函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題完整解法

僅供個(gè)人參考函數(shù)、不等式成立問(wèn)題完整法恒成立問(wèn)題的本類(lèi)型：類(lèi)型1設(shè)

f(x)ax

2

(a

（1）

f(x)在xR

上恒成立且

）

f(x)在x

上恒成立

a且

。類(lèi)型2：設(shè)

f(x)ax2bx(a0)（1）

當(dāng)

0

時(shí)，

f)在x

上

恒

成

立

b2

a

，

f0

fForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialusef)在x

上恒成立

ff(（2）當(dāng)0時(shí)，()在x

上恒成立

f0ff)在x

上恒成立

b2

a

f0

f

0類(lèi)型3：f()切I恒成立f(x)f()切xI恒成(x

minmax

。類(lèi)型4：f(x)g(x)對(duì)一切I恒成立(在(或f(x)

min

x)

max(I恒成一、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)

f(x)kxmn]

有：不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考()f(x)恒成立f(x)恒成立f(n

f)f)例1若等式

2m(x

2

對(duì)足2的有都立求x的范。解析：我們可以用改變主的辦法，將m視主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋簃(2(20

令

f(m(x2(2x

，

2

時(shí)，f(m)0

恒成立，所以只需

f(f(2)0

即

x02x

，以x的范圍是

(

71,)22

。二、利一二函的別式對(duì)于一元二次函數(shù)

f(xax

2

bx0(a0,x

有：（1）（2）

f(x)在Rf(x)0在R

上恒成立上恒成立

且a且

；例2：不等式

xm0

的解集是R，求m的圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)元不等式化為恒成立，滿足題意；（2）

時(shí)，只需

m0

m

，所以，

[1,9)

。三、利函的值或域）（1）

f()

對(duì)任意x都立

f(x)

min

m

；（2）

f()

對(duì)任意x都立

m

max

。簡(jiǎn)單計(jì)作的于最大的，小的小于最小的此看出本類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類(lèi)求函數(shù)的最值問(wèn)題。例3在，已知

f(B4sin

(

4

B)cos,且|f()2

恒成立，求實(shí)數(shù)m的圍。解析：由f()2(

4

B2

)cos2B2sinB0B(0,1]

，不得用于商業(yè)用途

4僅供個(gè)人參考4f()(1,3]

f(B恒立fB)2

(B)mf()

恒成立，(1,3]例4）求使不等式

asinx,]

恒成立的實(shí)數(shù)a的圍解析：由于函

axx

2

),,]44

，然數(shù)最大值

，a

。如果把上題稍微改一點(diǎn)，么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等

asinxcosx,x

(0,)42

恒成立的實(shí)數(shù)a的范。解析我首先要認(rèn)真比上面兩個(gè)例題的區(qū)別要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得

yxcosx

的最大值取不到

a取

也滿條

a

2

。所以我對(duì)這類(lèi)題要注意看函數(shù)能否取得最值因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)結(jié)法對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例：已知

a0,af(xx

x

,當(dāng)x時(shí),有fx

12

恒成立

，實(shí)數(shù)a的值范圍。解析：由

f(x)

1，得x2

12

x

，在同一直角坐標(biāo)系做兩函數(shù)的11圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由1及(a22

得到a分別于20.5，作出函數(shù)

x

1及)2

x

的圖，以要使數(shù)

1a2

x

在區(qū)間

x

中恒成立，只須

2

在區(qū)間

x

對(duì)的象在y2

12

在區(qū)間

x

對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)

只有2

才保，而

0，只有

12

才可以，所以

1a[,1)2

。例6若當(dāng)P(m,n)為圓

x

2

2

上任意一點(diǎn)時(shí)，等式

0

恒成立，則的取值范圍是（）不得用于商業(yè)用途

22僅供個(gè)人參考22A、

2

B、

C、

2

D、

解析

0

看作是點(diǎn)P(m,n)在線

x

的側(cè)P(m,n)在圓

x22上實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是x2y2

在直的側(cè)與相或0相切。|1同步練

c2

，故選D。1設(shè)f(x)

1

43

其中aR，如果時(shí)，f(x恒有義，求a取值范圍分析：如x時(shí)，f()有意義，則可轉(zhuǎn)化為1

x

4

x

恒成立即參數(shù)分離

14x

x

)，成立接下來(lái)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果x時(shí)，x)恒有意義1

x

4

x

0，對(duì)x(恒成立.

