高二數(shù)學(xué)排列組合綜合應(yīng)用問(wèn)題

排列組合綜合應(yīng)用題例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2）4只鞋子沒(méi)有成雙的；（3）4只鞋子只有一雙。分析:(1)因?yàn)?只鞋來(lái)自2雙鞋,所以有(2)因?yàn)?只鞋來(lái)自4雙不同的鞋,而從10雙鞋中取4雙有種方法,每雙鞋中可取左邊一只也可取右邊一只,各有種取法,所以一共有種取法.(3)因?yàn)?只鞋來(lái)自3雙鞋,而從10雙鞋中取3雙有種取法,3雙鞋中取出1雙有種方法,另2雙鞋中各取1只有種方法故共有種取法.引入：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了排列組合問(wèn)題的求解方法，下面我們要在復(fù)習(xí)、鞏固已掌握的方法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)和討論排列、組合的綜合問(wèn)題。和應(yīng)用問(wèn)題。

問(wèn)題：解決排列組合問(wèn)題一般有哪些方法？應(yīng)注意什么問(wèn)題？

解排列組合問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題分成互斥各類時(shí)，根據(jù)加法原理，可用分類法；當(dāng)問(wèn)題考慮先后次序時(shí)，根據(jù)乘法原理，可用位置法；上述兩種稱“直接法”,當(dāng)問(wèn)題的反面簡(jiǎn)單明了時(shí)，可通過(guò)求差排除法,采用“間接法”；另外，排列中“相鄰”問(wèn)題可采用捆綁法；“分離”問(wèn)題可用插空法等。解排列組合問(wèn)題，一定要做到“不重”、“不漏”。①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；③分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；④分為甲、乙、丙三組，每組4人；⑤分為三組，每組4人。例1：12人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33

小結(jié)：練習(xí)1說(shuō)明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配問(wèn)題。

1.非平均分配問(wèn)題中，沒(méi)有給出組名與給出組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名而沒(méi)指明哪組是幾個(gè)，可以在沒(méi)有給出組名（或給出組名但不指明各組多少個(gè)）種數(shù)的基礎(chǔ)上乘以組數(shù)的全排列數(shù)。

2.平均分配問(wèn)題中，給出組名的分步求；若沒(méi)給出組名的，一定要在給出組名的基礎(chǔ)上除以組數(shù)的全排列數(shù)。

3.部分平均分配問(wèn)題中，先考慮不平均分配，剩下的就是平均分配。這樣分配問(wèn)題就解決了。結(jié)論：給出組名(非平均中未指明各組個(gè)數(shù)）的要在未給出組名的種數(shù)的基礎(chǔ)上，乘以組數(shù)的階乘。例2：求不同的排法種數(shù)。①6男2女排成一排，2女相鄰；②6男2女排成一排，2女不能相鄰；③4男4女排成一排，同性者相鄰；④4男4女排成一排，同性者不能相鄰。例3：某乒乓球隊(duì)有8男7女共15名隊(duì)員，現(xiàn)進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，兩邊都必須要1男1女，共有多少種不同的搭配方法。

分析：每一種搭配都需要2男2女，所以先要選出2男2女，有C82.C72種；然后考慮2男2女搭配，有多少種方法？男女----------男女①

Aa-------------Bb②

Ab-------------Ba③Bb-------------Aa④

Ba-------------Ab

顯然：①與③；②與④在搭配上是一樣的。所以只有2種方法，所以總的搭配方法有2C82.C72種。先組后排1.高二要從全級(jí)10名獨(dú)唱選手中選出6名在歌詠會(huì)上表演，出場(chǎng)安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？練習(xí)：（一）.有條件限制的排列問(wèn)題

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？②a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？③a,e排在一起多少種排法？④a,e不相鄰有多少種排法？⑤a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？

解：①（解題思路）分兩步完成，把a(bǔ),e排在首末兩端有A22種，再把其余3個(gè)元素排在中間3個(gè)位置有A33種。由乘法共有A22.A33=12(種)排法。優(yōu)先法二.排列組合應(yīng)用問(wèn)題

解：②先從b,c,d三個(gè)選其中兩個(gè)排在首末兩位，有A32種，然后把剩下的一個(gè)與a,e排在中間三個(gè)位置有A33種，由乘法原理:共有A32.A33=36種排列.間接法：

A55-4A44+2A33（種）排法。

解：③捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成一個(gè)整體,作為一個(gè)元素與其它3個(gè)元素全排列，有A44種；a,e兩個(gè)元素的全排列數(shù)為A22種，由乘法原理共有A44.A22(種)排列。

解：④排除法：即用5個(gè)元素的全排列數(shù)A55，扣除a,e排在一起排列數(shù)A44.A22，則a,e不相鄰的排列總數(shù)為A55-A44.A22（種）插空法：即把a(bǔ),e以外的三個(gè)元素全排列有A33種，再把a(bǔ),e插入三個(gè)元素排定后形成的4個(gè)空位上有A42種，由乘法原理共有A33.A42

(種)

解:

⑤a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有一種順序，但a,e間的排列數(shù)為A22，所以，可把5個(gè)元素全排列得排列數(shù)A55，然后再除以a,e的排列數(shù)A22。所以共有排列總數(shù)為A55/A22（種）

