值基函數(shù)表示，設(shè)H3(x)地插值基函數(shù)為hi(x)0,1,2,3，H3(x)a0h0(x)a1h1(x)a2h2(x)a3h3(x)如果希望插值系數(shù)與 Lagrange插值一樣簡(jiǎn)單，那么重新假設(shè)H3(x) y00(x) y11(x) y00(x) y11(x)H3(x) y00(x) y11(x) y00(x) y11(x)其中0(x0) 1 0(x1) 0 0(x0) 0 0(x1) 01(x0) 0 1(x1) 1 1(x0) 0 1(x1) 00(x0) 0 0(x1) 0 0(x0) 1 0(x1) 01(x0) 0 1(x1) 0 1(x0) 0 1(x1) 1可知x1是 0(x)地二重零點(diǎn)，即可假設(shè)0(x)(xx)2(axb).1由0(x0) 1 0(x0) 0可得a23.x1)(x0b12x0x1)2(x0x1)3(x0a0(x)(xx1)(axb)(xx1)2{2x3122x03}(x0x1)(x0x1)(x0x1)(xx1)212x02x(x0x1)2x0x1x0x1(12xx0xx1)2x1x0)(x1x0(1 2l1(x))l02(x)......Lagrange插值基函數(shù)如下式所示20(x)(12l1(x))l02(x)12xx0xx1x1x0x0x1類似可得1(x)(12l0(x))l12(x)12xx1x0x120(x)(xx0)l02(x)xx0xx1x0x121(x)(xx1)l12(x)xx1xx0x1x0將以上結(jié)果代入H3(x)y00(x)y11(x)y00(x)y11(x)得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)地三次Hermite插值公式H3(x)y00(x)y11(x)y00(x)y11(x)y0(12l1(x))l02(x)y1(12l0(x))l12(x)y0(xx0)l02(x)y1(xx1)l12(x)xx0xx12xx1xx122y0y1y0y1xx012x0x112xx0x1xx1x0x1x0x0x1x0x1注解1.8二點(diǎn)三次 Hermite插值地余項(xiàng)R(x)=f4()(xx0)2(xx1)2x0x134!§1.2.2Hermite插值地幾個(gè)重要定理定理1.2誤差定理若fC2n2(a,b)，則fx關(guān)于a,b上節(jié)點(diǎn){xi}n地二重Hermite插值多項(xiàng)式誤差為R2n1(x)f(x)H2n1(x)f(2n2)()wn2(x)(2n2)!定理1.3唯一性定理Hermite插值問(wèn)題地表達(dá)式H(xi)f(xi),i0,1,2,,n.H(xi)f(xi),i0,1,2,,r(rn).地解H(x)存在而且唯一.定理1.4Hermite插值余項(xiàng)定理Hermite插值公式地余項(xiàng)為f(x)H(x)f(nr2)()wn(x)wr(x).(nr2)!其中,是插值區(qū)間a,b內(nèi)地某一點(diǎn).§1.2.3Hermite插值地優(yōu)點(diǎn)分段線性插值地算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，然而從整體上看，逼近函數(shù)不夠光滑，在節(jié)點(diǎn)處，逼近函數(shù)地左右導(dǎo)數(shù)不相等 .Hermite插值地逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)不僅在插值節(jié)點(diǎn)上取相同地函數(shù)值，而且逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上去相同地若干階導(dǎo)數(shù)值 .Hermite插值法結(jié)合了函數(shù)地導(dǎo)數(shù)值，使得插值地精度更為提高.Hermite插值具有少節(jié)點(diǎn)得到高次插值多項(xiàng)式地特點(diǎn).Hermite插值插值多項(xiàng)式靈活多樣.Hermite插值在節(jié)點(diǎn)一定地條件下，可以多種構(gòu)造插值條件.§1.3Hermite插值地源程序§1.3.1三次Hermite插值地C程序例1.1已知函數(shù)y=1/(1+x2)在區(qū)間[0,3]上取等距插值節(jié)點(diǎn)，求區(qū)間[0,3]上地分段三次埃爾M特插值函數(shù)，并利用它求出f(1.5)地近似值（0.3075）表1-2例題數(shù)據(jù)表xi012yi10.50.2yi'0-0.5-0.16注解1.9本例題程序流程圖及 C程序詳見附錄A.1.3.2二重Hermite插值地matlab程序注解1.10程序及程序演示詳見附錄 B第二章

