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第! 直角三角! 直角三角形的性質(zhì)和判定! 直角三角形的性質(zhì)和判定!

# # # 中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形 $

含$%

#* 三角形的中位 綜合提升訓(xùn)練!!! !!!!!!!

!升訓(xùn)練形的中位線#& 矩#& 矩

!# 直角三角形的性質(zhì)和判定! & 勾股定理的逆定 綜合提升訓(xùn)練!!# $ 直角三角形全等的判定!!!! 直角三角形全等的判定!!$* 角平分線的性質(zhì)!!!!!!!

! ! 矩形的性質(zhì) !# 矩形的判定 & #' ! ! 菱形的性質(zhì) # 角平分線的性質(zhì)綜合提升訓(xùn)練!!* 章末專題訓(xùn) 第# 四邊#! 多邊形 多邊形

&&

菱形的判定綜合提升訓(xùn)練!#!' # 正方 正方形( 章末專題訓(xùn) 第$ 圖形與坐

!!

$! 平面直角坐標(biāo)

# 平行四邊形 +#! + 平行四邊形的邊#

平面直角坐標(biāo)系 用坐標(biāo)表示地理位置 $ 簡(jiǎn)單圖形的坐標(biāo)表 # ##

+

簡(jiǎn)單圖形的坐標(biāo)表示!# $ 軸稱和平移的坐標(biāo)表示 軸對(duì)稱的坐標(biāo)表示

!!! 利用邊判定平行四邊形 !

# 平移的坐標(biāo)表示 !'綜合提升訓(xùn)練!!!" !!!!!!!!!!!

課時(shí) 綜合提升訓(xùn)練!"'" 第" 一次函" 函數(shù)和它的表示

章末專題訓(xùn) 第' 數(shù)據(jù)的頻數(shù)分

&& !!!!!!!&課時(shí) &&( !!!!!!課時(shí) 綜合提升訓(xùn)練!"&" "( 一次函 !!!!!!!!!!!課時(shí) 綜合提升訓(xùn)練!"(" "! 一次函數(shù)的圖 #

& 課時(shí) 綜合提升訓(xùn)練!'&" ( 課時(shí) !綜合提升訓(xùn)練!'(" !!!!!!!!!!!課時(shí) 一次函數(shù)的圖 課時(shí) 一次函數(shù)的性 綜合提升訓(xùn)練!"" 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)課時(shí) 用待定系數(shù)法確定一次函

!

第& 直角三角 第( 四邊 第! 圖形與坐 第" 一次函

+!綜合提升訓(xùn)練!""" " 一次函數(shù)的應(yīng) !!!!!!!

第' 數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布!!!!第章檢測(cè)

期中檢測(cè)卷

第章檢測(cè)

!(八年級(jí)數(shù)學(xué)$八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第" 直角三角!"&')+,/, .:直角三角形!! "#$#%&'()*+-

"""0"0%&$'()# 9""&)#:""$!"!&'"0% 5 6 % (

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<##&& :<:5&%%' "%&"0"6 5 0 &) $:9"()"()#:"&點(diǎn)撥!此題利用平行線的性質(zhì)定理與直角三角形的兩個(gè)銳角互余求解 圖""<!直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為&=34#則斜邊的長(zhǎng) ' 的平分為=!

'%00!等腰直角三角形中#若斜邊和斜邊上的高的和是54 '%00&"=!一副三角板如圖""<疊放在一起#則圖中"!的度數(shù) %)&0)#%)&"是6=& "$=(!&(#&#" 是直角三角形o圖"" 圖"" """()=點(diǎn)###$%的周長(zhǎng)是%#則"#的長(zhǎng)是"< #%#!#""&<! #""

圖""o "<"&"0"!o圖""=

&#"0#:&(!#:""!要點(diǎn) 直角三角形的性 !第"%題

$#"()$要點(diǎn)解讀!"直角三角形的兩個(gè)銳角互余#此性質(zhì)在計(jì)算直角三角形中角的度數(shù)時(shí)常會(huì)用到$!&" 直角三角形斜邊

又因?yàn)?為"$的中點(diǎn)#所以#

#'的中線等于斜邊的一半#此性質(zhì)多用來(lái)求線段的長(zhǎng)度或角形的周長(zhǎng)#有時(shí)也用來(lái)判定線段相等!

##'&"例 $'"$'(

答案! ""&"""&

例"圖

!要點(diǎn)& !第(題"直角三角形的法$也可以通過(guò)三角形的內(nèi)角和得出一"

#角的直角三角形的性&=若等腰三角形頂角為"&#腰長(zhǎng)為&#則該三角形底邊上的)#"'<#

高為"是!/"#則"*的長(zhǎng)不可 <

圖""

分析!由等腰三角形的底角為<)#得高為5#$()#'$'#%0" '$'#%0""<" & &&!圖""(#在等腰直角三角形#''&!圖""(#在等腰直角三角形#""=%

:"<)#:''&":%'# %&5!!!* &6將一副三角尺按圖""""

一起#若#'"034#

"0=""=#

面積是0(4&&分析 %< 圖"" 的性質(zhì)可知$%0#故選 圖"" <)#:&'6%%%' &

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直角三角形#:$$6

43#:陰影部分的面積即+(0 6= 0 5

$'&#'#%%%'#&"#() "#%圖""&"()9#=圖""&!9$'%%%':"()9%' #:")%'

#'&%!證明!!""9#()##'#'" 6=

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#<&! "9#!:"#:""'"" ""5)#:#'&

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(如圖"""<#一艘輪船早上%時(shí)從點(diǎn)"向正北方向出發(fā)#島*在輪船的北偏西"=方向#輪船每小時(shí)航行"=海里&時(shí)輪船到達(dá)點(diǎn)#處#此時(shí)小島*在輪船的北偏西<)方向 !"在小島*的周圍&)海里范圍 礁#輪船如果不"$#'

&請(qǐng)說(shuō)明理由!第<題圖

:$""="#!0#%#

9<"=00%''#'!-!

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圖

: 果不改變方向繼續(xù)向前航行#不會(huì)有9#:%'#:<0"& !要點(diǎn) 含<)角的直角三角形的性質(zhì) 第"$(題 "例& )"$5要點(diǎn)解讀!在直角三角形中#<&那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半!""此性質(zhì)常用于計(jì)算三角形的邊%角#也是證明一邊等于另一邊!斜邊"的一半的重要

4# 分析!因?yàn)?)是"#"$的平分線#"'5) "$'"#'依據(jù)!&此性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用它利用角的特殊性得出了直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系$!<"

"<)#

"))#)'性質(zhì)是由等邊三角形的性質(zhì)得出來(lái)的#體現(xiàn)了直角三角形與等邊三角形之間的關(guān)系$0"此性質(zhì)的逆命題也成立即在直角三角形中#若一直角邊等于斜邊的一半則該直角邊所對(duì)的角為<)!

