2018高數(shù)單項(xiàng)選擇題

單項(xiàng)選擇 填空

第一 函數(shù)、極限和連 函幾何上，函數(shù)yf(x)在平面直角坐標(biāo)系中表示一條或幾條曲線。奇函數(shù)的曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的曲線關(guān)于y ysinx,ycosx:T2πytanx,ycotx,ysinx,ycosx:Tπsinx1,cosx1,x(,arctanxπ,0arccotxπ2

x(,例1.f(lnx1x2f(x例2.設(shè)F(x)f(x)，則下列結(jié)論正確的是 (A)若f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù) (B)若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為奇函數(shù)若f(x)為周期函數(shù)，則F(x)為周期函數(shù) (D)若f(x)為單調(diào)函數(shù)，則F(x)為單調(diào)函數(shù)常值函 冪函 yxα（α常數(shù)

yax（a＞0，a≠1常數(shù)yexylogax（a＞0，a≠1常數(shù)ylog10xlgxylogexlnxysinxycosxytanx.ycotxysecxycscx. yarcsinx;yarccosx;yarctanx;yarccot 3.I

4lnsinxdx，J

4lncotxdx，K

4lncosxdxIJK(A)IJK (B)IKJ (C)JIK (D)KJIyf(xxφy，則稱它yf(x的反函數(shù)，記y

f1(x幾何上，yf(xxφy的圖形重合，yf(xyf1(xyx對稱f[f1(x)]

f1[f(x)]yf(uU，ug(xXU*。如果U*Uy注1）

f[g(x x f xyf(

x

y

xFxy0yyx或xxyFxyz0zzxy或yyzx，或xxyzxyψ

,αtβy rr(θ),αθyf(x)φ(x),f(x)WL見到冪指函數(shù)就先“指數(shù)對數(shù)化再做相應(yīng)的運(yùn)算（如求極限、導(dǎo)數(shù)、積分等xyafx

φ(y fylimfnxylimft

t 4.gx

，x x，x,fx

x，x例5.fxex2,f[φ(x1x，且φx0，求φx及其定義域 極limxnA ε0N，當(dāng)nNxnAε（稱數(shù)列xn.n1）數(shù)列極限存在與否與數(shù)列的有限項(xiàng)無關(guān)。n例6.設(shè)a0，證明

1收斂于a的(A)充分但不必要條 (B)必要但不充分條(C)充分必要條 (D)既不充分也不必要條

f(x)Aε0，存在正數(shù)X，當(dāng)xX時(shí)，就

f(x)Aε

f(xA ε0XxX

f(x)Aεlimf(x)Aε0，存在正數(shù)X，當(dāng)xX|時(shí)，就

f(x)AεlimfxA ε0，存在正數(shù)δ，當(dāng)0

x

δ時(shí)，就

fxAε左極限fx00fxAε

0x0

fxAε0δδxx00右極限fx000x0

fxA ε0δ0xx0δfxAε1）limfxA

fx00fx00Alimf(x)Alimf(x)limf(x) limfxA存在與fx0fxx0處是否有定義無關(guān)常用limfxA1（極限的惟一性）設(shè)limfxAlimfxBAB2（極限的局部有界性）limfxA，則δ0,M0，使當(dāng)0

x

δ時(shí)，恒fxM定理3（極限的局部保號性）limfxA0，則δ

0xx0δ時(shí)，恒fx1）fx0,limfxAA02）limfxAlimgxBABδ0,0x0

fxg(

fxg(x，且limfxAlimgxBAB 定理4（極限四則運(yùn)算法則）設(shè)limfxAlimgxBlimfxAB0g limfxgxABA01）法則（1（2）可推廣到有限多個函數(shù)的情形。特別地，limfxnAn；若limgxC0，則limfxgxClimfx.和差情形，若極限limfxlimgx不存在，則limfxgx必不存在；若極限limfxgxlimgx都存在，則極限limfx必存在；若極限limfxlimgx都不存在，則limfxgx可能存在，也可能不存在。定理5（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則）若u

fuA,limφxu0，且φxu0limfφ(x)A a1x例 設(shè)am0，bn0，求極限 xbnxnbn1xn1 b1x解 當(dāng)mn原式 x x mam原式 x x n

當(dāng)mn時(shí)x

bbn1

當(dāng)mnx2 例 已知lim

x 若limfx0或limfx0，則fxxxx0時(shí)的無窮小量

x 對M0，當(dāng)x或xx0時(shí)，總窮大量，記為limfxlimfx

fxMfxxxx0在x的同一個變化過程中，若fx為無窮大量， f

為無窮小量；若fx為無窮小fx0， f

定理 limfxAfxAa 其中l(wèi)imax0 見到已知一個極限等式條件limfxAfx的表達(dá)式，就用“關(guān)系fx10.若limsin6xxf(x)0,則lim6fx) (A)0 (B)6 (C)36 (D)0lf(1)若limgxl，則當(dāng)l0時(shí)fxgx高階的無窮小量，記為fxogx；gx是比fff當(dāng)l0時(shí)，稱fx與gx是同階無窮小量。特別地，當(dāng)l1時(shí)，稱fx與gx是等價(jià)無窮小量，記為fx gf（2）若limgkxl0，則fxgxk階無窮小量注1）確定兩個無窮小量fx，gx階的關(guān)系，就是求極限

fg

l，然后看l2）x0sinx～xarcsinx～xtanx～xarctanx～xex1～x 1cosx～x2 2

，等價(jià)無窮小代換（因式替換原則：若αxα1x,βxβ1xlimα(xf(x)limα(xf(xlimαx)fxlimα1x)f(x β( β(1例11.試問x0時(shí)，無窮小量αesinx21,βln ,γx3sinx,δxarctanx中， x例 設(shè)α1xx

1，α2 xln13x，α3 1，x0時(shí)，以上三個3x(A)α1,α2,α3 (B)α2,α3,α1 (C)α2,α1,α3 (D)α3,α23x練習(xí) ln1xtan2 x0e3x11cos31x31xx2 sin準(zhǔn)則 設(shè)有數(shù)列xnxnxn1xnm，則limxnA存在Am設(shè)有xnxnxn1xnm則limxnA存在Am 準(zhǔn)則2 定理）設(shè)gxfxhx，若limgxAlimhxA，則limfxA 例 （2） 2 。nk n2 nk1nn 解（1） n2 k n2 n2 1， n2 1n

n2 1

nnkn

n2

112 12 k因n2n n2nk n2n1k1n(n lim12 nlim 1

12

1n(n n2 nn(n

nn

nnn

1。nnk1n2n n例 設(shè)0x13,xn1 xn3xn,n1,2,，求證limx存在，并求極限值nsin 1lim

1

11

n n

； u u

15.limxx41； （2）lim(cosx)cot2x； （3）limsin1cos1x. x 練 已知lim(xa)x4，則a xx 函數(shù)的連函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)定1設(shè)函yfxx0的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量在點(diǎn)x0處的增量x趨近0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量y也趨近于0，即limy0

limfx0xfx00，或

則稱函yfxx0處連續(xù)2設(shè)函yfxx0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)xx0時(shí)fx的極限值存在且等x0處的函數(shù)fx0limfx

fx0稱函yfxx0處連續(xù)，此時(shí)0xx0

fx0xx0

fxfx0定義3設(shè)函數(shù)yfx0xx0

fxfx0則函數(shù)fxx0處左連續(xù)如0xx0

fxfx0，則稱函fxx0處右連續(xù) 1）從極限的角度看連續(xù)：定義1表明，若函數(shù)在某點(diǎn)x0處的增量x為無窮小時(shí)，相應(yīng)的函y也是無窮小，即limy0，則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)。定義2表明，如果當(dāng)xxfxfx0limfx

fx0，則函數(shù)fxx0處連續(xù)。由此可見，對于討論函2可知，如果函yfxx0處連fxx0處既左連續(xù)也右連續(xù)fxx0處連續(xù)必須同時(shí)滿足三個條如果函yfx在開區(qū)間a，b內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱fx在a，b內(nèi)連續(xù)yfx在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)a右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱fx在閉區(qū)a，b上連續(xù)例 討論函數(shù)fx

xx

x

xsin2xe2ax例 設(shè)fx

,xx

fx

x

處連續(xù)，則a 注1）fxgx連續(xù) fx，gx是否連續(xù)fxg 續(xù)一個不連續(xù)fxgx不連續(xù)fx，gx都不連續(xù) fxgx是否連續(xù)fxg 續(xù)一個不連續(xù)；或兩個都不連續(xù)fxgx是否連對于復(fù)合函數(shù)f[φ(x，若φ(x)x0處（x）有極限ayf(u在ua處連續(xù)，limf[φ(x)]

f[lim如果函yfxx0不連續(xù)，則稱x0fx的間斷點(diǎn) 若x0為fx的間斷點(diǎn)，則fx在x0點(diǎn)將出現(xiàn)下列情況之一（至少一個fx在x0無定義limfx③limfx

fx0

fx的間斷點(diǎn)，如果fx在間斷x0處的左、右極限都存在，則稱x0fx注對于可去間斷點(diǎn)，可補(bǔ)充fx0

fxfxx0處連續(xù)例18．x0分別是下列函數(shù)的何種間斷點(diǎn)sin （1）fx ；（2）fx ；（3）fxex（4）fx 例19．設(shè)函數(shù)fx sinx，則fx 練習(xí)求函fx

x2xxx2

定理1（最大值和最小值定理）如果函數(shù)fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個區(qū)間上fx一定存在最大值M和最小值m。推論1（有界定理）如果函數(shù)fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則fx必在a，b上有界2（介值定理）fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為Mm，則對于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在a，b上至少存在一點(diǎn)ξ，使得fξC.推論2（零點(diǎn)定理）fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)fafb異號，則在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得fξ0。推論3如果單調(diào)fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且fafb異號，則在a，b內(nèi)存在惟一的點(diǎn)ξ，使得fξ0。 例20．證明方程xasinxba0,b0至少有一個正根，且不超過ab.例21．設(shè)fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)x1,x2,xn是區(qū)間a，b上的點(diǎn)，求證至少存ξa,

，使fξ

1n

fxi

第二 一元函數(shù)微分f(xf(x0f(x的圖形是凸的會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直 導(dǎo)數(shù)與微1

sst0tst0vs vlimslimst0tst0t0 引例 yfx0xfx0 kMNx fx0xfx0 limkMNlim lim N

x0

定義設(shè)函數(shù)yfxx0的某鄰域內(nèi)有定義，自變xx0處有增x，相應(yīng)地函數(shù)yfx0xfx0，如果極limylimfx0xfx0x0 存在則稱yfxx0處可導(dǎo)此極限為函數(shù)fxx0處的導(dǎo)數(shù)fx0yx0

，0dx0

，x，

處不可導(dǎo)左導(dǎo)fxlimfxfx0limfx0xfx0

x

右導(dǎo)fxlimfxfx0limfx0xfx0

x

1）fxx0處可fxx0處左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相例 (A)lim1f(1cosh)存在 (B)lim1f(1eh)存在h0 h02(C)lim1f(hsinh)存在 (D)lim1[f(2h)f(h)]存在2h0 h0例2 yfxx0處導(dǎo)數(shù)fx0存在，則在幾何上fx0表示yfx在x0，fx0處的切線的斜率切線方程yfx0fx0xx0法線方程：yfx xx,fx0 fx0 設(shè)物體作直線運(yùn)動時(shí)路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為Sft，如果ft0存在，則ft0表示物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度，ft0表示物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)加速度。例 設(shè)周期為4的函數(shù)fx在(,)內(nèi)可導(dǎo)，且

1f(1)f(1x1則曲線yfx在點(diǎn)(9,f(9

x0(A)2 (B)1 (C)2 (D)1 定理1若函fxx0處可導(dǎo)，則fxx0處必連續(xù)；反之不然引 計(jì)算函數(shù)增量問題yfx0xfx0定義設(shè)函數(shù)yfxx0處有增量x時(shí)，若相應(yīng)函數(shù)的增量yfx0xfx0AxoxA與x無關(guān)，ox是x0時(shí)比x高階的無窮小fxx0處可微，并稱y中的主部Ax為fx在點(diǎn)x0處的微分，記為dy|xx或df ， 0dy|xxAx0定義自變量的微分dx為x02fxx0處可微fxx0處可導(dǎo)，且dy|xxAxfx0dx0注yfxdyfxdx，所以導(dǎo)數(shù)fxdy也稱為微商例fu可導(dǎo)，yfsinxxxπ處取得增量x0.1的線性主部為0.2，則f0 yfx0xfx0yfxx0處相應(yīng)于自變量增量x的縱坐標(biāo)fx0的量，微分dy|xx0是與曲yfx在點(diǎn)M0x0，fx0處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量例 設(shè)fx在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且fx00，則當(dāng)x0時(shí)，fx在點(diǎn)x0處的微分與增量的(dyy(A)比y低階的無窮小 (B)比y高階的無窮小(C)與y等價(jià)的無窮小 (D)與y同階但不等價(jià)的無窮小如果函yfx的導(dǎo)yfxx0處仍可導(dǎo)，則把yfxx0處的導(dǎo)數(shù)稱d2

fx0

x

等，也稱fxx0處二階可導(dǎo) fxf fx0

xdn

類似地，如fx的n1階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)為fxn階導(dǎo)數(shù)，記為yn,fndxn等 例設(shè)fx在點(diǎn)x處某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f a，問fx是否存

0(xx0c dcxaaxasinxcos

a實(shí)常數(shù) dxadsinxcos

a實(shí)常數(shù)cosxsintanxsec2cotxcsc2

dcosxsinxdxdtanxsec2dxdcotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot

dsecxsecxtandcscxcscxcotlogax xln

a0，a d

x

a0，alnxxaxaxlnex

a0，a

dlnx1xdaxaxlnadxdexexdx

a0，a1arcsinx1

darcsinx arccosx arctanx

darccosxdarctanx

1 1arccotx 1

darccotx 1lnx dlnx x2a2 x2x2x2x2 lnx x2a2 dlnxx2 四則運(yùn)算微分法fxgxfxg

d

fxg

dfxdgfxgxfxgxfxg

dfxgxgxdfxfxdgfx

fxgxfxg

fx

gxdfxfxdg gx

g2 dgx

g2 gx 復(fù)合函數(shù)微分 yfu，uφxφxx處可導(dǎo)，fu在對應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)dydydu du

fφxφx；dyfudufφxφxdx由 dydydxdx 例 x4cos2(1)y=tan(ln (2) (3) x2例 yex2

lnxcotx （2）y xsinψ參ψ

確定的函yyx（數(shù)三、數(shù)農(nóng)不要求方法：dydψtψtdtψt，其中φt,ψt存在，且φt0 dφt φt φtxtsin 例 求擺線y1cost在t2處的切線方程Fxy0y求導(dǎo)法：方程兩邊對x求導(dǎo)，視y為中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 計(jì)算，然后再解出y的表達(dá)式（結(jié)果中一般有y。一定要注意y是x的函數(shù)！ yxdyFxF Fy例 求過曲線x2