Hermite

插值地應(yīng)用§2.1Hermite插值函數(shù)地工程應(yīng)用對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題運(yùn)用不同地方法或許都能得到相同地結(jié)果，但是每一個(gè)方法都有其得天獨(dú)厚地優(yōu)勢(shì)以及劣勢(shì) .特別是在現(xiàn)在這個(gè)現(xiàn)代化地信息時(shí)代，計(jì)算已經(jīng)變得越來(lái)越重要，對(duì)計(jì)算結(jié)果地要求也十分苛刻 .插值方法在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛地應(yīng)用它能使一個(gè)有著大量數(shù)據(jù)地問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了、易于觀察，因此，地位自然不喻 .Hermite插值為使插值函數(shù)能更好地和原來(lái)地函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求相切，對(duì)應(yīng)地導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等 ,憑借其精度高，計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)被大多數(shù)人應(yīng)用了起來(lái) .算例分析在土方工程中，土地最大干密度與最優(yōu)含水量是確保路基壓實(shí)質(zhì)量地兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo) ,利用埃爾M特插值函數(shù)求得地干密度、含水量能更好地逼近實(shí)驗(yàn)得到地 pd一 曲線，求解精度較高

.通過(guò)繪制干密度與含水量地相關(guān)曲線，即

pd

一

曲線，求得最大干密度與最優(yōu)含水量地方法為圖解法.圖解法因簡(jiǎn)便直觀而在實(shí)際工作中被廣泛采用，但圖解法隨意性大，易產(chǎn)生人為誤差.目前，數(shù)解法主要有兩類：一是利用曲線擬合法求解，二是利用代數(shù)插值求解 .用上述方法分別對(duì)實(shí)驗(yàn)地工程實(shí)例進(jìn)行了求解，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果 地差值較大，其中最大干密度差值達(dá) 0.01～0.06g/cm3，最佳含水量差值達(dá)0.5％～1.4％.在本研究中利用埃爾M特插值問(wèn)題，試圖更加精確地求解最大干密度與最優(yōu)含水量.例2.1某公路工程路基填七地一組室內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)擊實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2-1，由表2-1可知，其最火干密度應(yīng)在含水量11.6％附近.表2-1室內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)擊實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)序號(hào)12345含水量%5.87.411.615.517.6干密度pd1.771.801.851.821.78gcm3)根據(jù)圖解法將最大干密度定為1.85g/cm3對(duì)應(yīng)地最優(yōu)含水最為l1.6％而根據(jù)pd曲線圖，,,.最優(yōu)含水量在12％附近更為恰當(dāng).下面利用埃爾M特插值函數(shù)求解最大干密度與最優(yōu)含水量.取0,1,2分別為7.4、l1.6、15.5，對(duì)應(yīng)地f(i)分別為1.80、1.85、1.82，得到f[0,1]=0．01l905,f[0,1,2]=-0.0024194.步驟一建立干密度、含水量地埃爾M特插值函數(shù).利用式f[0,1,2]A(0)(1)(2)建立干密度、含水量地埃爾M特插值函數(shù)為H()=1.8+0.0l1905(-7.4)-0.0024194(-7.4)(-11.6)+A(-7.4)(-11.6)(-15.5)，利用式子Af(1)f[0,1](10)f[0,1,2].(10)(12)可得A=-0.06105f'(1)+0.00010644.步驟二求解最大干密度與最優(yōu)含水量.取3=5.8％，對(duì)應(yīng)地pd3f(3)=1.77g/cm3,根據(jù)插值條件H(3)f(3),代入式A=-0.06105f'( 1)+0.00010644,令H'( ) 0,得2 10.379 24.168 0,解此方程得最優(yōu)含水量為 12.3％.得最大干密度為 1．85g／cm3.步驟三誤差分析：由表 2-1中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得f[ 0,1,3, 4] 6.184105，由f(4)()(0)(1)2(2)R()4!和f(4)()1,2,3]f[,4!可得R()f[0,1,2,3](0)(1)2(2)=6.184105(12.37.4)(12.311.6)2(12.315.5)=4.751 105,根據(jù)誤差分析可知，此法求解最大干密度與最優(yōu)含水量地精度較高，能更好地逼近實(shí)驗(yàn)中得到地pd曲線.模糊矩陣綜合評(píng)價(jià)得：DWR[0.28820.22420.07860.13320.18540.0959]T100000000100.480.5200=001000000.380.611111=[0.3787,0.1336,0.1368,0.2996,0.4313]以上計(jì)算結(jié)果表明，

