《自動(dòng)控制原理簡明教程》第八章補(bǔ)充 相平面法

第八章補(bǔ)充

相平面法

非線性系統(tǒng)的三種常用方法相平面法圖解分析法時(shí)域分析法描述函數(shù)法－一次諧波近似法圖解分析法頻域分析法和非線性特性諧波線性化逆系統(tǒng)法－反饋線性化常見非線性特性非線性特性的等效增益的定義1.相平面、相軌跡、相平面圖

-eett在相軌跡上，箭頭表示時(shí)間增大的方向若以各種可能初始條件為初始點(diǎn)，既可以得到一族相軌跡相平面和相軌跡曲線總稱為相平面圖相平面圖表明一階或二階系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過程ett

x-101不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定

2.相軌跡的等傾線法圖解法繪制相平面圖不必求解微分方程，而是把相軌跡一小段一小段地直接描繪在相平面上。圖解法可應(yīng)用于線性系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)定?；驎r(shí)變系統(tǒng)圖解法得到的是近似解，其精度取決于圖形的大小、小段曲線長短以及誤差的積累等因素

等傾線法的基本思想因?yàn)槠矫嫔先我还饣€都可以由一系列短的折線近似替代。每段短折線都有不同的斜率等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點(diǎn)的連線在等傾線的基礎(chǔ)上可以畫出折線，近似代替相軌跡，從而完成相軌跡曲線的繪制相軌跡斜率方程

相軌跡繪制過程列寫等傾線方程，繪制等傾線繪制切線方向場(chǎng)從給定的初始點(diǎn)出發(fā)，按照該點(diǎn)所處的等傾線的短直線方向做一條小線段，并與相鄰一條等傾線相交，得交點(diǎn)從該交點(diǎn)出發(fā)，按該點(diǎn)所在等傾線的短直線方向做一條小線段，再與相鄰的等傾線相交；按上述步驟依次進(jìn)行最后對(duì)曲線光滑處理，得該系統(tǒng)的相軌跡例題注意事項(xiàng)

3.線性系統(tǒng)的相軌跡

T<0

線性一階系統(tǒng)的相軌跡T>02）線性二階系統(tǒng)的相軌跡

討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡b=0情況a>0a<0

4.奇點(diǎn)和奇線

奇點(diǎn)奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上相軌跡在奇點(diǎn)處切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開奇點(diǎn)，因此相軌跡族曲線在奇點(diǎn)處發(fā)生相交；經(jīng)過奇點(diǎn)的相軌跡有多條；而經(jīng)過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度同時(shí)為零，對(duì)二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不在發(fā)生運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)相平面上的奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)二階系統(tǒng)奇點(diǎn)(0,0)的類型焦點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；系統(tǒng)特征根是具有正實(shí)部的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；系統(tǒng)特征根是具有正實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)系統(tǒng)特征根是具有一正一負(fù)實(shí)根時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)中心點(diǎn)系統(tǒng)具有兩個(gè)共軛純虛數(shù)根，奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)

穩(wěn)定焦點(diǎn)

穩(wěn)定焦點(diǎn)

不穩(wěn)定焦點(diǎn)

不穩(wěn)定焦點(diǎn)

穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)

穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)

不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)

中心點(diǎn)鞍點(diǎn)

鞍點(diǎn)奇線最常見的奇線是極限環(huán)；相平面圖上如果存在一條孤立的封閉相軌跡，而且它附近的其他相軌跡都無限的趨向或離開這個(gè)封閉的相軌跡，則這條封閉相軌跡稱為極限環(huán)

極限環(huán)本身作為一條相軌跡，既不存在平衡點(diǎn)，也不趨向無窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)無首無尾的環(huán)圈。極限環(huán)把相平面的某個(gè)區(qū)域劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分，任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部穿過極限環(huán)進(jìn)入外部平面；也不能從外部平面進(jìn)入內(nèi)部平面極限環(huán)是非線性系統(tǒng)特有現(xiàn)象由于非線性特性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運(yùn)動(dòng)形式

極限環(huán)的種類穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)

穩(wěn)定的極限環(huán)

不穩(wěn)定的極限環(huán)

半穩(wěn)定的極限環(huán)例8－2

(-2,0)1）相交于(-2,0)的兩條相軌跡為奇線，將相平面分為兩個(gè)區(qū)域：穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域2）凡初始條件在穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)收斂于原點(diǎn)；凡初始條件在不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)散至無窮非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性與初始條件密切相關(guān)1）相交于(-2,0)的兩條相軌跡為奇線，將相平面分為兩個(gè)區(qū)域：穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域2）凡初始條件在穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)收斂于原點(diǎn)；凡初始條件在不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)散至無窮非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性與初始條件密切相關(guān)

5.