6="#) 例 例=&&=!=4!>AGO+>!"""直角三角形的性質(zhì)和判定$%–&

&(如圖"")在#$中$%是斜邊上的中線&#'"""#'#"0## 5 0 0 & o 圖""&)"()"< 0%'4!o圖"" 圖"" o#%#5 0 /&= ##%#

圖""%34三角形的個(gè)數(shù)是 - 5

")#%!o三&圖"圖"" 圖""#

""()##"5#%折疊#點(diǎn)#恰好落在"#的中點(diǎn)'處#則""等于!, & < 0 5 #'$'5 %'# #' !,

""#'##:"&#"()#"5=#:#:"&&=)!6 ") 圖"" &"&如圖""&<#在?中##'分別是斜邊"#上0& "& ('(分析!由等腰三角形的三線合一#可知"%#$#''0由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半#知'&#<'二

平分線&填空 圖#""#""圖角三角形 ""八年級(jí)數(shù)學(xué)$下八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第" 直角三角"<#""&#的垂直平分線#(交#$于點(diǎn)#交"#于點(diǎn)#求證$#'&"=如圖 &5#在一塊形狀為三角形的場(chǎng)地上#"()"!&證明!連接

圖""

###&從"處出發(fā)#以相同的速度分別沿"$和")#)'路線前&進(jìn)#甲的目的地為$#乙的目的地為'!請(qǐng)判斷#甲'乙兩人哪&一個(gè)先到達(dá)自己的目的地#并說(shuō)明理由!o&(! ##""&)

圖"":""'

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""'<)# %$!ooo""<):""$""&)()!#")() # 四&

9#:"%(!9"#!o 又9''#o :#(#!A #! "()## #$$0#%$是等腰直角三角形#!"0兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖""=!放置#圖""=&是由它抽象出的幾何圖形###$#'在同一條直

:!線上#連接 又9兩人的速度相同&0$海南中考$5&0$海南中考$5題))&"!&

分"在一個(gè)直角三角形中#圖""

個(gè)銳角等于5)#則另一個(gè)銳角的度數(shù)是!/" ( 5 <請(qǐng)找出圖""=!中的一對(duì)全等的三角形#并給予&&!&)"&$江蘇無(wú)錫中考$"6題$分"如圖""&6#證明!說(shuō)明$結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母 證明$$%%#!

"()#%&#&(%#"#""()""#"!:#(#!A"! 證明!由 #(%""#0!

4!圖""!9"()#% ##:'0:"""()!!

0#""9$#"""## %0<Q;.W;[ "#$#%&'()*+/#"###"& 分析!構(gòu)造以待求線段為斜邊的直角三角形#兩直角邊長(zhǎng)()#那么下列等式中成立的是!-.& .&&&&. &&

別為5#%#故斜邊長(zhǎng)為5&% ")!&%"%%% =0!&!若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 和"&#則斜邊上的高 !9%#%

%)

/5)

直角三角形=0<!若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和

&& 圖"& <<#:0<0"< 不確定 &( 把一根長(zhǎng)5)4的細(xì)鐵絲剪成三段#做成一個(gè)等0!&)"$山東濟(jì)南中考$"題<分"如圖"& 將o

腰三角形 邊框"#$!如圖"&="#已知風(fēng)箏的高旗的繩子拉到旗桿底端#繩子末端剛好接觸到地面#o

0 4 4 &#則旗桿的高度!滑輪上方的部分忽略不計(jì)為!/"

分析!本題中已知等腰三角形"#$#0)#"& "< "5 "6 是#$及#$的長(zhǎng)#由等腰三角形的&合一'性質(zhì)及勾股定理可以解決#%! 9"5)! "&')圖"& !第0題圖

# &&%#'##&&&&

!1#=:%)%))!!&#"=!如圖"&&#直線2

=#&&&&B#C#3#若B#3的面積分別為= ")李大叔承包了一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)魚池#已知其面積為 &&對(duì)角線長(zhǎng)為 4#為建起柵欄#要計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)魚""#則C的面積為!- "

圖"&

的周長(zhǎng)#你能幫他算一算嗎為0%&設(shè)長(zhǎng)為14寬為為0%&設(shè)長(zhǎng)為14寬為34##"()#"#"#"#&

0#%o=&'o%=#' "& < 6!如圖"&<#設(shè)甲到島上去

##&&'&可解出解!設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為14#寬為

!第")題圖寶#登陸后 走%D#又往

&130%# 走&D#遇到后又往西走<D#再折向走5D#最后往東走"4找到了寶藏#則登陸點(diǎn)到寶藏點(diǎn)的直線距離是")D!

圖"&

1&" "))$" &0%"))#!"50&#:"0!:長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為&%!要點(diǎn) 利用勾股定理求直角三角形的第三邊 "例 )##"#

第&$0#5$")題

"#

<#0!!由()&以及.#/的長(zhǎng)#可根據(jù)勾股定理求出分角三角形中#若已知任意兩邊長(zhǎng)就可以求出第三邊長(zhǎng)分.#/表示直角三角形的兩直角邊#0表示斜邊.##&.&&.##&&0&"若已知求.#則利用勾股定理變形.&0&

0909 &&點(diǎn)撥!運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)的首先要判斷哪一邊是斜邊%其次要注意不能弄混定理中邊的運(yùn)算順序!"!下列幾組數(shù)中#為勾股數(shù)的一組是!/"0% !##&"#0= %

分析&="5(%若&=不是最長(zhǎng)邊的平方時(shí)# &="5(%若&=不是最長(zhǎng)邊的平方時(shí)# 析!*中含有小數(shù)#不能組成勾股數(shù)%中含有負(fù)數(shù)#也不能組 的平方是&="5 0"%0=&"& &(有一塊田地的形狀和尺寸如圖"&!&)"0$山東濱州中考$6題$分"下列四組線段中#可以 5#則它的面積為&0構(gòu)成直角三角形的是 ,

分析連接$"由"()#& 0 "==

<#$'= & "

<& #"#$為直角三角形

"&分析0=&0"*5#不可以構(gòu)成直角三角形故*選項(xiàng)錯(cuò)

這塊田地的面積為%&&<&"<*0&#不可以構(gòu)成直角三角形#故-選項(xiàng)錯(cuò)誤"=&&5%&&<&"<*0&#不可以構(gòu)成直角三角形#故-選項(xiàng)錯(cuò)誤