I級(jí)水地隸屬度為

0.3787，II

級(jí)水地隸屬度

0.1336，III

級(jí)水地隸屬度為0.1368，IV

級(jí)水地隸屬度為

0.2996，V

級(jí)水地隸屬度為

0.4313.由于

V級(jí)水地隸屬度最大，因此鑒湖水體綜合評(píng)價(jià)等級(jí)應(yīng)為

V級(jí).總結(jié)應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)原理綜合評(píng)判鑒湖水質(zhì)等級(jí)，比采用單因子極值評(píng)價(jià)更為合理 .評(píng)判結(jié)果表明，鑒湖所在地區(qū)由于經(jīng)濟(jì)社會(huì)地快速發(fā)展，已經(jīng)造成了嚴(yán)重地水體污染，因此水質(zhì)等級(jí)很快由Ⅲ類變成V類.水體地污染引起地一系列問(wèn)題應(yīng)該引起足夠地重視，如果這樣發(fā)展下去，鑒湖將失去它原來(lái)地價(jià)值，因而政府應(yīng)該采取措施，防止和減輕水污染，努力提高鑒湖水質(zhì)等級(jí)，從而使之能發(fā)揮更好地作用 .§2.2應(yīng)用Hermite插值作心電圖基線漂移校正消除心電圖地基線漂移是個(gè)重要向題.采用分段三次Hermite插值來(lái)作基線漂移校正,提出了當(dāng)心率變化引起插值區(qū)間信號(hào)長(zhǎng)度變化時(shí),插值墓函數(shù)地線性變換規(guī)則.由此可以保持?jǐn)M合地高精度,又減少計(jì)算量.有可能用于實(shí)時(shí)心電監(jiān)護(hù).如果監(jiān)護(hù)儀中地CPU能力有限,本文還提出了一種計(jì)算Hermite插值函數(shù)硬件電路,使每一點(diǎn)地計(jì)算時(shí)間縮短為12微秒.心電圖(ECG)信號(hào)地計(jì)算機(jī)處理歷來(lái)國(guó)內(nèi)外十分重視.國(guó)內(nèi)外其臨床應(yīng)用主要分為二大類：一是ECG計(jì)算機(jī)輔助診斷,主要用于醫(yī)院地心電分析中心,常為離線分析,使用地計(jì)算機(jī)也多為中小型機(jī)甚至大型機(jī)；二是作ECG實(shí)時(shí)監(jiān)護(hù),主要用于臨床危重病人、手術(shù)病人地監(jiān)護(hù),強(qiáng)調(diào)實(shí)時(shí)性要求,計(jì)算機(jī)多是由ECG等集成片構(gòu)成,計(jì)算能力與存貯容量均受到限制.盡管ECG計(jì)算機(jī)分析已有二十多年地歷史,國(guó)內(nèi)外已做了大量地工作,但是仍然存在不少困難問(wèn)題未予妥善解決.例如：消除ECG基線漂移是實(shí)時(shí)監(jiān)護(hù)中地一個(gè)重要而又困難地問(wèn)題.導(dǎo)致ECG基線漂移地主要因素有：電極地極化電位地變化,心電放大器地直流偏置漂移,人體由于呼吸或其它肌肉、體位地緩慢移動(dòng)等.盡管可以努力消除產(chǎn)生基線漂移地原因例如努力使病人靜臥不動(dòng)，改善電極材料與導(dǎo)電膏地性能，改善心電放大器地特性等，但基線漂移仍然是不可避免地，因而會(huì)造成診斷疾病地困難

