分式方程 名師獲獎(jiǎng)

分式方程及其解法

肖老師今年的年齡與10的差除以他年齡與8的和的商等于—,請(qǐng)同學(xué)們猜猜肖老師的年齡。解:設(shè)肖老師的年齡為x歲,由題意得12————=x—10x+812生活中的數(shù)學(xué)分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.不是是是是不是不是是是如何解分式方程？分式方程整式方程去分母未學(xué)過已學(xué)過嘗試解分式方程：探索解分式方程的思路：轉(zhuǎn)化思想

你敢應(yīng)戰(zhàn)嗎？解分式方程的步驟:例1解分式方程

2(x-10)=x+8解得x=28.

把x=28代入原方程，得左邊=0.5=右邊∴原分式方程的解為x=28.分式方程整式方程解整式方程檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化檢驗(yàn)：解:方程的兩邊同乘以2(x＋8),得：一化二解三檢驗(yàn)大顯身手這是什么？最簡(jiǎn)公分母喲！解：方程兩邊都乘以(x+5)(x-5)得，解得x=5x+5=10檢驗(yàn):把x

=5代入原方程中，分母x-5=0和x2-25=0，相應(yīng)的分式無(wú)意義.【解分式方程】因此x=5不是原分式方程解．此分式方程無(wú)解．上面兩個(gè)分式方程中，為什么去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而

去分母后得到的整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？【在什么情況下是分式方程的解?】2(x-10)=x+8兩邊同乘2(x+8)當(dāng)x=28時(shí)，2(x+8)≠0注意：分式兩邊同乘了不為0的式子,所得整

式方程的解是原分式方程的解?！疚覀儊碛^察去分母的過程】x+5=10當(dāng)x=5時(shí),(x+5)(x-5)=0注意：分式兩邊同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母為0,這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的解?！疚覀儊碛^察去分母的過程】?jī)蛇呁?x+5)(x-5)【驗(yàn)根*小結(jié)】★

解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為０，所以分式方程的解必須檢驗(yàn)．★怎樣檢驗(yàn)這個(gè)整式方程的解是不是原分式的解？將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為０，則整式方程的解是原分式方程的解，否則這個(gè)解就不是原分式方程的解．這個(gè)解叫此分式方程的增根。增根的定義產(chǎn)生的原因:分式方程兩邊同乘以一個(gè)零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.········增根:在去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根.使分母值為零的根······因此解分式方程可能產(chǎn)生增根，解分式方程必須檢驗(yàn)(代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn))例1解方程解:方程兩邊乘x(x-3),得2x=3(x-3)

解得x=9

檢驗(yàn):當(dāng)x=9時(shí),

x(x-3)=54≠0∴原分式方程的解為x=9.例2解方程解:方程兩邊乘(x-1)（x+2），得

解得x=1

檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.∴原分式方程無(wú)解練習(xí)解分式方程容易犯的錯(cuò)誤有：(1)去分母時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母；若分母是多項(xiàng)式，要進(jìn)行因式分解；(3)約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要注意添括號(hào)．(因分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用）(4)增根不舍掉。(2)

去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)．已知關(guān)于x的方程思考題x=1①如果此方程有增根，那么增根是.

②當(dāng)m為何值時(shí)，此方程有增根？

解：去分母得：由題意知，是的增根把代入得：拓展訓(xùn)練（1）、關(guān)于x的方程有增根，則增根是（）（2）、若關(guān)于x的方程有增根，則增根是（）解分式方程的一般步驟解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母一化二解三檢驗(yàn)歸納提升分式方程整式方程a是分式方程的解x=aa不是分式方程的解去分母解整式方程檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)最簡(jiǎn)公分母不為０最簡(jiǎn)公分母為０例：k為何值時(shí)，方程產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以x-2，約去分母，得k+3（x-2)=x-1把x=2代入以上方程得：K=1所以當(dāng)k=1時(shí)，方程產(chǎn)生增根。例：k為何值時(shí)，分式方程有增根？方程兩邊都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解：把x=1代入上式，則k=-1把x=-1帶入上式，k值不存在∴當(dāng)k=-1，原方程有增根。若關(guān)于x的方程，有增根，求a