1上點(diǎn)x0,y0

的切線方程和例 設(shè)yy(x)由方程e2xycosxye1所確定，求dy 和

x0練習(xí)1.曲線sinxylnyxx在x0處的切線方程 曲線

在x3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 心形線r1cosθ在θπ處的切線的直角坐標(biāo)方程 4例 設(shè)f(x)

xx0fx，并討fx的連續(xù)性11 sin2

x冪指函數(shù)yfxgx,fx方法：先恒等變yfxgx為指數(shù)函數(shù)yegxlnfx，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算。y[fxgx][egxlnfx 對數(shù)求導(dǎo)法：先對所給函數(shù)式的兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù)y。對數(shù)求導(dǎo)法主要用于：①冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；②多個函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)。 y 方法 ftdtfx，其中fx連續(xù)dxdφxftdt φxftdtdφxfφxφ dx dφx fx連續(xù)φ(x) n方法：先求出若干階y ，y ，…，找出規(guī)律，寫出y(n)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)如下。 ax 0,

ax(ln sin cos

sin 2 22 ln (1)n 1)!x例 設(shè)yln(12x)，求y(n)（n為正整數(shù) ψ2 ψ

確定的函yyFxy0確定的隱函數(shù)y例

d2，求 ln(1t2 例 設(shè)yyx由方程xefyey確定，其中f二階可導(dǎo)，且f1,

d2oyyx由方程ey6xyx21y0兩個函數(shù)乘積的n 法：[ux)v(x)](n)u(n)vC1u(n1)vC2u(n2)vCn1uv(n1) 例 設(shè)yx2e2x，求 微分中值 f(x在閉區(qū)間[ab在開區(qū)間(ab)f(a)f(b)1fx在[ab上的最值在開區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)x0處取得，且f(x0存在fx0 設(shè)函fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)在開區(qū)間a，b內(nèi)可推論2fx在a，b內(nèi)可導(dǎo)，且fx0fx在a，b內(nèi)為常數(shù)推論3fx，gx在a，b內(nèi)都可導(dǎo)fxgxa，b內(nèi)，fxgxc，其中c為任意常數(shù)。 設(shè)函fxgx滿足在閉區(qū)間a，b上都連續(xù)在開區(qū)間a，b內(nèi)都可導(dǎo)gx0，則至少存在一點(diǎn)ξa，b，使得fbfagbg

.gξ. 中值定理 日中值定理的推廣，當(dāng)gxx時(shí)即 日中值定理四 定理（定理1（余項(xiàng)的n階fxx0的某鄰域Uδx0內(nèi)具n階導(dǎo)數(shù)，則對xUδx0fxfxfxxxfx0xx2 fnx0xxnRx 其中Rxoxxnxx稱 余項(xiàng) 定理2 日余項(xiàng)的n階fx在包x0的區(qū)間a，b內(nèi)具有n1階導(dǎo)數(shù)，則對xa，bfxfxfxxxfx0xx2 fnx0xxnRx 其中Rnxfn1ξxx0n1（ξ在x0與x之間）稱 日余n1 fxf0

0x

f0x2

fn

xnRnxRxo(xnRxfn1ξxn1 n常用的麥克勞林ex1xx2xno(xn x2 2sinxxxx

(2n n cosx1x

(1x)m1mxm(m1)x2 m(m1)(mn1)xnoxn (1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1)xnoxn 1111

1xx2x31)nxno(xn1xx2xno(xn n ln(1x)x n

ln(1xxx2x3xn1o(xn1 n 注 f nyk

k!

xx0xx0n0若limRnx0， 就轉(zhuǎn)化 級數(shù)0n 例 設(shè)ba0，證明balnbba 2例 設(shè)函數(shù)fx在[0,1]上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且f0f10,f11，證明至2 點(diǎn)ξ0,1fξ1例3設(shè)函數(shù)fx[0,1]上連續(xù)0,1內(nèi)可導(dǎo)證明至少存在一點(diǎn)ξ0,1使例 設(shè)函數(shù)fx在[0,1]上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)0,f(1)1，證（1）存在ξ0,1fξ1ξ（2）存在兩個不同的點(diǎn)η1η20,1fη1fη2 導(dǎo)數(shù)應(yīng) 法則 0型設(shè)（1）limfx0，limgx0 f（2）xlimgxA（或f則

g

A（或 法則 型設(shè)（1）limfx，limgx

f（2）xlimgxA（或f則

g

A（或f f 如果limgx不存在且不是無窮大量時(shí)，則不能得出limgx是否存在000型：先“下放”成0或型 ， -1000型：先“指數(shù)對數(shù)冪的部分成為0型，再由復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則求解 例 1 （1）limx(-arctanx)；（2）lim[ x-]；（3）lim[xx x01 limcosxln(1x2) （5）lim(cotx)lnx 定理 設(shè)fxCa,b，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若對xab,fx0fx在區(qū)間(ab)內(nèi)單調(diào)增加若對xab,fx0fx在區(qū)間(ab)內(nèi)單調(diào)減少WL見到求單調(diào)區(qū)間與極值問題，就要先找兩類點(diǎn)，相應(yīng)的解題程序?yàn)樗牟桨藗€字——定域：求fx的定義域；判斷：看每個子區(qū)間內(nèi)fx的符號例 求fx2x.

x2定義設(shè)函數(shù)fx在a，b內(nèi)有定義，x0是a，b內(nèi)的某一點(diǎn)果存在點(diǎn)x0的一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)xxx0，總fxfx0fx0為函fx的一個極大值，稱x0為函數(shù)fx的一個極大值點(diǎn)；如x0的一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一xxx0，總有fxfx0，則fx0為函fx的一個極小值x0為函fx的一個極小值點(diǎn)。定理 設(shè)函數(shù)fx在x0處可導(dǎo)，且x0為fx的極值點(diǎn)，則fx00定理3（第一充分條件）fxx0處連fx00fx0不存fxx0左、右增（fx0）取極小值。定理4（第二充分條件 設(shè)函數(shù)fx在x0處有二階導(dǎo)數(shù)且fx00，fx00，則fx00fx0為極大值x0為極大fx00fx0為極小x0為極小值求函fx在閉區(qū)間a,b上的最值方法1）找點(diǎn)：駐點(diǎn)fx不存在的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)；fx在閉區(qū)間abfx在閉區(qū)間a,b上的最小值。例 設(shè)fxxsinxcosx，則（π π(A)f0是極大值，f是極小值 (B)f0是極小值，f是極大值2π

2π(C)f0是極大值，f是極大值 (D)f0極小值，f是極小值2 2例8 設(shè)fx在，內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如圖所示，則fx必有（ fx在區(qū)I上連續(xù)，若對任意不同的兩點(diǎn)x1x2，恒fx1x21fxfxfx1x21fxfx 2 2 2 2 yfx上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下（上）面，則yfx是凸（凹）的。如果曲yfx有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上（下）yfx是凸（凹）的。定理5設(shè)函fx在a，b內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在a，b內(nèi)的每一點(diǎn)xfx0，則曲yfx在a，b內(nèi)是凹的；若在a，b內(nèi)的每一點(diǎn)xfx0，則曲yfx在a，b6（必要條件）若點(diǎn)x0fx0為曲yfx的拐點(diǎn)，且fx0存在，則fx00定理7（充分條件若函f(x在連續(xù)點(diǎn)x0fx異號，則點(diǎn)x0fx0必為曲線yfx的拐點(diǎn)fx00,fx00，則x0,fx0必是曲yfx的拐點(diǎn)f(xfx0f(x不存在點(diǎn)2例 求曲線yx1x3的凹凸點(diǎn)區(qū)間與拐點(diǎn)垂直漸近線（鉛直漸近線limf(xlimfxlimfxxx0yf(x 若limf(xclimf(xclimf(xcycyf(x f f若

a0limfxaxb或

a0，limfxaxb

limfxa0limfxaxbyaxbyf(x 1例 求yxex2的漸近線方程練習(xí)y1ln1ex的漸近線條數(shù)x yf(xfxfx0求出駐點(diǎn)，確定導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．再根據(jù)fx的符號找出函數(shù)的單fx，確定fx的全部零點(diǎn)及fx不存在的點(diǎn)，再根據(jù)fx的符號找出曲線的yf(xπarctan練習(xí)1.求函數(shù)fxx1e .求曲線y (1

第三 一元函數(shù)積分 不定積若對xIFxfxdFxfxdx，則F(xfxI上的一個原函數(shù) fx的全體原函數(shù)稱為fx的不定積分，記為fxdxF(x)為fx的一個原函數(shù)Fxfx fxdxFx若fxdxFxC，則曲線yFxfx的一條積分曲線。fxdx表示一族曲線—yFxy軸上下平移所得，稱為fx的積分曲線族fxgxdxfxdxgxdxfxdxf

kfxdxkfxdx,kf fxdxfx dfxfx例 設(shè)fxgx，x(a,b)，則必f(x)dxg((C)df(x)dxg(

[f(x)g(x)]dxdf(x)dx（1）xudx 1xu1C,(u1)1u1

dx1x

dx C，1dxlnx1xxx1xx adxlnaC，特例edxesinxdxcosx cosdxsinxtanxdxlncosx cotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtanxC，cscxdxlncscxcotx dx

sec2xdxtanxC

dx

csc2xdxcotxcos2 sin2 1secxtanxdxsecx1dxarctanxC1例

cscxcotxdxcscx1 dxarcsinxC dxlnx 111 e2x（1）1x2dx （2）ex1第一換元積分法（湊微分法思想方法g(x)dxfφ(x)φx)dxf(φ(x)dφf(u)duF(u)CFφ(x)1）被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，且復(fù)合過程一般不含根式。1①f(axb)dxaf(axb)d(ax1 (2x3)100dx1(2x3)100d(2x3)

(2x3)101②

f

b)dx

f(axnb)d(axn x22x31dx 2x31d(2x31) (2x31)3 ③f(ex)exdxf(ex 1exdxex(1ex)1 ln(1e)x④ dx2f(xx 2 1(x x⑤2f(x)dxf(x)d(xx x2sinxdxsinxd(x)cosxCf(lnx)⑥ dxf(lnx)d(ln xln2xdxln2xd(lnx)lnx⑦sinxf(cosx)dxf(cosx)dcosx，cosxf(sinx)dxf(sinx)dsin4 sinxcos3xdxcos3xdcosx1cos4x4f(arcsin11

dxf(arcsinx)d(arcsinx)，

f(arctanx)dx f(arctanx)d(arctanx)1x2 (1x2)arctanxlnarctanx f f(x) f(x) 例

f(x)

a2x2

(a0) （3）a2a2

dxx例 已知f(x)dxarcsinxC,求xf(x)dxxφ思想方法：f φ(t)

f[φ(t)] F(t)適用對象：被積函數(shù)一般含有根式。但有根式不一定用第二換元積分法，如

1x2dxπa2 ，xasint,t(a22πa2，xatant,ta22x2x2 xt④負(fù)變換x

，xasec

t(0, xatb,a,b為常數(shù)ax2ax2bx例

（1）a2x2dx （2）x2a2dx （3）a2x2 dx

x2xx2x2x2a2x2a2

ln(x

x2x2 dx

ln(x )a2a2 dxln(x x2a2)思想方法udvuv u,v選取原則——常見形式uPnx,dvekxdx,sinaxdx,cosaxdx.ekxcosaxdxekxsinaxdx，誰u誰vPn(x)lnxdx,Pn(x)arcsinxdx,Pn(x)arctan x例 x ln(1x)dx (1

dx例 設(shè)lnx為fx的一個原函數(shù)，求不定積分xf(x)dxxMxNdxx2px

2xppdx x2px

x2px d(xp d(xpxq)dx(NMp 22 x2px

(x

2q 引

定積 0 0注 afxdxafuduaft 2）規(guī)定af(x)dx0af(x)dxbfbbaf(x)dx(abyf(xxxaxbbAafx變力做功，f(x)bf(x)dx路程，f(x) 質(zhì)量，f(x) 例 （1）3xdx （2）aa2x2dxa0；（3）1(x1 b必要條件：若定積分af(x)dx存在，則函數(shù)f(x)在ab上有界baf(x在ab上連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點(diǎn)，則定積分bf(x)dx af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx akf(x)dx=k

f(x)dxk akdxk(ba)，adxba af(x)dxaf(x)dxcf(x)dxbbf(xg(x)xab，則af(x)dxag(x)dxbbbf(x)0,x[abxab，則af(x)dx0 afx)dxaf(x)dx（abb若在區(qū)間ab上有mf(xM，則m(baaf(x)dxM(ba（ab 若函f(x)在區(qū)間ab上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξab，使得f(ξ bf(x)dxf(x在區(qū)間abb 例 lim1exsinnxdx

bf(x)dxf(ξ)(baana定理 若fx在a,b上連續(xù)則Fxxftdt在a,b上可導(dǎo)（xa,baFx

xftdta

fx1）連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，且xftdtfx的一個原函數(shù)，即fxdxxftdt β2）若fx在ab上連續(xù),αx,βxβ α

fαxαx，

βxfαxαxdx ft

dxα

例 xarctant2 sinxtan

（2）

ln12x3——（微積分學(xué)基 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，aabf(x)dxF(x)bF(bF(aaa化為求fx的一個原函數(shù)問題，從而使定積分的計(jì)算得以簡化。aαbf βfφ(t)φ(t)dtaα注budvuvbb fxa例 設(shè)fx為連續(xù)函數(shù)，證明afxdx a fx例 （1）1x 1（1）1x

x)exdx例 設(shè)fx是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對任意實(shí)數(shù)a， fxdx0fx fxdx0fxdxn0fxdxn為正整數(shù)例 2

ln

ex

1cos（1）

dx （2）0

sin例 已 是fx的一個原函數(shù)，x

πxfxdx四、反常積分（廣義積分

t設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,上連續(xù)，若極限limaf(x)dx存在，則稱反常積分 f(x)dxt 記為

f(x)dxt

fx)dx

f(x)dx t類似地，可定義f(x)dxlimtf(x)dxt 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)上連續(xù)，若f 與 f(x)dx都收斂，則稱反常積 f(x)dx收斂，記為f(x)dxf(x)dx f(x)dx2）F(x)f(x)，則abb

f(x)dxFf(x)dxFf(x)dxF

limF(x)F(a) bF(b)limF(x) limFxlimFx 例 證明

p1p1x 注

dx 2

dx f(x在區(qū)間(a,b

εf(xlimaεf(x)dx存在，則稱反常積分afε ε收斂，記為af(x)dxlimaεf(x)dx。否則稱af(x)ε

b類似地，若f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，且limf(x)dx=則可定義afx=lim f(x)dx

ε f(x在區(qū)間[acc,b上連續(xù)，且limf(x，若af(x)dx和cf(x)dx 積分af(x)dx收斂，記為af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx，否則af(x)dx 定積分應(yīng) 00選變量定區(qū)間：選擇積分變量，找出其變化范圍，從而確定積分區(qū)間，如xa,b 取近似，找微元：在a,b內(nèi)任取一小區(qū)間x,xdx，在此小區(qū)間上利用以直代曲，以勻代變，以不變應(yīng)萬變的思想，得到微元dI，即dIfxdxxxxdx IadIafxdxb基本模型 y1(x)dx，其中y2( y1(x), a，bad基本模型Ⅱ

x2( x1(y)dy，其中x2( c例 計(jì)算曲線y22x與直線xy4所圍成的封閉圖形的面積例 求曲線ylnx與其過原點(diǎn)的切線及x軸所圍成的封閉圖形的面積 y