.消除基線漂移地困難在于基飄地頻率很低，其范圍為

0.05Hz

至

1Hz，主要分量在

0.1Hz

左右，如圖

2.1所示，而

ST段地頻率成分也很低，其最大分量在

0.6Hz-0.7Hz

左右，它們地頻譜非常接近

.所以若使用高通頻率濾波地方法以消除基飄，即使采用線性相位濾波器，仍會(huì)引起

ST段地嚴(yán)重失真，而

ST段在臨床上有重要地價(jià)值

.圖2.1基線漂移與 ST段地頻譜目前解決基線漂移地方法，除了高通濾波外，常采用某種數(shù)學(xué)函數(shù)校正法，如分段直線校正，三次樣條函數(shù)校正，二次函數(shù)校正及三次函數(shù)校正法 .在每個(gè)心電周期中選取 1-2個(gè)零電位點(diǎn)作為插值結(jié)點(diǎn)，倆結(jié)點(diǎn)之間地心電漂移，以消除基飄 .若采用直線進(jìn)行逼近，是為直線校正法，這種方法計(jì)算量小，可實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，對(duì)慢變化地基線漂移效果尚好，對(duì)變化較快地基飄誤差就嚴(yán)重.應(yīng)用三次樣條函數(shù)插值，可以獲得較高地精度，本次報(bào)告就三次樣條函數(shù)插值進(jìn)行談?wù)?.今設(shè)二個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)為 t0和t1，并已知這二個(gè)結(jié)點(diǎn)地函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值為：y0,y0',y1,y1'，則三次Hermite插值函數(shù)為：s(t) s(t0)1(t) s'(t) 2(t) s(t1) 3(t) s'(t1) 4(t).滿足下述條件：s'(t0) y0,s(t0) y0',s(t1) y1,s'(t1) y1'.上述式子中1(t)[2(tt0)(t1t0)](t1t)2(t1t0)32(t)(tt1)2(tt0)(t1t0)2t0tt1(2.1)(tt0)23(t)[(t1t)(t1t0)](t1t0)34(t)(tt0)2(tt1)(t1t0)2是為插值基函數(shù) .由于實(shí)際心電信號(hào)地心率是不斷隨機(jī)變化地，所以不能按照等間隔計(jì)算，即(t1 t0)值將隨心率地變化而變化地 .由于這個(gè)變化，將使得上述 4個(gè)插值基函數(shù)隨之改變 .因而必須重新計(jì)算新地插值基函數(shù)，因此用一種簡(jiǎn)化插值基函數(shù)地計(jì)算方法，令樣周期，k=0,1...m,t=kT,則可將式 2.1插值基函數(shù)寫成離散形式：

t1t0，T為采T(mk)2(2km)1(k)m3(km)2(kT)2(k)m2k2(3m2k)3(k)m3(2.2)k2(km)T4(k)m2如若將m 'k k'm代入式（2.2），可得插值基函數(shù)為：(mmk')2(2mk'm)')m'm'1(km3(m' k')2(2k' m')/(m')3(m'k'm)2(m'k'T)'mm2(K)m2(k' m')2(k'T)(m)/(m')2m'm( '(k')2(3m'(m'')m4(k

' 2 m 'k)(3m 2 'k)m32k')/(m')3' 2 m 'k)( 'k m)Tm2(k')2(k'm')T(m')/(m')2(2.3)m比較式（2.2）與（2.3），可得1(k)1(k'),2(k)2(k')mm'3(k)3(k')4(k)4(k')mm'由此可見，當(dāng)(t1t0)變化時(shí)，插值基函數(shù)1(k)、（3k)地幅值不變，只是時(shí)間軸發(fā)生線性變化.而2(k)、4(k)地幅值也將發(fā)生線性變化.因而可得變換公式如下.mk'k'm2(k')(m')2(k')m4(k')(m')4(k')m這樣地變換可以使計(jì)算簡(jiǎn)化，圖所示為各插值基函數(shù)隨著，地變化而變化地圖形 .圖2.2當(dāng)(t1 t0)變化時(shí)地插值基函數(shù)確定插值結(jié)點(diǎn)，即選擇心電信號(hào)地零電位點(diǎn) .一般?？蛇x TP段，為此可先估計(jì) T波地終了點(diǎn)T1.根據(jù)臨床心電圖學(xué) Bazett（巴澤特）公式：QT 0.39RR式中QT表示地是 Q波起點(diǎn)Q1至T1地間期.RR是二R波地間隔.若確定了Q1則由QT值可得T1點(diǎn).所以可先檢測(cè) R波峰值 ，再往后定 H點(diǎn).該H點(diǎn)約在T1之后30至70ms處，便可作插值結(jié)點(diǎn)圖 2.3.這樣可以吧連續(xù)二個(gè)心拍地 H點(diǎn)作為二個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行三次 Hermite計(jì)算，然后作基線漂移校正 .具體步驟如下 .圖2.3 確定插值結(jié)點(diǎn)Step1確定信號(hào)長(zhǎng)度m.如下確定了幾個(gè)典型地m值，如表2-2所示.表2-2幾個(gè)典型地m值mH2'H1心率（次/分)壓縮方式d修正系數(shù)m'm375401.00033545170.8932955070.7872556040.6802157030.5731758520.46713511510.360Step2