""!&"<*<&#不可以構(gòu)成直角三角形#故/選項(xiàng)錯(cuò)誤

0%&0!故選 &)"#&<()#&<三角形的三邊長(zhǎng)分別為.###0且它們滿足等式!." &&o#o ,!直角三角

內(nèi)的一點(diǎn)

!-&

&&

/!等邊三角 分析!由!."角形!故選

&0

圖"& !第")題圖""###%="<%"& %%0"=-< 0 "

&#然后利用勾股定理的逆定理證明"()!#9&0&= !勾股定理的逆定理"#:"$%'()

""##:&#:&# :"0=#& & '&&

#%#& #"#<#:%#%!:"(#:""""<=!("'

&&4&#&#& !第0題圖 正整數(shù)#且5+4試判斷#"#是否是直角三角形"%

5&&4& "三角形的三邊長(zhǎng)分別為=&<%#三角形中有

#$;$!54"!&4"5&44邊上的中線等于這邊的一半$三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之

& & 5&4比為"@&@<%%三角形的三邊長(zhǎng)之比為"@"&&三角 40&&&形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為"@"@&%三角形的三邊長(zhǎng)之 角形

#"#$是以"#) " & ) " &

o 速度分別為&海里6時(shí)#"=海里6時(shí)#選分析#$&均構(gòu)成直角三角形'無(wú)法構(gòu)成三角形 速度分別為&海里6時(shí)#"=海里6時(shí)#4#4#34

后兩船相距<6=海里!若甲船沿東北方向航行#則乙船沿

哪個(gè)方向航行43設(shè)斜邊上的高是134#則根據(jù)面積的不變&)"=#"="43設(shè)斜邊上的高是134#則根據(jù)面積的不變&)"=#"="=

解!由題意畫出圖形#如圖#7 &=#<6=性#得"=)'&=#所以"&故這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊& 因?yàn)? &== 6=&!

&=

6!如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為"#5<#那么當(dāng)o <6=&#而 <6=' 8' 88 5<5&5" 所以"()<"!&"!""&%!如果一個(gè)三角形有兩邊的平方分別為"5#&=#那么當(dāng)?shù)谌?/p>

"+0=#"+=即乙船沿西北方向航行#同理乙船也可能沿東南方向航行的平方是(或0"時(shí)#這個(gè)三角形是直角三角形!要點(diǎn) 利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形'

所以乙船的航向?yàn)槲鞅狈较蚧驏|南方向&&&"

第&"&題

&&""&&4"(!&4""!44"&&""4"40"!&4""判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的重要依據(jù)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的步驟&!""確定最長(zhǎng)邊$!&"算出最長(zhǎng)邊的平方%另兩邊的平方和$!<"比較最長(zhǎng)邊的平方與另

#:&!4!4#!要要點(diǎn) 勾股數(shù)的判 第"題

#&&"&")"的三角形是否是直角三角形!&"&!4&&"!&4""&4&

都是正整數(shù)$#三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)的平方和應(yīng)等于最大的數(shù)的平方!&"一般地#如果.##是一組勾股數(shù)#那么5#5#505是大于"的整數(shù)也一定是一組勾股數(shù)^`+.`fh`j`+n!"&直角三角形的性質(zhì)和判定$% #&&& &6如圖"&")#一艘海輪位于燈塔*的東#")5 北方向'距離燈塔0)&海里的"處#它沿!,<& 5)<& 5)

方向航行一段時(shí)間后#到達(dá)位于燈塔o"# 海里結(jié)果南o"# 海里結(jié)果分析!由于#"#$是等腰三角形#%是底邊上的高#所以由 確 ")(&% 分析設(shè)分析設(shè)

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圖"& $"1

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&1海里!在>?#$*中# 0!&

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槡 &% 槡 &% "& &<4 <<4 o 長(zhǎng)為<#'為%邊上一點(diǎn)#"!分析!過(guò)等邊三角形"#$的頂點(diǎn)"作對(duì)邊的垂線#%&#%"!由勾股定理可知"%<#所以#"#$的面積為"&!& #"#"##斷#"#$是直角三角形的是!-

(##()(#則'(的長(zhǎng)等于& &0?#>$(中由勾股定理可 &&0&

圖"& .0 .#" .&#'6#' .&#'

&(圖"&"&是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階#它的每一級(jí)的長(zhǎng)'等于==34#")34和543#和#長(zhǎng)#這只螞蟻從點(diǎn)"出發(fā)#沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)##分析!-中#!6"&&!<"#則由勾股定理的逆定理可知 #點(diǎn)"上有一只螞蟻#想到點(diǎn)#長(zhǎng)#這只螞蟻從點(diǎn)"出發(fā)#沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)##-是直角三角形!故選 0!如圖"&%#把長(zhǎng)方形紙條%沿#(-同時(shí)折疊使 % ('&

6<!5-圖

圖"& !第(題圖")5"5"5o"==&'o&&&0=#:6!"& o三&& & & < '#9

")&5#&%<)#! %# &!)5 %# &!%")5二&

在#和#中 &&=已知.##是#的三邊長(zhǎng)#且滿足關(guān)系式&.&& !%<)&&E/ 解得1"%八年級(jí)數(shù)學(xué)$下八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第" 直角三角"&如圖"& 在#處通過(guò)平面鏡看見(jiàn)在#正上方=處的"物體#已知物體"到平面鏡的距離為 4#問(wèn)$點(diǎn)到物體"的像"9的距離是多少 解!由題意可知#"9"#是直角三 形#由軸對(duì)稱及平面鏡成像可知

由+三角形中兩邊之和大于第三邊 可得,:;##+:,";##:最短路程為,#的長(zhǎng)!過(guò)點(diǎn)#作$%的垂線過(guò)點(diǎn)作#%的垂線#兩垂線交于點(diǎn)##9%)) '&))0=!

