連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)有,使得對任意實(shí)數(shù)

,對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)(ContinuousRandomVariable)(ProbabilityDensityFunction)第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率

若f(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月故X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值,恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.*若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對f(x)的進(jìn)一步理解:*若不計(jì)高階無窮小，有表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月*注意:密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度,并不反映X取值的概率.

但是,這個(gè)高度越大,則X取a附近的值的概率就越大.

在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xoa第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即注意:這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出(2)對連續(xù)型r.vX,有第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.均勻分布(TheUniformDistribution)則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若r.vX的概率密度為：記作*均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，

小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，

即乘客的候車時(shí)間等。第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例2某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站,

如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,

試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月為使候車時(shí)間X少于5分鐘,乘客必須在7:10到7:15之間,或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月*指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似，

例如，電子元件的壽命，輪胎的壽命，電話的通話時(shí)間等。2.指數(shù)分布(The(Negative)ExponentialDistribution)

若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.正態(tài)分布(TheNormal(Gaussian)Distribution)若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作:其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.X

～N(μ,σ2)第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布是概率論中非常重要的分布，可以用正態(tài)分布來描述的實(shí)例非常多，例如，各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；

農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；

熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績等。正態(tài)分布的重要性可以由以下情形加以說明：1)正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，

但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，

則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。2)正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，

這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的。3)正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月則有第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線關(guān)于軸對稱；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月x=μ

σ為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月決定了圖形的中心位置,決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月若固定σ的值而μ變化時(shí),則密度曲線的形狀不變,它沿著x軸方向平行移動．若固定μ的值而σ變化時(shí)，則密度曲線的位置不變，而其形狀將改變，當(dāng)σ大時(shí)曲線平緩，當(dāng)σ小時(shí)曲線陡峭．第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(StandardNormalDistribution)第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月的性質(zhì):第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理1證:Z

的分布函數(shù)為:則有:第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.于是:第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0

時(shí),表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月若若X～N(0,1),~N(0,1)

則第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明,X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi),

超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準(zhǔn)則第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，X

的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

.~N(0,1)

X

～N(μ,σ2)時(shí)，第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).第38頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分