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文檔簡介
據(jù)說,幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道,在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個結,然后,用釘子將第1個與第13個結釘在一起,拉緊繩子,再在第4個和第8個結處各釘上一個釘子,如圖。這樣圍成的三角形中,最長邊所對的角就是直角。知道為什么嗎?這節(jié)課我們一起來探討這個問題,相信同學們會感興趣的.做一做:用圓規(guī)、直尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,如圖,量一量∠C,它是90°嗎?ABC543∠C是直角嗎?再畫一個△ABC,使它的三邊長分別是5cm、12cm、13cm,這個三角形有什么特征?為什么用上面的三條線段圍成的三角形,就一定是直角三角形呢?它們的三邊有怎樣的關系?猜想:
如果一個三角形的三邊長a、b、c滿足下面的關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形嗎?
證明作△A’B’C’,使∠C’=90°,
A’C’=b,B’C’=a,如圖(2),那么A’B’2=a2+b2.(勾股定理)又∵a2+b2=c2,(已知)∴A’B’2=c2,A’B’=c(A’B’>0)在ABC和A’B’C’中,∵BC=a=B’C’,
CA=b=C’A’,
AB=c=A’B’,∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)ABCbca(1)A′B′C′ba(2)
∴∠C=∠C’=90°,∴△ABC是直角三角形.已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,并且a2+b2=c2,如圖(1).求證:∠C=90°.歸納總結:
通過上面的證明可以得到如下定理.勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.幾何符號語言:如圖△ABC中a2+b2=c2則△ABC是直角三角形ABCacb歸納:若兩個命題的題設與結論正好相反,這兩個命題叫做互逆命題。其中一個叫原命題,另一個叫它的逆命題,經(jīng)證明正確的逆命題叫逆定理。例1根據(jù)下列三角形的三邊a、b、c的值,判斷三角形是不是直角三角形。如果是,指出哪條邊所對的角是直角?(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.解(1)∵最大邊是c=17,c2=289,a2+b2=225+64=289,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,最大邊c所對的角是直角.第(2)題由同學們仿照上面自己解答.小試牛刀
1、已知:在△ABC中,三條邊長分別為a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).求證:△ABC為直角三角形.分析:在a、b、c三邊中,哪一條邊是最大的邊?需要得出什么,才能證明△ABC為直角三角形?請同學們自己完成證明過程.能夠成為直角三角形三條邊長度的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù).思考:除3、4、5外,再寫出3組勾股數(shù).想想看,可以怎樣找?舉一反三:1.判斷下列三個邊長組成的三角形是不是直角三角形?(1)a=2,b=3,c=4.(2)a=9,b=7,c=12.(3)a=25,b=20,c=15.2.在△ABC中,三邊長a、b、c滿足(a+c)(a-c)=b2,則△ABC是什么三角形?3.給你一根帶有刻度的皮尺,你如何用它來判斷課桌面的角是直角?用這種辦法能判斷柱子是否與地面垂直嗎?學會了嗎?例3某港口位于東西方向的海岸線上,“遠航”號.“海天”號輪船同時離開港口,各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里.“海天”號每小時航行12海里.它們
離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”沿
東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎?pERQSRN分析:由題意畫出圖形。若求出兩艘輪船的航向所成的角,即可知海天號的航向了。解:根據(jù)題意畫出如圖.PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因為242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.由遠航號沿東北方向航行可知,∠QPS=45°,所以∠RPS=45°.即“海天”號沿西北方向航行.
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