&%))5))&"##&&;& "" 圖"&"" 圖"&

")))!#到物體"的像"9的距離是"<

&"!&0甘孜州中考$(題$0分"如"&&%#點(diǎn)在#"#$的邊"$上 沿#%翻折后#點(diǎn)"恰好與點(diǎn)$四&

#$" <&""<為豐富少年兒童的業(yè)余文生活#某社區(qū)要在如圖"&"5的"#所在的直線上建 閱覽室#該社區(qū)有兩所學(xué)

< %#"()校#所在的位置在點(diǎn)$和點(diǎn)%處$%# #%%#&&D#"=D#"4 #& &&&室'建在距點(diǎn)"多少4處#才能使它到$#%兩所學(xué)校的&&!&)"0$江 中考=題<分"如圖"&"(#在邊長(zhǎng)距離相等圖"& !第"<題圖

"個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中#點(diǎn)##都是格o 點(diǎn)#則線段"#的長(zhǎng)度為!*oo 6 &&分析!假設(shè)點(diǎn)在上的位置已經(jīng)確定#即可設(shè)&的長(zhǎng)為D#根據(jù)勾股定理列方程求出1的值#從而確&定了點(diǎn)'的位置 解!設(shè)閱覽室到點(diǎn)的距離為D#如圖#連接#!& 圖"&"( 圖"&)在#和#中&&&&&&"

&<!&)"0$湖南衡陽(yáng)中考$&題$<分"如圖"&)#&直角坐標(biāo)系13中#已知點(diǎn))的坐標(biāo)為!"#)"#將線段))&繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)0#再將其延長(zhǎng)到"因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)#的距離相等#即#

&))%;)#")到)段;)%又"線段;)繞 點(diǎn);逆時(shí)&%&)")!因此#閱覽室應(yīng)建在距"點(diǎn)")4處五&

&&"" 規(guī)律#請(qǐng)直接寫出 的長(zhǎng)度為 )&)< 規(guī)律#請(qǐng)直接寫出 的長(zhǎng)度為 "o&"0如圖"&"6#牧童在"處放羊#其家在#處###到河岸的距離分別為0))#&))#%))4#牧童從"&程最短&到河邊飲水后再&回家!試問(wèn)$在何處飲水#所走路&o

分 &)!)#)"9))"))#:#)"< & &:)< & & & &! & 圖"& !第"0題圖

&)"0"&0!&)"0$山東東營(yíng)中考$"0題$分如圖"&&"#樹#一棵高"&米#另一棵高5米#兩樹相距%米! 棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢#則小鳥至少飛行")米解!如圖#作點(diǎn)"關(guān)于直線$%的對(duì)稱點(diǎn)#連接#交于點(diǎn)'由+三角形中兩邊之和大于第三邊,可以知道在點(diǎn) 圖"& !第0題圖'處飲水#所走路程最短!說(shuō)明如下 分析!如圖#設(shè)大樹高為#"&米#小樹高為%5米#過(guò)在直線上任意取一異于點(diǎn)的點(diǎn)#連接##& 作%點(diǎn)#形$接#9點(diǎn)#"關(guān)于直線$%對(duì)稱:#"

:###!:5#%#&" %&"! 八年級(jí)數(shù)學(xué)$下八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第" 直角三角rtt+vry+|r~?j€?r&?2?+?! "#$#%01&*"!下面關(guān)于直角三角形全等的判定#正確的是!/ &5如圖"<=#"$'"%'()&請(qǐng)你再添加一個(gè)條件#*!

%(# "內(nèi)寫出判定,!

等的依據(jù)!-有兩角對(duì)應(yīng)相等#且有一條公共邊的兩個(gè)直角三角形全

!""%'$!FG!&"%'$!FG/!有兩角和一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等&####"& < 0 5 !9##""()#:#(#"#:"

#'"A"A選- 圖"< 圖"<6"()#(!"%#'"$以用A或A*來(lái)判定這兩個(gè)三角形全等圖"< 圖"<

!&當(dāng)添加的條件兩個(gè)三角形全等

時(shí)#可以用+AA, <除以上方法外#你還有其他的方法嗎 如果有#你添<!如圖 #%#'% 的條件是什么&你能證明嗎$#則下列選項(xiàng)不一定正確的是!-#(# %

$"%#在#和#中##(#以選項(xiàng)##/都正確因?yàn)辄c(diǎn)'不一定是"$的中點(diǎn)#所以

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求證$o圖"<!第%題圖!9##""()#圖"<!第%題圖%!%"%$&9"<)#:"&="<)==

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:'! ();#%#&#((!要點(diǎn)" %要點(diǎn)解讀!斜邊%直角邊定理"例"# 如圖# 已知"$'"%'#'!#$%$#%#

:#(#!:''!到解決"""():#(#!:""!##:#(!":''!件$"%"和公共邊可先從證明#$#%$

!例"圖" 點(diǎn)!證明兩個(gè)直角三角形全等#首先應(yīng)考慮利用&'來(lái)證明如不行再考慮用其他四種方法!%##<6##% ##–&選擇 #%'# ##"如圖 %##%#$ %#%## """(((%&%#(%# "%()###(##""

圖"<

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圖"<""()##'#$'(""()##'#$'( &四&&%#'%""()#""#( ##!"")##""()##$

分析!若'

#可推出 # &' # # &' #"#$(%&A(%

$'!%$# 故只需說(shuō)明&(

"#%結(jié)合已知條件#只需證明%%'$'&(# /&

#(#即可%%#

圖"< ""% 分析!補(bǔ)充#可通過(guò)&G'判定%#&A%可通過(guò)&AA'判定#"#$(#故選/!二&

圖"<

:""()"%(!('#%#:#(#!!"(o:""%)""""(o%! 點(diǎn)撥!判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)#應(yīng)先考慮&利 FG###相交于點(diǎn)#"$#"則根據(jù)圖形可寫出一個(gè)正確的結(jié)

定 方法#若不行#再考慮其他的判定方法"&圖"< 圖"<

&"!)$山東菏澤中考$"5題$5分如圖"<o #()#%o ## ( "<# ()#=!如圖"<""#有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯!即$("#左邊滑梯的高度"$與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度(相等#則

上一點(diǎn):""()!"!三&

##:#(#!#%#%##( $#$!%$#%#$""(!9%'#('#:#(#!#"

o圖"< o

"0!"<:"#0=&<)"=!(""""((6!

"<! u.&?.;+?$#2 角平分線的性質(zhì)""###%%#%##結(jié)論中#正確的有!/個(gè)!"%上任意一點(diǎn)到點(diǎn)##$的距離相%#$離相等%$$%#%%%%"'"!

