平面力系的平衡方程及應(yīng)用

機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)之靜力學(xué)模塊V1平面力系的平衡目前一頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)

引言力系—平面內(nèi)作用在物體上力的總稱（力的集合）根據(jù)力的作用線是否共面可分為：平面力系空間力系根據(jù)力的作用線是否匯交可分為：匯交力系平行力系任意力系平衡力系—作用在物體上使物體保持平衡的力系目前二頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面力系的平衡平面力系的平衡平面匯交力系平面力偶系平面任意力系目前三頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面匯交力系一級(jí)目錄平面匯交力系平面力偶系平面任意力系平面力系的平衡目前四頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面匯交力系平面匯交力系過渡頁平面匯交力系1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影；2、合力投影定理；3、平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系目前五頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面匯交力系平面匯交力系過渡頁平面匯交力系

平面匯交力系：研究方法：幾何法，解析法。

各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。目前六頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文LOGO力在直角坐標(biāo)軸上的投影1平面匯交力系

Fx=F·cosa

;Fy=F·sina=F·cosb說明：（1）力在坐標(biāo)軸上的投影為代數(shù)量；（2）力的指向與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)，力的投影為正值，否則為負(fù)。目前七頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力投影定理2平面匯交力系由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為：合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。FRxF2xF1xF3xF4xxyo目前八頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面匯交力系合成的解析法3平面匯交力系平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。兩個(gè)獨(dú)立方程可求解兩個(gè)未知量平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。只要不平行即可目前九頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面匯交力系合成的解析法3平面匯交力系

（3）合理選取坐標(biāo)系，列平衡方程求解；（4）對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的分析和討論。（1）選取研究對(duì)象；（2）畫出研究對(duì)象的受力圖；幾點(diǎn)說明：（1）投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知力的方向可以先假設(shè)，如果求出負(fù)值，說明與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。解析法解題步驟：目前十頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面匯交力系合成的解析法3平面匯交力系例題1已知：P，a

，求：A、B處約束反力。2a

PaABCD解：（1）取剛架為研究對(duì)象（2）畫受力圖解上述方程，得（3）建立坐標(biāo)系，列方程求解

PABCD

FB

FA目前十一頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面匯交力系合成的解析法3平面匯交力系解：①研究AB桿②畫出受力圖③列平衡方程例題2已知P=2kN求Scd,Ra目前十二頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面匯交力系合成的解析法3平面匯交力系④解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；目前十三頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面匯交力系平面任意力系過渡頁平面力偶系平面力系的平衡目前十四頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面力偶系平面力偶系過渡頁平面力偶系1、力矩的概念；2、合力矩定理；3、力偶和力偶矩；4、平面力偶系的合成與平衡平面力偶系目前十五頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面力偶系過渡頁平面力偶系力對(duì)物體可以產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向力矩：是度量力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量。扭矩扳手目前十六頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文LOGO力對(duì)點(diǎn)之矩1平面力偶系OFABh力臂矩心＋－①

平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關(guān)，且與矩心位置有關(guān)。③當(dāng)F=0或h=0時(shí)，=0。說明：②力對(duì)點(diǎn)之矩不因力的作用線移動(dòng)而改變。④互成平衡的兩個(gè)力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。目前十七頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力矩定理2平面力偶系

定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。 即：目前十八頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力矩定理2平面力偶系

解：①用力對(duì)點(diǎn)的矩法例題3已知：如圖F、Q、l,求：和 ②應(yīng)用合力矩定理目前十九頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力矩定理2平面力偶系

解：例題4已知：如圖F、R、r,

,求： 應(yīng)用合力矩定理ARFrFxFy目前二十頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力矩定理2平面力偶系

解：例題5已知：如圖q、l,求：合力的大小和作用線位置。xClABqQ=qlCxdxqdx目前二十一頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文合力矩定理2平面力偶系

解：例題6已知：如圖q、l,求：合力的大小和作用線位置。xClABqQCxdxq'dx[注]：三角型分布載荷的合力大小等于該三角型的面積，合力的作用線通過該三角形的幾何中心。目前二十二頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文力偶與力偶矩3平面力偶系

力偶ABd力偶—兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。力偶臂—力偶的兩力之間的垂直距離。力偶的作用面—力偶所在的平面。目前二十三頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系

力偶

矩力偶與力偶矩3力偶矩ABOdx—度量力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)力偶矩與力矩具有相同的性質(zhì)。力偶的三要素：力偶矩的大?。涣ε嫉霓D(zhuǎn)向；力偶的作用面。目前二十四頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系

平面力偶的性質(zhì)力偶與力偶矩3性質(zhì)1：力偶中兩個(gè)力在任意方向上的投影等于零，故力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)性質(zhì)2：力偶不能合成為一個(gè)力（沒有合力），也不能用一個(gè)力來平衡，力偶只能與力偶來平衡。力和力偶是兩個(gè)基本力素。目前二十五頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系

