【教學(xué)】《 角平分線》 示范教學(xué)

第一章三角形的證明1.4角平分線第1

課時(shí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明意識(shí)和能力.2．證明角平分線的性質(zhì)定理，探索并證明角平分線的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展推理能力.情境導(dǎo)入

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m．這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1︰20000）？S情境導(dǎo)入

角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中角平分線就是它的對(duì)稱軸．我們?cè)?jīng)用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中角兩邊重合說(shuō)明了角平分線的一個(gè)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．所以在這個(gè)問(wèn)題中，確定集貿(mào)市場(chǎng)位置利用此性質(zhì)就能完成．探究新知此圖片是動(dòng)畫(huà)縮略圖，本動(dòng)畫(huà)資源演示利用尺規(guī)作圖畫(huà)已知角的平分線的方法，適用于角平分線的教學(xué).若需使用，請(qǐng)插入【情景演示】尺規(guī)作圖-作一個(gè)角的平分線.探究新知已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．（3）畫(huà)射線OC．射線OC即為所求．探究新知

角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)？

怎么得到的？

請(qǐng)嘗試證明這一性質(zhì).角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．量角器，也可以對(duì)折角如果是沒(méi)法折的角，用量角器、尺規(guī)作圖。探究新知證明：因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP=OP．∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD＝PE．

如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD＝PE．探究新知本圖片是微課的首頁(yè)截圖，本微課資源講解了角的平分線的性質(zhì)及其作用，并通過(guò)講解實(shí)例鞏固知識(shí)點(diǎn),有利于啟發(fā)教師教學(xué)或?qū)W生預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)使用.若需使用，請(qǐng)插入微課【知識(shí)點(diǎn)解析】角的平分線的性質(zhì).探究新知角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等幾何語(yǔ)言：∵∠AOC＝∠BOC，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．探究新知想一想你能寫(xiě)出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，PD＝PE．求證：OP平分∠AOB．探究新知證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定義）．在Rt△PDO和Rt△PEO中，PO=PO,PD=PE．∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD＝∠POE．∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．探究新知定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．典例精析解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC．又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=

AD=

×10=5．例如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng).典例精析解導(dǎo)入問(wèn)題：如圖，OA表示公路，OB表示鐵路．（1）作∠AOB的平分線OP；（2）在射線OP上截取OC＝2.5cm，即集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于點(diǎn)C處．1．如圖，直線CP是AB的中垂線且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙兩人想在AB上取兩點(diǎn)D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分線，分別交AB于D，E，則D，E即為所求；（乙）作AC，BC之中垂線，分別交AB于D，E，則D，E即為所求．對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（

）．

A．兩人都正確B．兩人都錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤D．甲錯(cuò)誤，乙正確課堂練習(xí)D課堂練習(xí)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且BD∶CD＝3∶2，則點(diǎn)D到線段AB的距離為_(kāi)_______．4課堂練習(xí)3．如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（

）．

A．P為∠A，∠B兩角平分線的交點(diǎn)B．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C．P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)D．P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)B課堂練習(xí)4．如圖，填空．（1）∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，∴___________（_____________________________________）．（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，∴__________（_________________________________________________）．DC＝DE角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．∠1＝∠2角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上ACDEB12課堂練習(xí)5．如圖，把Rt△ABC（∠C＝90°）折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則∠A等于_______度．

30課堂練習(xí)6．已知:如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證:EB=FC．

證明:∵AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB=FC．課堂練習(xí)證明：∵EC為∠ACB的平分線，∴∠BCE=∠ACE．∵CG為∠ACD的平分線，∴∠DCG=∠FCG．∵EG∥BC，∴∠FEC=∠BCE，

∠FGC=∠GCD，從而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG，∴EF=FC，F(xiàn)C=FG，從而EF=FG