圖"0 &

垂足分別是點(diǎn)#點(diǎn)#且5則%的長(zhǎng)是5&34"#$#%"#$()#"0'5

圖"0 < ##分析!#"#$為等腰三角形#頂角平分線%也是底邊上的 門要修建一座信號(hào)發(fā)射塔#按照設(shè)計(jì)要求#發(fā)射塔到兩個(gè)鎮(zhèn)##的距離必須相等#到兩條公路"#&的距離也必須相高線和中線#四個(gè)結(jié)論都正確!故選/!&如圖 0&#"*'"*'#%#$0#%- & %#

圖"0

&等#發(fā)射塔$應(yīng)修建在什么位置&請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符&合條件的點(diǎn)#并注明點(diǎn)$的位置o#";'""''"";#";'""''""; 分"

圖"0 !第5題圖!根據(jù)題意可知#點(diǎn)$應(yīng)滿足兩個(gè)條件#一是在線段""<)#&

的垂直平分線上%二是在兩條公路夾角的平分線上#所以點(diǎn)<###$

$應(yīng)是它們的交點(diǎn) 作兩條公路夾角的平分 %#+

!&!!""段"#的垂直平分線射%%#'與直線7+

的交點(diǎn)$#$均可是發(fā)射塔$#置'#'#6"0"#

"&已知

+# # 9+ #+

#%#$!%##:""!9#%#(!A":""!:+ #7##:$##

9%#%#:)! 圖"0&# &(#%#(#+##'##)#0)'分析!由角平分線的性質(zhì)定理可得

!第<題圖圖"0

平分線!求證$$$%#!o#''"o %9% :"$"! 9#(!o:%!oo"()#o:"0=##*##:0!

#:%! 圖"0"()##%!要點(diǎn) 角平分線的性質(zhì)定 第"$0#5%題

:#例"圖證明!9"*是"#"$的平分線例"圖要點(diǎn)解讀!角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等!算和證明中#如果出現(xiàn)角平分線#經(jīng)常過(guò)角平分線上一點(diǎn)向

%*)!9%是#$的垂直平分線#:#'9#)#("例

# #:)!平分線相交于點(diǎn)*!過(guò)點(diǎn)*作##$延長(zhǎng)線的垂線#垂足 !

角平分線 質(zhì)定理別是點(diǎn)#點(diǎn)<求證$)!分析!要證明)#由圖形特征可構(gòu)造以)#<為邊的兩個(gè)三角形#并證明這兩個(gè)三角形全等考慮"#"$的平分###用線段的垂直平分線和角平分線的知識(shí)即可解決!

第=#6題"關(guān)鍵是證明這個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等#此類問(wèn)題通常給定垂直條件證明相等或給出相等條件證明垂直!0–&""()#)"#"<=!

點(diǎn)撥!要利用角平分線*##$應(yīng)過(guò)點(diǎn)*作出垂直于"$垂線段#此線段是證明*%*的橋梁四&&5%&< =6 &))%%#()

#&!oo #%"oo&,")## 圖"0 互換#結(jié)論還成立嗎&請(qǐng)說(shuō)明理由&分又因?yàn)?#'"$'()#%$$##所以&""#'"%#"%")()#""()#""<=點(diǎn)撥!要利用角平分線)#必須過(guò))點(diǎn)作%邊的垂線#所&!在#"#$中#若""和"#的外角平分線分別平行于#$和

圖"0 !第5題圖!""證明!如圖#在'上取一點(diǎn)#使(!#

%#:"!&& ,!等腰三角形且非等邊三角!-直角三角 /!等腰三角二&

o::o "!o%5#%5#&

9:(#:""!"""%)#"""%)!的周長(zhǎng)為534

!&解!成立!證明如下9"##%#o#(##:o

在'上取一點(diǎn)#使(!%#:#:""!####5

"""%"""!"0 圖"0

"!#(##o:#&!湖南長(zhǎng)沙中"!&)"<$ 湖南長(zhǎng)沙中"!&)"<$ "0%#"(% 04#則點(diǎn)*到邊#$的距離為04###% o分析求#%的面積#底"##5關(guān)鍵是求高#o%%''4#%!

"0

"0 &!&)"0$湖南株洲中考節(jié)選$&題$分"如圖"0"=##%%$

#()##%#+#" 證明!過(guò)*點(diǎn)作'"于點(diǎn) %

(!9$$%#'#%# #:

# # # 中在" 中在:點(diǎn)*在")#<的平分線上

圖"0

:#(#!o?? ?I5￡¤+￥|!567856789#"#"#"##

#%"#%$o%%o假命題的是!,

"=5"%"=(""# 長(zhǎng)是&"或(!故選 &/ &#則#"#$是直角三角形#且"$()

##" .& ""#"=

&")!則"#$的形狀是或直角三角形 &!在圖"="中#每個(gè)小正方形的 &如圖"=&#在#中#"(#沿%折疊#使點(diǎn) $#是!-". .. 分析!由勾股定理#得.'"&0&

&&&圖"=

<0'&0'#:

分 圖"= !第%題圖!如圖#設(shè)#點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為連接#9%由勾股定理#<!&)" 黔西南州中考$題$0分"一直角三角形的

=#$'#'兩邊長(zhǎng)分別為<和0#則第三邊的長(zhǎng)為!/ #&& =

0= 分析!當(dāng)已知兩邊均為直角邊時(shí)#由勾股定理#得第三邊的長(zhǎng)&!01"#解得0= 為&&當(dāng)為斜邊時(shí)由勾股定理得第三邊的長(zhǎng)為&(一圓形油#如圖"=#要從點(diǎn)"油罐梯#0&<&6#:直角三角形的第三邊的長(zhǎng)應(yīng)該為=或6&到點(diǎn)"的正上方點(diǎn)##梯子最短要求為<!知油罐故選! o底面圓周長(zhǎng)是"&4#高是=4"0!如果一個(gè)直角三角形有一直角邊長(zhǎng)為""#另兩邊為自然數(shù)#那么它的周長(zhǎng)為!* "" " " 分析!設(shè)另一直角邊長(zhǎng) #&&""!"1!31""&"7"!因?yàn)榱韮?為自然數(shù)#所以

第題分 "= 分 "= "&=&&

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&&=&"!#""#"%#.% ##"5##! 槡 槡

-<

!""觀察并猜想"*與$7之間的大小關(guān)系#并證明你的結(jié)論"#<#" <#得"<)#"5)#"'

形狀#并說(shuō)明理由&.#&&.'&&. &#'$'#%'&& <

&

%%#的長(zhǎng)為!/

#"6#")#

圖"= !第")題圖& " 5 & $$7專題解讀專題解讀!!""!專題互余#!!"!性質(zhì)定理""例%##$如圖#在中##$#!斜邊的平方運(yùn)用勾股定理可以解決下列類型的問(wèn)題$勾股定理"直角三角形兩條直角邊的平中點(diǎn)#連接)和#若點(diǎn)%在邊上#點(diǎn)'在邊"#上且與點(diǎn)#不重合#&判定 判定定理 #))#第三邊的平方#那么這個(gè)三角形是直角三角形!定理的逆定理""()#$%!例"圖又9)是$的中點(diǎn)得出三角形中較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方時(shí)#:#)均是直角三角形斜邊上的中線以判定這個(gè)三角形是直角三角形:)'!!&第" 直角三角 八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%湘教9""5)#""5)#:""!

