九年級(jí)上冊(cè)第二十一章一元二次方程

一二方復(fù)1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的式方程叫做一元二次方程.一元二次方程必須滿足滿足以下三個(gè)條件：①方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.其一般形式是ax+bx+c=0(a0),這個(gè)問題中注意三:①會(huì)判斷一個(gè)方程是不是一元二次方;②能準(zhǔn)確的將一個(gè)一元二次方程整理成一般形式,并確的指出二次項(xiàng)系數(shù),一項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)這點(diǎn)是重要的譬用式法解一元二次方,若a,b,c不確定,就不能準(zhǔn)確的解方程另,根的判斷式b-4ac,元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系都是用a,b,c表的③要注意a≠0這條件2.任關(guān)于x的元二次方程都可整理成

bx0(

的形式這形式叫做一元二次方程的一般形式的征是方程左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次三項(xiàng)式程右邊是零，其中叫二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)bx叫做一次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)系數(shù)c叫做常數(shù)項(xiàng)。注意b、可以任何實(shí)數(shù)，但a絕不能為零，否則，就不是一元二次方程了?；辉畏匠虨橐话阈问降氖侄问侨シ帜咐ㄌ?hào)、移項(xiàng)并同類項(xiàng)，整理后的方程最好按降冪排列二項(xiàng)系數(shù)化為數(shù)注意任何一個(gè)一元二次方程不可缺少二次項(xiàng)擔(dān)可缺少一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，即b、均可以為零。3一二次方程的.使元次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。4.一二次方程的解法一元二次方程的解法（）接平法方

x

的為xa

，這種解一元二次方程的方法叫直接開平方法。它是利用了平方根的定義直接開平方，只要形式能化成

的一元二次方程都可以采用直接開平方法來解。直接法適用于ax+c=0(a＞0，＜型的一元二次方程．用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)，或完全平方式，就可以直接開平方法求解，在開平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為的形式來求解方要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。（）式解：先把方程右邊化為為零，左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式乘積，由于兩個(gè)一次因式相乘為零一個(gè)因式為零或第二個(gè)因式為零樣過降次將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程因式分解法解一元二次方程時(shí)千萬別約去兩邊含未知數(shù)的等式如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)可用因式分解法求解這只要使每個(gè)一次式等于零別解兩個(gè)一元一次方程得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。因分法一二方的驟:?1.方程右為;?2.將方程邊式解;根“至少一因?yàn)椤?轉(zhuǎn)化兩一一方.?4.分別解個(gè)元次程它的就原程根.用式解的件方程邊于解,而邊等零;理依是“如兩因的等零那么少一因等零.”（）方：用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的步驟．解：∵≠，邊同除以a，得把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得

bacbac(a≠0)的求根公式．應(yīng)用公式的前提，即b-4ac≥．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于將方程化為一般形式ax+bx+c=0(a≠；(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a，，代入根公式．通過配方將一元二次方程化成

的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。配法是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它以aa)2

為依據(jù)。其基本步驟是：①首先在方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)a,b把二項(xiàng)數(shù)為1②把常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊；③程邊時(shí)上次系一的方④方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡為常數(shù)；⑤利用直接開平方法解此方程（）式：用公式

22a

ac

可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵是先把方程化為

2

bx0(0)

的形式，當(dāng)

b

時(shí)，方程的解為

x

b2

b

，當(dāng)

b

<0時(shí)，元二次方程無解。用式法解一元二次方程時(shí)一定要把一元二次方程化為

ax

2

bx0(0)

的形式，準(zhǔn)確確定a、b、的。任何一個(gè)一元二次方程

用配方法將其變形為因此對(duì)于被開方數(shù)

來說只需研究（）即

為如下幾種情況的方程的根。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（）（）①定義“”示。

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。叫做一元二次方程

。的根的判別式通常用符號(hào)②一元二次方程

元次方程的根的情況與判別eq\o\ac(△,式)的關(guān)系：當(dāng)當(dāng)當(dāng)

時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根。反之亦然。熟記求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

（）公式中字母意義在使用求根公式1把方程化為一般形式做到、、之沒有公因數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計(jì)算較為簡便。2）把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)、

、代公式時(shí)，注意它們的符號(hào)。3）當(dāng)

時(shí)，才能求出方程的兩根。配方法、公式法、因式分解法聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次．②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到．③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程．區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘一為0，?使各一次因式等于0．

1配方的目的是使代數(shù)式或方程的變成全方式，其根據(jù)是乘法公式a2±2ab+b2=（a±b）2.用配方法解方程的關(guān)鍵是配成全平方式，特別要注意配方時(shí)方程兩邊必須同時(shí)加上（減去）同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式。一二方的法方法

適合方程類型

注意事項(xiàng)直接開平方法（x+a）=bb0有解，時(shí)無解。配方法X+px+q=0

二次項(xiàng)系數(shù)若不為1，必須先系數(shù)化為1再進(jìn)行配方。公式法Ax+bx+c=0(a0)b-4ac0時(shí)，程有解；b-4ac<0時(shí)方程無解。先化為一般形式再用公式因式分解法

方程的一邊為0邊分解成兩個(gè)一次因式的積。

方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式。5．關(guān)于一元二次方程的應(yīng)用列方程解應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)是把實(shí)際問題利用已知量與未知量之間的等量關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題（方程問題后過數(shù)學(xué)問題的解決，獲得實(shí)際問題的答案。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟可概括為審、設(shè)、列、解、答。①審：弄清題目中涉及到的已知量與未知量，找出反映已知量與未知量等量關(guān)系的句子②設(shè)用表示知數(shù)把其他也用數(shù)學(xué)利用已知量與未知量之間的等量關(guān)系式子表示出來③列：利用已知量與未知量之間的等量關(guān)系列一元二次方程④解：解一元二次方程，注意要檢驗(yàn)所得的解是否滿足題意⑤答：寫出答案。6.一二次方程的根與系數(shù)的關(guān)（韋達(dá)定理如果

的兩個(gè)根是

x,2

則

x

bc,xa

．一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系。設(shè)∴

是方程

的兩個(gè)根。

∴結(jié)論1．如果如果把方程

的兩個(gè)根是，么。變形為。我們就可把它寫成

的形式，其中

。從而得出：結(jié)論2．如果方程

的兩個(gè)根是，么

。二次三項(xiàng)式二次三項(xiàng)式二次三項(xiàng)式

能分解因式不能分解分解成完全平方式設(shè)方程∴

的兩個(gè)根為，么，

在分解二次三項(xiàng)式兩個(gè)根，后寫成

的因式時(shí)，可先用公式求出方程

的熟掌二一方與次數(shù)間區(qū)和系區(qū)別）二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù)，而一次函數(shù)則有兩個(gè)變量；（二一次方程有一個(gè)等式示兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)既可以是一個(gè)等式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，又可以是列表或圖象來表示兩