常系數(shù)高階齊次線性微分方程

高階常系數(shù)齊次線性方程一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法常系數(shù)高階齊次線性微分方程一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式常系數(shù)高階齊次線性微分方程n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)的特征方程常系數(shù)高階齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根常系數(shù)高階齊次線性微分方程1.有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為常系數(shù)高階齊次線性微分方程2.有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為常系數(shù)高階齊次線性微分方程3.有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為常系數(shù)高階齊次線性微分方程常系數(shù)高階齊次線性微分方程定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1常系數(shù)高階齊次線性微分方程解特征方程為解得故所求通解為例2常系數(shù)高階齊次線性微分方程三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征根對應(yīng)的特解注1、n次代數(shù)方程恰有n個(gè)根。2、屬于不同特征根的解線性無關(guān)。常系數(shù)高階齊次線性微分方程注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).常系數(shù)高階齊次線性微分方程特征根為故所求通解為解特征方程為例3常系數(shù)高階齊次線性微分方程四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)常系數(shù)高階齊次線性微分方程常系數(shù)高階齊次線性微分方程思考題求微分方程的通解.常系數(shù)高階齊次線性微分方程思考題解答令則特征根通解常系數(shù)高階齊次線性微分方程練習(xí)題常系數(shù)高階齊次線性微分方程練習(xí)題答案常系數(shù)高階齊次線性微分方程微分方程的應(yīng)用題常系數(shù)高階齊次線性微分方程

例1.

某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.

現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多？注:kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).常系數(shù)高階齊次線性微分方程【分析】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！窘?】由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得又常系數(shù)高階齊次線性微分方程由以上兩式得積分得由于故得從而當(dāng)時(shí)所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.常系數(shù)高階齊次線性微分方程例2

如圖所示，平行與軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程常系數(shù)高階齊次線性微分方程所求曲線為常系數(shù)高階齊次線性微分方程答:常系數(shù)高階齊次線性微分方程例4

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖常系數(shù)高階齊次線性微分方程得微分方程