2021屆河南省湘豫名校高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)理科試題(解析版)

湘豫名校聯(lián)考（2021年1月）數(shù)學(xué)（理科）試卷第Ⅰ卷一、選擇題1．將下列各式的運(yùn)算結(jié)果在復(fù)平面中表示，在第四象限的為（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．3．張先生去某城市參加學(xué)術(shù)會議，擬選擇在會議中心附近的、兩酒店中的一個(gè)人住．兩酒店條件和價(jià)格相當(dāng)，張先生在網(wǎng)上查看了最近入住兩個(gè)酒店的客人對兩酒店的綜合評分，并將評分?jǐn)?shù)據(jù)記錄為如右的莖葉圖．記、兩酒店的宗合評分?jǐn)?shù)據(jù)的均值為，，方差為，，若以此為依據(jù)，下述判斷較合理的是（）A．因?yàn)椋?，?yīng)選擇酒店B．因?yàn)椋?，?yīng)選擇酒店C．因?yàn)椋?，?yīng)選擇酒店D．因?yàn)?，，?yīng)選擇酒店4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則該拋物線的方程為（）A． B． C． D．6．《巴黎協(xié)定》是2015年12月12日在巴黎氣候變化大會通過，2016年4月22日在紐約簽署的氣候變化協(xié)定，該協(xié)定為2020年后的全球應(yīng)對氣候變化行動作出安排．中國政府一直致力積極推動《巴黎氣候》協(xié)定的全面有效落實(shí)．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的含量不得超過1%．已知在過濾過程中污染物的數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時(shí)間（單位：時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為（，均為正常數(shù)）．如果前5小時(shí)的過濾過程中污染物被排除了90%，那么排放前至少還需要過濾的時(shí)間是（）A．小時(shí) B．小時(shí) C．5小時(shí) D．10小時(shí)7．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象的一條對稱軸為 D．的圖象的一個(gè)對稱中心為8．的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．-20 B．20 C．-15 D．159．若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線離心率為（）A． B． C．2 D．10．在中，由角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（）A． B． C．1 D．11．已知矩形中，，，，分別為邊和上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，將四邊形沿折起，使平面平面，連接，，當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，該三棱柱的外接球體積為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．由此結(jié)論可求的對稱中心為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題13．若單位向量，的夾角為120°，則______．14．若，則______．15．如圖，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，則點(diǎn)到平面的距離等于______．16．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，雙曲線，，分別為，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為______．三、解答題（一）必考題：17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，記點(diǎn)，，…，，設(shè)所在的直線與x軸交于點(diǎn)，，求．18．為激活國內(nèi)消費(fèi)市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺一系列的促進(jìn)國內(nèi)消費(fèi)的優(yōu)惠政策，某機(jī)構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費(fèi)者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元以上人群屬“購買力強(qiáng)人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費(fèi)人群中隨機(jī)選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強(qiáng)的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，記第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到頻率分布直方圖，如圖．（1）求出頻率分布直方圖中的值和這200人的平均年齡；（2）從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率；（3）把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問是否有99%的把握認(rèn)為是否屬“購買力強(qiáng)人群”與年齡有關(guān)?附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．20．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上不與，重合的動點(diǎn)，且面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）分別過點(diǎn)，作直線于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．21．已知函數(shù)，．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，交極軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）求，點(diǎn)的極坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求面積的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)．23．已知函數(shù)．（1）若，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．湘豫名校聯(lián)考（2021年1月）數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ABBCBCCDADCB1．A【解析】由在第四象限，故選A．2．B【解析】由得，所以，所以．3．B【解析】由，，，，故選B．4．C【解析】易知，，又，，而，有，則．故選C．5．B【解析】設(shè)，，由拋物線定義知：，又，即，故拋物線方程為．6．C【解析】由題知：當(dāng)時(shí)，，所以，即，由，即，解得，即還需5小時(shí)，故選C．7．C【解析】由題知：．當(dāng)時(shí)，，易知C正確．8．D【解析】的展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，所以，所以展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．9．A【解析】易知切點(diǎn)為原點(diǎn)，又的導(dǎo)函數(shù)，故，，，又，則．故選A10．D【解析】由正弦定理：．化簡得，故．當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取“=”故選D．11．C【解析】設(shè)，則，折得的幾何體為三棱柱，故．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的體積最大．此時(shí)外接球直徑為，故外接球體積．12．B【解析】由題知，設(shè)的對稱中心為，則為奇函數(shù)．即，即．又，，，則恒成立，則故選B．二、填空題13．【解析】，故．14．【解析】．15．【解析】由題意，可將三棱錐補(bǔ)全為邊長為1的正方體如圖所示，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由得，所以．16．【解析】①當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，，此時(shí)；②當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，，．則，所以，當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以最小值為．三、解答題17．【解析】（1）由題知，為等差數(shù)列，設(shè)其公差為．由，得，解得．故．又的前項(xiàng)和．時(shí)，，時(shí)，．也符合上式，故．即：，．（2）由題知，直線過點(diǎn)和，故其方程為，即，令，即有，即．，故．）+…+（n十318．【解析】（1）由題意得：，所以，200人的平均年齡為：．（2）由題意得：利用分層抽樣的方法從第一組抽取2人，從第二組抽取3人，記從第一組抽取的2人為，，從第二組抽取的3人為，，則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有，即10種，其中兩人恰好屬于不同組別的基本事件有種，即6種，故所求的概率．（3）由題意可得列聯(lián)表為：購買力強(qiáng)人群購買力弱人群合計(jì)青少年組10020120中老年組602080合計(jì)16040200故的觀測值，故沒有99%的把握認(rèn)為是否屬“購買力強(qiáng)人群”與年齡有關(guān)．19．【解析】（1）連接交于，連接，則為中點(diǎn)，所以為的中位線，，又平面，平面，平面．（2），所以，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，則，，，，、平面，，平面，又平面，，，，、平面，平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，，兩兩垂直；如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則即取；設(shè)平面的法向量為，則即取，所以，所以二面角的余弦值為．20．【解析】（1）由題意得，即．又，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)．故，則的最大值為即，代入得，故，，即橢圓方程為．（2）設(shè)，，則．①由題意得：，，，，則，．且，代入①得，又，所以，即，整理得．故為所求軌跡方程．21．【解析】（1），．，令，解得（負(fù)值舍去）．所以當(dāng)，；當(dāng)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由已知，，由于恒成立，即恒成立，等價(jià)于恒成立，令，，，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即恒成立，令，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)