壓縮方式是指由于

m壓縮后，基函數(shù)地點(diǎn)數(shù)也需作相應(yīng)減少

.Step3

計(jì)算插值地邊界條件

.實(shí)驗(yàn)是用

8組不同心率地心電信號(hào)，迭加上不同頻率地基線漂移（

0.1Hz,0.2Hz10.3Hz)來(lái)進(jìn)行基漂校正

.圖

2.4所示為其中一例，心率為

105次/分.迭加三種不同頻率地正弦波作為基線漂移

.圖中C1

為原始信號(hào)

,C2為由插值函數(shù)計(jì)算所得地基漂，

C3為經(jīng)校正后地心電信號(hào)

.圖2.4實(shí)時(shí)基漂校正結(jié)果.HR=105次/分.C1原始ECG，C2由插值擬合地基漂， C3校正后地ECG.而實(shí)際臨床情況，心率一般均在 60次/分以上，基漂頻率為 0.17Hz至0.33Hz之間，所以基漂校正地仿真結(jié)果誤差都在 1.0%以下，可以滿足臨床要求 .ST段地計(jì)算也是令人滿意地 .硬件電路實(shí)現(xiàn)雖然上述插值方法經(jīng)過(guò)改進(jìn)與簡(jiǎn)化，計(jì)算量已有很大減少，但對(duì)小型實(shí)時(shí)心電監(jiān)護(hù)儀來(lái)說(shuō)，CPU還可能不能承擔(dān)

.因此又用專用硬件電路實(shí)現(xiàn)了上述地插值計(jì)算，并且還構(gòu)成了一個(gè)

ST段檢測(cè)儀

.

其框圖如圖

2.5所示

.

其中插值基函數(shù)電路是將

Hermite

插值基函數(shù)1(k),

2(k),

3(k),

4(k)，其中（

k=12m,m=375).計(jì)算并量化后寫入

EPROM片.再在乘法控制線地控制下可依次讀出

.插值條件寄存電路則由由

CPU送入地每段插值結(jié)點(diǎn)地邊界條件

y0,y1,y0',y1',它們也可在乘法控制線地控制下依次讀出

.這樣每當(dāng)由插值基函數(shù)電路端口讀出函數(shù)值時(shí)，乘法控制線變回產(chǎn)生含有4個(gè)負(fù)脈沖地脈沖序列，乘法電路就依次產(chǎn)生4個(gè)對(duì)應(yīng)地乘積y01(k),y0'2(k),y13(k)和y1'4(k),這四個(gè)乘積經(jīng)累加電路累加后送至輸出端口，完成一次基漂擬合值地計(jì)算 .由此連續(xù)運(yùn)行 k=0至m，即可完成一個(gè)周期地基漂校正 .這個(gè)電路具有高速性能，插值基函數(shù)地確定、乘法運(yùn)算、累加、翻轉(zhuǎn)、技數(shù)、清零、重復(fù)等操作均是在乘法控制線地控制下同步進(jìn)行地，有一部分操作室并行進(jìn)行地，最大限度地減少了運(yùn)算時(shí)間，提高了運(yùn)算速度，可在12微秒內(nèi)完成一個(gè)點(diǎn)地插值計(jì)算，時(shí)鐘脈沖頻率為 100MHz.且整個(gè)電路地成本也很低 .此監(jiān)測(cè)儀對(duì)于心率在 40次/分以上，基線漂移頻率在 0.4Hz以下地ECG基線漂移能相當(dāng)好地進(jìn)行校正.對(duì)ST段地檢測(cè)，在一般情況下也能滿足臨床要求 .圖2.5插值計(jì)算硬件電路框圖參考文獻(xiàn)文暢平.人民黃河.湖南：邵陽(yáng)學(xué)院，2006.李慶陽(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.白峰杉.數(shù)值計(jì)算引論.北京：高等教育出版社，2004.李慶陽(yáng).計(jì)算科學(xué)方法基礎(chǔ).北京：清華大學(xué)出版社，2006.馮康等.數(shù)值計(jì)算方法.北京：國(guó)防工業(yè)大學(xué)，1978.張雪敏.MATLAB基礎(chǔ)及應(yīng)用.北京：中國(guó)電力出版社，2009.附錄A三次Hermite插值地C程序流程圖開始輸入xi,yi,xy=0,j=02.C程序代碼#include<stdio.h>#include<math.h>floatf0(floatx){return((x-1)*(x-1)