注意：若是3個(gè)元素按一定順序，則必須除以排列數(shù)P33。

例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，求含有5個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集的個(gè)數(shù)。（二）有條件限制的組合問(wèn)題：解法1：5個(gè)元素中至少有兩個(gè)是偶數(shù)可分成三類：①2個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)；②3個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)；③4個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)。所以共有子集個(gè)數(shù)為

C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：從反面考慮，全部子集個(gè)數(shù)為P95，而不符合條件的有兩類：①5個(gè)都是奇數(shù)；②4個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)。所以共有子集個(gè)數(shù)為C95-C55-C54.C41=105（三）排列組合混合問(wèn)題：

例3：從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作。一共有多少種分配方案。

解1：分三步完成，1.選3名男同學(xué)有C63種，2.選2名女同學(xué)有C42種，3.對(duì)選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種).例3：從6名男緩?fù)瑢W(xué)兆和4名女清同學(xué)怨中，學(xué)選出3名男度同學(xué)和2名女慨同學(xué)顆分別而承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工選作。一共嚴(yán)有多駕少種卸分配幣方案葬。解2：把工作宜當(dāng)作偉元素熊，同伸學(xué)看騎作位儀置，1.從5種工作糟中任弦選3種（室組合叢問(wèn)題目）分梢給6個(gè)男候同學(xué)資中的3人（尖排列宣問(wèn)題上）有C53.A63種,第二滿步,將余杜下的2個(gè)工包作分驕給4個(gè)女備同學(xué)禁中的2人有A42種.根據(jù)可乘法油原理燈共有C53.A63.燭A42=1妥44覽00希(種).亦可番先分糧配給楊女同單學(xué)工屯作,再給進(jìn)男同糖學(xué)分宜配工叢作,分配林方案客有C52.帳A42.A63=1貴44危00汁(種).例4.九張摔卡片悼分別粘寫著化數(shù)字0，1，2，…，8，從鉤中取段出三張排毛成一區(qū)排組課成一錄個(gè)三瞇位數(shù)私，如斤果6可以越當(dāng)作9使用扣，問(wèn)可以次組成乘多少假個(gè)三展位數(shù)過(guò)？解：可以共分為魂兩類瓦情況搜：①添若目取出6，則邁有種方惡法；②若辨不取6，則銅有好種依方法羨，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有+＝602種方法排列催組合肆應(yīng)用再題與既實(shí)際敢是緊恐密相沃連的騙，但錯(cuò)思考竊起來(lái)嫌又比沉較抽飛象。耕“具撞體排毅”是技抽象挪轉(zhuǎn)化誤為具核體的晨橋梁窄，是儲(chǔ)解題升的重餅要思儀考方喬法之滅一。釘“具極體排殼”可穴以幫丟助思梅考，臘可以轉(zhuǎn)找出足重復(fù)棄，遺矛漏的輪原因渴。有違同學(xué)啦總結(jié)借解排者列組給合應(yīng)刺用題肆的方夸法是隨“得想冰透，賞排夠姨不重過(guò)不漏芹”止是白很有貝道理袖的。解排媽列組總合應(yīng)餡用題宅最重沾要的柳是，笛通過(guò)戲分析犁構(gòu)想量設(shè)計(jì)膏合理?yè)竦慕饬P題方棒案，后在這洗里抽鏈象與齒具體膽，直榨接法王與間藝接法躲，全身面分顛類與困合理削分步民等思篇維方拘法和通解題深策略偵得到顆廣泛旬運(yùn)用院。課堂培小結(jié)典型內(nèi)例題1.亭4名優(yōu)鏟等生改被保義送到3所學(xué)訊校，蒙每所學(xué)役校至賊少得1名，玩則不鑄同的港保送甘方案鎮(zhèn)總數(shù)抗為（彈）盆。（A)蟻3吵6渴(儀B)舉2寧4傭(籍C)牽1省2煌(鋼D)栽62.若把負(fù)英語(yǔ)既單詞鍋“er灰ro尚r”中字名母的抵拼寫察順序席寫錯(cuò)連了，劣則可昨能出現(xiàn)射的錯(cuò)品誤的樂(lè)種數(shù)爐是（量）（A)別2民0貴(B宗)鑒19配(裳C)簽1剖0軋(拐D)乓6吐93.小于50000且含有兩個(gè)5，而其它數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)有（）個(gè)。（A)(B)(C)(D)

ABB練超習(xí)3.存1哄5人按善照下跑列要織求分撇配，紀(jì)求不熔同的投分法粥種數(shù)虛。(1規(guī))分為血三組筆，每躁組5人,共有__獻(xiàn)__事__州__鞠__描__犬__種不伐同的吹分法絮。（2）分為抖甲、薪乙、匹丙三納組，匙一組7人，旨另兩豬組各4人，權(quán)共有__俗__音__躁__呈__劣__蝦__外__獻(xiàn)__級(jí)_種不塘同的晉分法騙。（3）分為羅甲、靜乙、偶丙三棄組，至一組6人，賤一組5人，厘一組4人，宏共有__紙__淚__圓__焰__幻玉__勸__撤__陷__澡_種不若同的摩分法階。4.鍛