:""9%#"#'"$'() 9#:#(##:9&##:#!

#:$$=o#<<.#0.#=.!90.#"5)##:0.#9&&

"()# ## )! % "! %#"$ ")!o""==#"))#5#o()# # ()# # # # 動(dòng)!點(diǎn)*的速度為每秒=34#點(diǎn)7的速度為每秒034#

又9$):#(#!

圖"=動(dòng)時(shí)間為 秒時(shí)#求四邊形*"#7的面積"))$'

&5'#%4#:&!9當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0秒時(shí)#$'00!#)!"#

圖"=

#%"%$"'#&分析!要證明兩角之和等于另外一&角#可考慮利用三角形的外角性質(zhì)!'##*$7的面積為&5)!4&!

77"5

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圖"=&5)%)&&&

:""()! 9# :#(#!:四邊形的面積為&0))"5)&0)!4& :"%"!o#"""o:"""!##& < 0 =

o 點(diǎn)撥!本題不能將待求證等式中的三個(gè)角聯(lián)系起來(lái)#助線當(dāng)有角平分線時(shí)很容易構(gòu)造三角形全等所以想到延長(zhǎng)oo %構(gòu)造三角形全等來(lái)解決本題長(zhǎng)oo圖"= 圖"=

6#%#%# ##%<! 求證 ;*平分"%% "#! 證明 %# %##'#%%& #*#%

#;;9$'#*'#:#(#!分析!由已知條件可知 5& 時(shí)有*$"#& "!#&)#*(#! 0如圖"=%##$中#'

#$#%()###

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圖"=##% =#

:#(#!:""!"''<!""(

"#&:""!&#')# 圖"= !!專題 直角三角形全等的判專題解讀 判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有五AA#A#A#一邊相等!證明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)#首先應(yīng)考慮利用件不足#其原因在于它們都不是特殊的三角形因此#""()#$%!#$%###中#根據(jù)已知條件#只有#$#%和公共邊#":#(#!:""!##(!:''!從證明>?"#$和>?%全等入手問(wèn)題才可以得到!例&圖八年級(jí)數(shù)學(xué)$下八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第& 四邊§-&¨a+",?°μK?+1!四邊形

&"6<("! < 多邊形"!在四邊形%中#"#"#"#%的度數(shù)之比為& 求的是幾邊形的內(nèi)角和!-5 6( ")&

<錯(cuò)把外角當(dāng)內(nèi)角的那個(gè)外角的度數(shù)你能求出嗎 是少度呢&!&)"0$湖南衡陽(yáng)中考$0題$分"若一個(gè)多邊形的內(nèi)角o和是())#則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為!- o 6 分析!本題主要考查4邊形的內(nèi)角和)!4&"$"%)#由())# <!如圖&""#"#&#<#是五邊形#$%'的外角#且

&"解!!""因?yàn)?)0不是"%)的整數(shù)倍"6% o! 的是4邊形的內(nèi)角和#則有!4&"*"%). 多加的外角必小于"%#所以解得4"<!&'&&圖&""" ")%")= "))&

<0&!&")一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為())#求它的邊數(shù)解!設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為4#由已知條件得! &")&())(o""""""& =" "

"o分析!由多邊形的內(nèi)角和! &"7"%)可知#多邊形的內(nèi)角和必須是"%)的整數(shù)倍#只有-選項(xiàng)是"%)的 倍#故選-=!五邊形的內(nèi)角和等于=0)& 圖&"o%"%## 解!設(shè)##$交于點(diǎn)#連接!o"%"%# 則"

""%""""%)"))&%!內(nèi)角和是"5&的多邊形的邊數(shù)是""!(!看圖如圖&"&回答問(wèn)題$!""內(nèi)角和為 )"0#為什么說(shuō)不可能!要點(diǎn) 多邊形的相關(guān)概 組成的封閉圖形叫作多邊形!&"邊&組成多邊形的各條段叫作多邊形的邊!<"頂點(diǎn)&相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫作多邊形的頂點(diǎn)!0"對(duì)角線&連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫作多邊形的對(duì)角線!="內(nèi)角&相鄰兩邊組成的角叫作多要的內(nèi)角# 多邊形的內(nèi)角 與多邊形要的內(nèi)角# 第""&題要點(diǎn)解讀!!""多邊形的內(nèi)角 &4邊形的內(nèi)角和等

""#""! """('$; "";""('"";";o <!&"'"%)!&"<5)內(nèi)角和通常與多邊形的外角和一起考查解決此類問(wèn)題時(shí)#通常是利用方程思想解決#即設(shè)出多邊形的邊數(shù)建立內(nèi)角和與外角和的方程角和與外角和的方程#從而求出多邊形的邊數(shù)"例"#若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等#則這個(gè)多邊形是!"四邊形五邊形六邊形分析!設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是4#則!4&"7"%)<5)#&解得40故選*!答案!" o三&–&(一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都相等#且比它的每個(gè)內(nèi)角小–&選擇 "0)#則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少"!如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是"<=#則這個(gè)正多邊形 解!設(shè)每個(gè)外角為1#則每個(gè)內(nèi)角為"0)&1!是!

'"&*<5)#"%o&故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是o&!如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等#且內(nèi)角和為 00)#則&")如圖 """""""這個(gè)多邊形的一個(gè)外角是!,< <50 0=

的和o<!若四邊形的四個(gè)內(nèi)角中#其中有兩個(gè)角是直角#另外兩個(gè)內(nèi)角中#一個(gè)角比另一個(gè)角的 倍少<)#則這兩個(gè)內(nèi)角分別是!( 56 /!0!在四邊形的外角中!,*!最多有四個(gè)鈍 ,!最多有三個(gè)鈍!-最多有兩個(gè)鈍 /!最多有一個(gè)鈍=!已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰的外角大")#則

圖&"o ""#""o <""#"0 "&"<"0< :""""""""!&""()""))#$'5這個(gè)多邊形為 * "## o o分析!設(shè)該多邊形的一個(gè)內(nèi)角為1#則相鄰的外角為1"&)#相鄰的內(nèi)角與外角互補(bǔ)#故11 ""=#相鄰的外角為<)#所以多邊形的邊數(shù)為<5)<H&)'"&#故*正確

圖&"二&

()()!o5!若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為")%#則這個(gè)多邊形的邊數(shù) 9"""""()";o是%分析!設(shè)此多邊形的邊數(shù)為4#由題意得#%

&!4&"$"'&o

=)"))<55)"=!""!6一個(gè)4邊形的每一個(gè)外角都等于6&#則4'=#它的內(nèi)角&"&!