αtβx(α)ax(β)bx(t在α，β上有連續(xù) a， b和x軸所圍成b y(t)x(t)dtaxacos例 求曲線ybsint,0t2π所圍成的封閉圖形的面積 r2(

模型ⅡdA

r2θr2θdθ，

r2( r2() 例 求曲線r3cosθ,r1cosθ所圍成的圖形含于r3cosθ內(nèi)的公共部分的面積 設(shè)平面圖形由曲線yfx0)與直線x a，x 體的體積為vbπf2xdx；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為vb2πxfxdx 例 求由yx3,x2,y0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)生成的兩個旋轉(zhuǎn)體的體積x6yx求常數(shù)a

(a0)與y 在點(diǎn)(x0,y0)處有公共切線xx 求曲線y2x與 ,1)處的法線所圍成的圖形面積，以及該圖形第一象限部分2

第四 多元函數(shù)微分在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和D是平面上的一個點(diǎn)集，如果對每px,yD，按照某一對應(yīng)規(guī)則f，變z都有一個值zxyzfxyD稱為定義域。zfxyxOyD。ufxyz,xyz,為空間一個點(diǎn)集，則稱ufxyz為三元函數(shù)。設(shè)fx,y在點(diǎn)x0,y0的去心鄰域內(nèi)有定義，如果對任意ε0，存在δ0，只要0 δ，就有fx,yAε，則稱當(dāng)x,y趨于x0,y0時(shí)，fx,y的極限存在，極限值為A，否則，稱為極限不存在。記為xx0y

fx,yA x,yx0,y0

fxyA 1）此處x,y趨于x0,y0是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于x0,y0，所以二若可找到xy趨于x0y0的兩種方式fxy趨于不同的值，則極

x,yx0,y0

fxyfxy在點(diǎn)x0y0的某鄰域內(nèi)有定義，若y

fxyfx0y0fxy在點(diǎn)x0y0fx,y在區(qū)D內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則fx,yD內(nèi)連續(xù) 定義的等價(jià)形式為limzlimfx0x,y0yfx0,y00，其

zfx0x,y0yfx0,y0fxy在點(diǎn)x0y0處的全增量定理定理即設(shè)Mm為最小值，若mcM，則存在x0y0Dfx0y0C。設(shè)二元函數(shù)zfx,y在點(diǎn)x0y0的某鄰域內(nèi)有定義，若limfx0x,y0fx0,y0 存在，則稱zfxy在點(diǎn)x0y0處關(guān)x的偏導(dǎo)數(shù)fx,

，或

x0,y0

xx0,y0

fx0,y0yfx0,y0

存在，則稱zfxy在點(diǎn)x0y0處關(guān)y的偏fx

， ，或

x0,y0

yx0,y0fxx0y0表示曲zfxy與平y(tǒng)y0的截線在點(diǎn)x0y0fx0y0處的切線關(guān)x軸的 x,y0,例 討論fx,yx2 0,x,y0,zfxy的偏導(dǎo)數(shù)fxxyfyx

z

fx,y z2zfx,y

z2zfx,y，z2zfx,y

yy

2 2

2 2 xy

x在xy處連續(xù)時(shí)，有xyyxzfx,y在點(diǎn)x0y0的某鄰域內(nèi)有定義，若其全增量可表示zfx0x,y0yfx0,y0AxByoρx2y其中ρ ，A,B不依賴于x、y，只與x,y有關(guān)，則稱zfx,yx2y 微AxByzfxy在x0y0處的全微分，記為 Ax

或

定理4zfxy在x0y0fxx0y0,fyx0y0都存在

fxy在x0y0導(dǎo)定理 若zfx,y在點(diǎn)x0,y0處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則zfx,y在該點(diǎn)處可微，dzfxx0y0dxfyx0y0dy 1）當(dāng)zfx,y在點(diǎn)x0,y0處可微時(shí) x0,y0

fxx0,y0xfyx0,y0yfxx0,y0dxfyx0,y0dy這里規(guī)定自變量微分dxx，dyydzdfxyfxxydxfyxydy。dfxyzfxxyzdxfyxyzdyfzxyzdzz ，連續(xù)dz存 xx zfx，y二元函zfxyx0y0處的全微分x0y0fx0y0處切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增

