連續(xù)型隨機變量

連續(xù)型隨機變量演示文稿目前一頁\總數(shù)四十七頁\編于五點（優(yōu)選）第二節(jié)連續(xù)型隨機變量目前二頁\總數(shù)四十七頁\編于五點p.d.f.

p(x)的性質(zhì)

常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能

在p(x)

的連續(xù)點處，p(x)描述了ξ在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的p.d.f.目前三頁\總數(shù)四十七頁\編于五點積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質(zhì)量長度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導目前四頁\總數(shù)四十七頁\編于五點注意:對于連續(xù)型r.v.ξ,P{ξ=a}=0其中a

是隨機變量

ξ

的一個可能的取值事實上目前五頁\總數(shù)四十七頁\編于五點命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)概率為0(或1)的事件未必不發(fā)生(或必發(fā)生)。目前六頁\總數(shù)四十七頁\編于五點xyabOp(x)對于連續(xù)型r.v.ξ，其密度函數(shù)為

p(x)目前七頁\總數(shù)四十七頁\編于五點如下圖所示bxp(x)aO目前八頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例1已知某型號電子管的使用壽命ξ(1)求常數(shù)c(3)已知一設備裝有3個這樣的電子管,每個電子(2)

計算為連續(xù)r.v.,其p.d.f.為管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.目前九頁\總數(shù)四十七頁\編于五點解(1)令c=1000(2)

目前十頁\總數(shù)四十七頁\編于五點(3)設在使用的最初1500小時三個電子管中設A

表示一個電子管的壽命小于1500小時損壞的個數(shù)為則目前十一頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例2：設隨機變量ξ具有概率密度求：（1）常數(shù)a；（2）（3）ξ的分布函數(shù)F(x)解：（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2目前十二頁\總數(shù)四十七頁\編于五點目前十三頁\總數(shù)四十七頁\編于五點(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若ξ的p.d.f.

為則稱ξ

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

ξ

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作目前十四頁\總數(shù)四十七頁\編于五點ξ

的分布函數(shù)為目前十五頁\總數(shù)四十七頁\編于五點xp(x)abxF(x)ba目前十六頁\總數(shù)四十七頁\編于五點即ξ落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關,只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.應用場合進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機變量.目前十七頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差ξ的p.d.f.并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

ξ等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則目前十八頁\總數(shù)四十七頁\編于五點(2)指數(shù)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作ξ

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)目前十九頁\總數(shù)四十七頁\編于五點1xF(x)0xp(x)0目前二十頁\總數(shù)四十七頁\編于五點對于任意的0<a<b,應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似目前二十一頁\總數(shù)四十七頁\編于五點若ξ~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題目前二十二頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例4

假定一大型設備在任何長為

t

的時間內(nèi)求發(fā)生故障的次數(shù)相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;(2)設備已正常運行８小時的情況下,再正常運行10小時的概率.解(1)目前二十三頁\總數(shù)四十七頁\編于五點即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”目前二十四頁\總數(shù)四十七頁\編于五點(3)正態(tài)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作ξ~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布目前二十五頁\總數(shù)四十七頁\編于五點N(-3,1.2)目前二十六頁\總數(shù)四十七頁\編于五點p(x)的性質(zhì)：圖形關于直線x=

對稱,即在x=

時,p(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=p(x)在對應的曲線

y=p(x)以x軸為漸近線。曲線

y=p(x)的圖形呈單峰狀。p(+x)=p(-x)點處有拐點。目前二十七頁\總數(shù)四十七頁\編于五點目前二十八頁\總數(shù)四十七頁\編于五點

p(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應的p(x)—形狀參數(shù)固定，對于不同的，p(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應的拐點更靠近直線x=.附近值的概率更大.x=1所對應的拐點前者取的形狀不變化，只是位置不同。目前二十九頁\總數(shù)四十七頁\編于五點幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比大小目前三十頁\總數(shù)四十七頁\編于五點正態(tài)變量的條件若r.v.

ξ①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱ξ為正態(tài)r.v.目前三十一頁\總數(shù)四十七頁\編于五點可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生的考試成績；目前三十二頁\總數(shù)四十七頁\編于五點一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)目前三十三頁\總數(shù)四十七頁\編于五點目前三十四頁\總數(shù)四十七頁\編于五點-xx目前三十五頁\總數(shù)四十七頁\編于五點對一般的正態(tài)分布：ξ~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換目前三十六頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例5設ξ~N(1,4),求P(0ξ1.6)解目前三十七頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例6已知且P(2<ξ<4)=0.3,求P(ξ<0).解一目前三十八頁\總數(shù)四十七頁\編于五點解二圖解法0.2由圖0.3目前三十九頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例7設求下列概率值：因為求得下列概率值目前四十頁\總數(shù)四十七頁\編于五點準則正態(tài)r.v的值幾乎都落在內(nèi)3σ原則：目前四十一頁\總數(shù)四十七頁\編于五點一次試驗中,ξ落入?yún)^(qū)間(-3,+3)由3原理知，當?shù)母怕蕿?.9974,而超出此區(qū)間可能性很小目前四十二頁\總數(shù)四十七頁\編于五點z標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設ξ~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為ξ的上分位數(shù)

常用數(shù)據(jù)目前四十三頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例8

設測量的誤差ξ~N(7.5,100)(單位:米)問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解目前四十四頁\總數(shù)四十七頁\編于五點設A

表示進行n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米。n>3故至少要進行4次獨立測量才能滿足要求.目前四十五頁\總數(shù)四十七頁\編于五點例9：某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時即可。現(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