除其中一個(gè)內(nèi)角!銳角"外其余內(nèi)角是=0)&

之和為"&)=#求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和解!設(shè)所除去的那個(gè)內(nèi)角!銳角"為#多邊形的邊數(shù)為!由每一個(gè)外角都 6&#則多邊形的邊數(shù)為<5 *"#6&=#則多邊形的內(nèi)角和為 =0! &"*"%)5"%)!"&="%!一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外#其余各內(nèi)角之和是 =6#則這 9等式的左邊是"%)的整數(shù)倍一內(nèi)角的度數(shù)為"<)&

:右邊也是"%)的整數(shù)倍#"%&!為正整 的正整數(shù)倍 最

"%)#==解 &=6)1 ) "&5)# (為"<)! %"!+~+??‘ 想#說(shuō)這道題目有問(wèn)題四&

!""你認(rèn)為這道題目是否有問(wèn)題 如果有問(wèn)題#問(wèn)在哪里&如果沒(méi)有問(wèn)題#請(qǐng)求出各內(nèi)角的度數(shù)"<如果多邊形的邊數(shù)增加"#那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加多少度&將4邊形的邊數(shù)增加"倍#&少度&上述兩種情況下#多邊形的外角和怎樣變化

&他們經(jīng)過(guò)研究后#改變了題目中的一個(gè)數(shù)字#使這道題有了正確答案#請(qǐng)你也嘗試一下#換一個(gè)合適的數(shù)字#使這道題目有解#并進(jìn)行解答解!設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為4#當(dāng)邊數(shù)增加 后#多邊形的 解!!""有問(wèn)題理由如邊數(shù)變?yōu)?4""#則兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之差為(!4"" ))&4&"*"%)"%)! %&!o當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加 倍時(shí)#邊數(shù)變化為&4#則此時(shí)兩個(gè)o

因?yàn)橥苟噙呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角都小于

"%#多邊形的內(nèi)角和之差為! &"*)! &"*%) 所以這個(gè)角不能是凸五邊形的內(nèi)角將比例改 即4*%將比例改 即上述兩種變化情況下#多邊形的外角和保持不變#都 %@&@<@0 o是<5)! 凸五邊形的內(nèi)角和為 =0o五&

&=0)&

%

&"0清晨 沿著一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小路按逆時(shí)針?lè)? 向跑步

=0)

%#00 從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)#身體轉(zhuǎn)過(guò)的角 %&%0%!是哪個(gè)角&在圖&"5中標(biāo)出它們 唯一&他每跑完一圈身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少&你能求出五次轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和嗎 你是怎么得到的

<如果廣場(chǎng)是六邊形'八邊形的形狀#那么還有類似的結(jié)&"!&)"0$ 畢節(jié)地區(qū)中考$(題$分"如圖 6#一論嗎

oo 多邊形片按示的剪剪去個(gè)內(nèi)后#得個(gè)和為 的新多形 原多形的邊為圖&" !第"0題圖

&&&

圖&"

,解 如圖中的"&0=! 每跑完一周#身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是<5)&能求利用多邊形的外角和 #"&"<"0"=利用多邊形的外角和 <5)# <5)!

分析!設(shè)新多邊形是4邊形#由多邊形內(nèi)角和公式得!" " " """" " " "故選!<如果廣場(chǎng)是六邊形'八邊形的形狀還有類似的結(jié)論&&!&)"0$江蘇泰州中考$(題$<分"五邊形的內(nèi)角和因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛投嫉扔?lt;5#與邊數(shù)無(wú)關(guān)

o =0)&點(diǎn)撥 沿著廣場(chǎng)按同一方向轉(zhuǎn)一圈 身體共轉(zhuǎn)過(guò)了&<!&)"0$

形的內(nèi)角 #得

=0<5)#與廣場(chǎng)的邊數(shù)無(wú)關(guān)

的多邊形的邊數(shù)

$題 "內(nèi)角和與外角和相"=與在一起探討有關(guān)+多邊形及其內(nèi)角和,的問(wèn)題&時(shí)#給出了這樣一道題目$一個(gè)凸五邊形的各內(nèi)角&的度數(shù)之比為"@&@<@0@求各內(nèi)角的度數(shù)想了&

0分析!設(shè)這個(gè)多邊形是4邊形#則4&$<5)#&解得40! 2=><%" 2=><%&' 平行四邊形的邊角的性質(zhì)"!&)"<$黔西南州中考$<題$0分"已知-%& 上的高為因?yàn)?#所以點(diǎn)到的距離等于平行""&))-

四形#$%中#$"上的高=#"" " % 5)8分析!9四邊形%為平行四邊形'"$#

<#$'='%"&))#"))#

6 %

"%)&))%)#&!&)"0$ 中考$6題$<分"如圖&&"#在-

###(解9四邊形%是平行四中#下列說(shuō)法一定正確的是!- %% 選項(xiàng)錯(cuò)誤 不一定 選項(xiàng)錯(cuò)誤 不一定 %

邊形""")!"""#:"""%)6)!直#故,選項(xiàng)錯(cuò)誤%利用平行四 圖&& &%如圖&&=#在平行四邊形中#'%#$于點(diǎn)#%#'% "5)#&<#o-選項(xiàng)正確%#與#$不一定相等#故/選項(xiàng)錯(cuò)誤!故選-!

%解!在四邊形中o<!平行四邊形的周長(zhǎng)為&04#相鄰兩邊的比為"@&#則較短o

"$( 的邊長(zhǎng)為!,< 0 5 %

"5%#%#)&$ 0& 0

圖&&為034#故選0!&)"0$ 十堰中考$5題$分如圖&&&#在平行四邊形%中0#5#%#',

%$#$!:""%#"""%)#:""5!&00#&00 #%(<#55 )"

圖&& &&<&%##$&#:05'

*0

"&

<周長(zhǎng)為50")!故選 &(如圖&&5#點(diǎn)'是平行四邊形%內(nèi)任意一點(diǎn)#平行=在-中#"0%&#$<34#則"'"<&&#"& #$%%&#%'<34! 解!過(guò)點(diǎn)'作)%"#于點(diǎn)#交分析!根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等#對(duì)角相等#可 % %$延長(zhǎng)線于點(diǎn)<#則<%!&"0& '#+#'&o"%)""%)0%"<o

圖&&5如圖&&<#點(diǎn)'是平行四

*#圖&圖&&o中邊%上的任意一點(diǎn)

行四邊形%的面積為5# +#'+#''

*'$

o'o

%

<分析!設(shè)平行四邊形%中#$

!要點(diǎn) 平行四邊形的邊&角的性

!第"=#6#%題

" < 6 "0例"圖分析!如圖#9例"圖要點(diǎn)解讀!平行四邊形是特殊的四邊形#因此平行四邊形具備四邊形的所有性質(zhì)如內(nèi)角和等于5&外角和是<5)&等但對(duì)于平行四邊形的邊和角來(lái)說(shuō)它還具備一般四邊形所不具備的性質(zhì)&平行四邊形的對(duì)邊平行且相等$平行四邊形的對(duì)角相等#相鄰的兩角互補(bǔ)平行四邊形的邊和角的性質(zhì)是證明線段相等%角相等%兩條直線平行%兩條直線垂直以及求角的大小的一種重要的方法!"0"#"!