平面力偶的性質(zhì)力偶與力偶矩3性質(zhì)3：力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心

的位置無關(guān)，因此力偶對(duì)剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。由于O點(diǎn)是任取的— +FF'dOxAB目前二十六頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系

力偶的等效力偶與力偶矩3F0F0ABdFDCF1F2★

在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。推論1：力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)；推論2：只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用。MMM力偶表示方法目前二十七頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文思考：平面力偶系力偶與力的異同共同點(diǎn)：?jiǎn)挝唤y(tǒng)一，符號(hào)規(guī)定統(tǒng)一。差異點(diǎn)：1.力矩隨矩心位置不同而變化；力偶矩對(duì)物體作用效果與矩心選取無關(guān)。

2.力偶矩可以完全描述一個(gè)力偶；力對(duì)點(diǎn)之矩不能完全描述一個(gè)力。思考：1.如果某平面力系由多個(gè)力偶和一個(gè)力組成，該力系一定不平衡。2.如果某平面力系由多個(gè)力和一個(gè)力偶組成，該力系一定不平衡。目前二十八頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系

平面力偶系的合成平面力偶系的合成與平衡4ABdF4F3F1d1F2d2ABFd任意個(gè)力偶的情況結(jié)論：平面力偶系合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。目前二十九頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系平面力偶系的合成與平衡4

平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

目前三十頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系平面力偶系的合成與平衡4

梁上除作用有力偶M

外，還有反力FA，F(xiàn)B

。解：以梁為研究對(duì)象。

因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以

FA=FB。又∑M=0即M-FA×d=0所以FA

=FB=M/dBAdMFBFAdMBA例題7一簡(jiǎn)支梁作用一矩為M的力偶，不計(jì)梁重，求二支座約束力。（AB=d）目前三十一頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面力偶系平面力偶系的合成與平衡4

因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以，力FA與FB構(gòu)成一力偶，故FA=FB。列寫平衡方程：BlFAFBA∑M=0，解得例題11如圖所示的工件上作用有三個(gè)力偶。已知三個(gè)力偶的矩分別為：M1=M2=10N.m，M3=20N.m；固定螺柱A和B的距離l=200mm

。求兩個(gè)光滑螺柱所受的水平力。解：

選工件為研究對(duì)象，目前三十二頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面匯交力系平面力偶系一級(jí)目錄平面任意力系平面任意力系平面力系的平衡目前三十三頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面任意力系平面任意力系過渡頁平面任意力系1、力系的簡(jiǎn)化2、平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用平面任意力系目前三十四頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)平面任意力系過渡頁平面任意力系平面任意力系：各力的作用線在同一平面內(nèi),既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系。研究方法：未知力系已知力系力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化（平面任意力系）（平面匯交力系和平面力偶系）目前三十五頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系1

力的平移定理AFBdF′F′′AF′BM=±F.d=MB(F)定理：可以把作用于剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。MAFBd目前三十六頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系1

力的平移討論M′FF為什么釘子有時(shí)會(huì)折彎？F(a)F(b)兩圓盤運(yùn)動(dòng)形式是否一樣？′FM單手攻絲目前三十七頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系1

平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化F3F1F2OOOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F3′M3F2=F2′M2=MO(F2)F3=F3′M3=MO(F3)簡(jiǎn)化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′平面匯交力系平面力偶系目前三十八頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系1

平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化OxyMOFR′結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過簡(jiǎn)化中心。這個(gè)力偶的矩等于力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。原力系的主矢力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心O的主矩目前三十九頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系1平面任意力系F1F2F3F4Fn平面力偶系平面匯交力系合成合成FR=FiM=Mi力線平移定理[例]FAyFAxFFN目前四十頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用平面任意力系平衡的充要條件為：平面任意力系的平衡方程

=0為力平衡

MO=0為力偶也平衡 力系的主矢和主矩MO都等于零2目前四十一頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2●幾點(diǎn)說明：（1）三個(gè)方程只能求解三個(gè)未知量；（2）二個(gè)投影坐標(biāo)軸不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐標(biāo)軸盡可能與多個(gè)未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心盡可能選多個(gè)未知力的交點(diǎn)。平面任意力系平衡方程的基本式目前四十二頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文例題12已知：q，a,P=qa,M=Pa，求：A、B兩點(diǎn)的支座反力？解：①選AB梁為研究對(duì)象。②畫受力圖

列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBAqMP平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2目前四十三頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文例題13已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,

求：BC桿拉力和鉸A處的支座反力？解：（1）選AB梁為研究對(duì)象。（2）畫受力圖FAxFAyFBCAQlBPal/2QlABPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2目前四十四頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2目前四十五頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2目前四十六頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用2目前四十七頁\總數(shù)五十一頁\編于二十點(diǎn)正文②二矩式條件：x軸不垂直于AB連線③三矩式條件：A,B