14x

x

x

)恒成立。t

，(t

2

1又x(t(t)t(,22113恒成立g(t)t,為減函數(shù)(t)g()。2max2、函數(shù)是義在(的增函數(shù)，如果等式f(1)f(2對(duì)于任[0,1]恒立，求數(shù)a的值范圍分析題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不得用于商業(yè)用途

2

對(duì)

僅供個(gè)人于任意x[0,1]恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：

f)是增函數(shù)f(1

2

f(2)對(duì)于任恒成立1

對(duì)于任意恒成立x2對(duì)于任意x[0,1]恒成立，令g(xx2，x[0,1]問(wèn)題g()a

min

0),又(x)mig(x)

a4a

易求a3已知當(dāng)xR，不等式a+cos2x<5-4sinx恒立，實(shí)數(shù)取值范圍。方法一等式中含有兩個(gè)變ax必須x的范）來(lái)求另一變量a的范圍考慮將a及分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等4sinx+cos2x<-a+5當(dāng)x時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成-a+5>(4sinx+cos2x)設(shè)f(x)=4sinx+cos2xf(x)=

max

則∴-a+5>3方法二）題目中出現(xiàn)sinx及cos2x，cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次不等式從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化為a+1-2sin2

x<5-4sinx,令sinx=t,則不等式a+cos2x<5-4sinx恒成2t

2

-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。設(shè)f(t)=2t

2

-4t+4-a，顯然f(x)在[-1，內(nèi)單調(diào)減，f(t)=f(1)=2-a,2-a>0a<2min4

設(shè)f(x)=x

2

-2ax+2,當(dāng)x[-1,+)，都有f(x)成立，求a的取值范。不得用于商業(yè)用途

21221僅供個(gè)人參考21221分析：f(x)等式中，若a移到等號(hào)的左邊，則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問(wèn)題。解：設(shè)F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)當(dāng)（-2a）

-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時(shí)，-2<a<1時(shí)，對(duì)一切x)，恒成立；ⅱ）（a-1)(a+2)時(shí)由圖可得以下充要條件：(0

y2

x得-3綜上所述：a的取值范圍為[-3，1]5當(dāng)x(1,2)，不等(x-1)x成立，求a的取值圍。a分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過(guò)特指求解的取值范圍。解：設(shè)T:f(x)=2:()x,則T的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切1x(1,2),fx)<x)恒成立即T的圖象一定1要在T圖象所的下方，顯然并且必須也2只g(2)故log2>1,a>1,1<aa

y=(x-1)y

yx2ax6、已關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析方程可化成lg(x

2

+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x

2

+20x=8x-6a-3>0,若將等號(hào)兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)x

2

+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象x上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令T：y=x2+20x=（x+10）2-100,T：112y=8x-6a-3,則如圖所示T圖象為一拋物線，212的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使TTx軸上有唯一交點(diǎn)直線必須位于12不得用于商業(yè)用途

yl1o

ll2

x

22僅供個(gè)人參考22ll間包括l但不包括l)1212當(dāng)直線為l，直線過(guò)點(diǎn)（-20，0此時(shí)縱截距為-6a-3=160,a=1

;當(dāng)直線為l，直線過(guò)點(diǎn)（00縱截距為-6a-3=0，2

∴a的范圍為[

，7對(duì)于滿|2的所有實(shí)數(shù)p,求使等式

2

+px+1>2p+x成立的取值范圍分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、并且是給出了p的范圍要求的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把p看作自變量，x看成參變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問(wèn)題。解：原不等式可化為(x-1)p+x

2

-2x+1>0,令f(p)=(x-1)p+x

2

-2x+1,則原問(wèn)題等價(jià)于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：yy2x

x方法一：或∴x<-1或x>3.f(2)f((0方法二：即解得：(2)∴x<-1或x>3.

或x不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考僅供人用于習(xí)、究；不用于業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStu