高中數(shù)學(xué)人教A版高中選修-圓錐曲線與方程橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程 全國一等獎(jiǎng)

用一個(gè)不過圓錐頂點(diǎn)的平面沿不同方向截同一個(gè)圓錐，截出三種不同的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）。一、歷史上圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)思考：為什么第一種截法得到的截口曲線是橢圓？你能證明嗎？[1]取一條細(xì)繩，[2]把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2[3]用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形F1F2M觀察作圖過程：[1]繩長應(yīng)當(dāng)大于F1、F2之間的距離。[2]由于繩長固定，所以M

到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值。..思考：在這一過程中，你能說出移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件嗎？二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究定義

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。設(shè)距離之和為2a,(a>0),焦距為2c,(c>0)三、分析定義，加深理解滿足幾個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓？[1]平面內(nèi)----這是前提[2]動(dòng)點(diǎn)M

到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2

的距離之和是常數(shù)2a(a>0)[3]常數(shù)2a

要大于焦距2c(c>0)F1F2M動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.動(dòng)點(diǎn)M沒有軌跡.三、分析定義，加深理解

用一個(gè)不過圓錐頂點(diǎn)的平面沿不同方向截同一個(gè)圓錐，截出三種不同的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）。思考：為什么第一種截法得到的截口曲線是橢圓？你能證明嗎？四、運(yùn)用定義，學(xué)以致用

設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a，則F1(-c,0)、F2(c,0)。由定義知：()()aycxycx22222=+-+++五、合理建系，推導(dǎo)方程將方程移項(xiàng)后平方得：兩邊再平方得：由橢圓定義知：()()aycxycx22222=+-+++兩邊同除以a2-c2①思考：如何化簡含兩個(gè)根式的方程？思考：還可以其他的化簡方法嗎？方法二：直接兩邊平方法還有其他化簡的方法嗎？課后請查閱相關(guān)資料！思考：觀察圖，你能從中找出表示

的線段嗎？由圖可知，

這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)，這里

c2=a2-b2

.兩邊同除以得：②②由上述過程可知，橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程②，以方程②的即以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.

由曲線與方程的關(guān)系可知，方程②是橢圓的方程.解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)的距離之和為2a，

這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2.它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

yxoF1F2M問題：如果焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程是什么呢？化簡得：

yoF1F2Mx

yxoF1F2M（1）在兩種方程中，總有（2）有關(guān)系式：（3）在的分母下，焦點(diǎn)在x軸上；