在幾何上表示曲面zfxy在點(diǎn)x0,y0yfudyfudu zfuvdzuduvdv例 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個充分條件是 [f(x,y)f(0,0)]0limf(x,0)f(0,0)0,limf(0,y)f(0,0)0

f(x,y)f(0,0)0x2lim[fx(x,0)fx(0,0)]0,lim[fy(0,y)fy(0,0)]x2 （1）zfu,v.uux,y,vvx,yzfux,y,vx,yzzuzv zzuzv u v u v（2）zfu,v,uux,vvxzfux,vxzzduzdv zzduzdv u v u vzfu,uux,yzfux,yzfuu zfuv （1）ufx,y,z,zzx,uff

zff z（2）ufx,y,z,yyx,zzxduffyxfz（3）w

fu,v,uux,y,z,vvx,y,zwfuf u vwfuf u v f f u v例 設(shè)ufx,y,z,yx,t,tψx,z都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求u2 y z 2 例 設(shè)zxfxy,x，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x,y,xy Fxy0yyx或xxyFxyz0zzxy或yyzx，或xxyz③ ③ zzGx,y,z （1）Fx,y0yy定理6（隱函數(shù)存在定理）Fx,y在點(diǎn)x0y0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fx0y00,Fyx0y00則方程Fxy0在點(diǎn)x0y0的鄰域內(nèi)可確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) F數(shù)yy(x)，且有 xF FyFx,yz0zzxy或yyzx，或xxyz例 設(shè)u

fxyz,φx2eyz0,ysinx,其中f,φ均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

zz（定理 設(shè)點(diǎn)x0,y0為函fxx0y00,fyx0y00

fxy的極值點(diǎn)，且fxx0y0,fyx0y0存在，則必定理 設(shè)點(diǎn)Mx0,y0是fx,y的駐點(diǎn)，且fx,y在M點(diǎn)的鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，1）若ACB20Mx0y0A0fx0y0A0fx0y0為fxy的極大值若ACB20Mx0y0 若ACB20時(shí)，不能確定Mxy 第一步解方程fxy0，求出駐點(diǎn)xkyk

1,2,n第二步令fxyfxyfxy2 kk0fxkyk是極值一步，若fxxxkyk0fxkyk為極小值若k0fxkyk若k0，則不能確定（有時(shí)需從極值定義出發(fā)討論例 求函數(shù)fx,y3x2yy33x23y22的極值問題：求fx,y在閉D上的最值zfxyD內(nèi)的駐點(diǎn)MkxkykzfxyDNkxkyk（一般為條件極值；第三步計(jì)算fMk,fNk，比較大小即可。常見情形求目fxy在約束條件φxy0下的極值求目標(biāo)函數(shù)fx,yz在約束條件φ1x,yz0,φ2x,yz下的極值 例 求fx,yxy2在橢圓域Dx,yx 1上的最值 練習(xí)Dxyx2y24,y0fxyx22y2x2y2在區(qū)D上的最值

第五 二重積了解二重積分的中值定理。會用二重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、質(zhì)量、xoyD,在點(diǎn)xyfxyfxyD上連續(xù)，求定義fxydσD

nnlimfξd0k

f(x,y)dxdyf(u,v)dudvf(s, 幾何意義fxy為閉區(qū)D上的連續(xù)函fxy0，則二重積fxydσ表示DzfxyDzfxydσ表示曲頂柱體體積的代數(shù)和D物理意義fxy為閉區(qū)D上的連續(xù)函fxy0，則二重積fxydσ表示Dfx,y為面密度的平面薄片D（1）kfx,ydσkfx,y （2）fx,ygx,ydσfx,ydσgx,y fxydσfxydσfxydσ，其中DD1D2 fxygxy

xyD，則fxydσgxydσ 特別fx,yD

D

fx,ydσ若mfxyM,xyDmSfxydσMS，其中SDDfxydσfξ,ηSD例

3x

(i1,23)，其D1xy0x1,0yD2xy0x10y xD3xy0x1,x2y1，試比J1J2J3的大小定理1fx,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)Dx軸對稱D1Dx軸上半平面部分1 1

fx，y關(guān)于yfx，y關(guān)于y定理2fx,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若Dy軸對稱D2Dy軸的右半平面部分則2 2

fx，y關(guān)于xfx，y關(guān)于x為偶函數(shù)定理 設(shè)fx,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若D關(guān)于x，y軸都對稱，D3為D的第一象限部分則2 2

fx，y關(guān)于x,yfx，y關(guān)于x,y均為偶函 4fxyDDyx 2面積元素σxiyj，即dσdxdy，則fxydσfxydxdy （1）積分域D為X型Dx，yaxb，φ1xyφ2x，其中φ1xφ2x在a，b上連續(xù)fx，yD上連續(xù)fx,ydxdy

φ2

fxydy φ1（2）積分區(qū)DYDx，ycyd，φ1yxφ2y，其中φ1y，φ2y在c，d上連fxyD上連續(xù) φ2 fxydxdycdyφyfxydx （3）X型，非Yfx,ydxdyfx,ydxdyfx,ydxdyfx,y D例 計(jì)算xydxdy，其中D是由yx2，yx2所圍成的平面閉區(qū)域D例 計(jì)算xy2sinydxdy，其中D是由y24x與x=1圍成的閉區(qū)域D面積元dσrdrdθ，則fxydσfrcosθrsinθrdrdθ β上連fx,yfrcosθrsinθD上連續(xù)fx,ydσfrcosθ,rsinθ

φ1θrφ2θ，其中φ1θ,φ2θ在αβ φ2θ1αdθφθfrcosθrsinθrdr