高中數(shù)學人教A版函數(shù)的概念與性質冪函數(shù)（省一等獎）

(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付元，(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積，(3)如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積，請看幾個具體問題：p是w的函數(shù)；這里S＝a2這里S是a的函數(shù)；V＝a3這里V是a的函數(shù)；p＝w(5)如果某人t秒內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度km/s，(4)如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長，a是S的函數(shù)；這里v＝t－1v是t的函數(shù).這里(1)解析式都是指數(shù)冪的形式:(2)S＝a2；(3)V＝a3；(1)p＝w；(4)(5)v＝t－1.思考：以上這些函數(shù)有什么共同的特征？y＝xa；(2)指數(shù)為常數(shù)；(3)底數(shù)為自變量.講授新課

一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).注意:高中階段主要研究這5個冪函數(shù)：冪函數(shù)中a的可以為任意實數(shù).1.判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù)練習：思考二：冪函數(shù)有何特點？（1）y＝xa其特征底數(shù)為自變量x（2）指數(shù)a為常數(shù)（3）系數(shù)為1（4）常數(shù)項為02.在同一平面直角坐標系內作出冪函數(shù)練習：的圖象.練習:2.在同一平面直角坐標系內作出冪函數(shù)的圖象.xyO思考三：從圖象分析出冪函數(shù)所具有的性質是什么？.

定義域值域奇偶性單調性公共點觀察圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結論寫下下表內函數(shù)性質RRRRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞){x|x≠0}{y|y≠0}奇奇奇偶增增增[0,+∞)增(-∞,0]減(0,+∞)減(-∞,0)減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)非奇非偶冪函數(shù)的性質(1)所有的冪函數(shù)在(0,＋∞)都有定義,且圖象都通過點(1,1)；(2)當a＞0時,冪函數(shù)圖象過原點,且在[0,＋∞)上是增函數(shù).特別地：當a>1時,冪函數(shù)的圖象下凸;當0<a<1時,冪函數(shù)圖象上凸.冪函數(shù)的性質(4)當a為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù);當a為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)．(3)當a＜0時,冪函數(shù)圖象在(0,＋∞)上是減函數(shù)，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸,當x趨向于＋∞時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸；

冪函數(shù)圖象在第一象限的分布情況：y=xy=x2y=x3y=x-1y=x0xy11

作直線x=a(a>1)，與冪函數(shù)y=xα的圖象的交點越高，α的值越大。a(1)α>1,拋物線型(凹);(2)α=1,上升的射線;(3)0<α<1,拋物線型(凸);(4)α=0,水平的射線;(5)α<0,雙曲線型;y=x0問題探究1．函數(shù)y＝x2與y＝2x有什么區(qū)別？提示：y＝x2是冪函數(shù)，也可認為是特殊的二次函數(shù)，自變量x是冪的底數(shù)，x∈R，其圖象是拋物線，而y＝2x是指數(shù)函數(shù)，x是指數(shù)，其圖象是單調遞增的指數(shù)函數(shù)圖象．2．冪函數(shù)圖象能過第四象限嗎？提示：不能．對冪函數(shù)y＝xα而言，當x>0時，必有y>0，故冪函數(shù)圖象不過第四象限.

例1.已知解：由題意得是冪函數(shù)，求m，n的值.解得即【點撥】y＝xa其特征底數(shù)為自變量x，指數(shù)a為常數(shù)，且系數(shù)為1.或m=1,n=2練習、圖中曲線是冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象，已知α取，四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的α依次為（）

練習1若冪函數(shù)的圖象不過原點，求：的值。

例3

證明冪函數(shù)在[0,＋∞)上是增函數(shù)．證明：設則即得證.練習、已知冪函數(shù)f(x)=xα經過點(8,)。（1）求f(x)的解析式及定義域，并畫出圖象；（2）指出其單調性和奇偶性；（3）求不等式f(x)>x2的解集。

練習、已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3（m∈N)的圖像與x軸、y軸都沒有公共點，且關于y軸對稱，求m的值。六：小結：今天的學習內容和方法有哪些？你有哪些收獲和經驗？

1.我們今天主要研究了冪函數(shù)在第一象限的