#:$#:'90"#:"5#:""5答案!!要點(diǎn)&兩條平行線之間的平行線段 !第5#(題"?ì,ò&ìó?+ 平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)"!&)<$湖南益陽(yáng)中考$5題$0分如圖&&6#在平行四邊形%

四邊形$'的周長(zhǎng)等于$%#%與'(的和&0&(&中#下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是!/圖""& ""%圖 %% &&

6%## $% $%分析!因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊平行#所以#$%#所以""&& & """#$#%,正確%由平行四邊形的對(duì)邊相等#知-正確%

:""!%:!如 在平行四邊形中邊形的對(duì)角線互相平分#但不一定垂直如 在平行四邊形中& && %

"# 圖&& :#(## 圖&&角線"$和#%相交于點(diǎn);!如果$'"#")#'#!-"" &"5" =55

圖&&

%"%#"&$' 4#圖&&邊# 圖&&邊# "<#!分析!根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分#可知";5#

## 55 :在#中 的長(zhǎng)<!&)"0$ 中考$6題$分如圖&&(-的對(duì)角線"$與#% 的長(zhǎng)#5 !- " "

圖&&

'&& :") :在#中:"&#&! :"&#&!%#;#95<9%#0% 槡=&")槡0!&)"$ 襄陽(yáng)中考$(題$分"如圖&&)#-%的對(duì)角線交于點(diǎn)#且=%%兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是!-"" & < 0

圖&& o

田地#為水井#現(xiàn)要把這塊田地平均分給他的兩個(gè)兒子#為了方便用水#要求兩個(gè)兒子分到的地都與水井相鄰#請(qǐng)你來(lái)設(shè)計(jì)一下#并說(shuō)明你的理由!%'#'$'#&%%'&<%&

第題分 &分 && #:&&&!"圖&&=!如圖&&在-%中#對(duì)#$'0%#")圖&&&"分析!

相鄰#可以聯(lián)想到平行四邊形的性質(zhì)&經(jīng)過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分再讓這條直線經(jīng)過(guò)水井就能滿足條件o ' o##%$#o ' o要求!理由如下#%#要求!理由如下'6'0# % 60") 5!如圖&&"&#在-%中# 其對(duì)角線的交點(diǎn);引一直線

##又##又##(#& + + +& + + + + + <0 #;(###' #'#%(4#'

圖&& o

(+9點(diǎn)*!井"在'(上#(##!要點(diǎn)< 要點(diǎn)解讀!平行四邊形的對(duì)角線互相平分!平行四邊形的這一性質(zhì)的主要應(yīng)用!行四邊形分成的四個(gè)角形的周長(zhǎng)$!&"過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分#

:符合水井和兩塊地相鄰的要求#故此種分法符合要求%")#%9%#!例&圖:&&!例&圖而求圖形的面積$< 證明線段相等或角相等!在應(yīng)用平

#

"$'<&"例 如圖 %#"%####

*% 2=><%&*+ 利用邊判定平行四邊形"!不能判定四邊形%是平行四邊形的條件是!-"# $#

:四邊形"($是平行四邊形!是平行四邊形#'%#%$#$ $#$$ %#"&!如圖&&"5#在四邊形%中#"#$$%#要使四邊形& 形#$%是平行四邊形嗎& % )" """%)&圖&& 圖&&

圖&&解!四邊形#$%是平行四邊形!理由如下#:"#"%! """%!#%######

!%邊形有!-" & < 分析!根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知&四邊形都是平行四邊形#它們有一組對(duì)&o邊相等#并且三個(gè)平行四邊形的高都是%與#$兩平行線o

&%!&)"0$涼山州中考$&題$分"如圖&&)#分&#$%##$<#%##&接!間的距離#故面積均相等!故選

試說(shuō)明("$%0在四邊形%中#$$且#'#%則四邊形%是&平行四邊形#理由是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是&平行四邊形 =!在四邊形中#若#"%#$再添加一個(gè)條件 %#$&!答案不唯一 #就可以判定四邊形#$%為平行四邊形!

&求證$四邊形"(是平行四邊形("$#("$

圖&&)圖&& !第5題圖證明!如圖9四邊形#$%是平行四邊形$#<"&:$!#!要點(diǎn)0利用邊判定平行四邊形!第"%題"要點(diǎn)解讀一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形在運(yùn)用此方法時(shí)#要注意的是一組對(duì)邊平行且相等一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形!&"兩組對(duì)邊分別相等的"例<#如圖#在#"#$中#%是"$的中點(diǎn)#是線段#$延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)!過(guò)點(diǎn)"作'的平行線與線段%

#'%##"<#"(! ()!:%#"5!o#%o <""()!"()#$#%:四邊形"(%是平行四邊形##! 求證$("!!&四邊形("$是什么樣的四邊形!例<圖('#:"!例<圖9%是"$的中點(diǎn)#$!"#(#!!解!由 可知.#:四邊形"$(是平行四邊形?ì??,ìì?]"!能判定四邊形是平行四邊形的是 /*!/!!-/!

"! o ;; o""(##(##"$和#%相等!以上四個(gè)條件中可以判定四邊形#$%是平#兩組對(duì)邊分別平行$有一組對(duì)邊平行且相等%%對(duì)角線&5!&)"0$江蘇常州中考$題$6分""$和#%相等!以上四個(gè)條件中可以判定四邊形#$%是平行四邊形的有!-個(gè)

#%(# <

####%#(o<的在做平行四邊形框架時(shí)采用了法$如圖&& %&&"#將兩根木條$#%的中點(diǎn) o形%就是平行四邊形#這種方法的依據(jù)是!**!,!!-/!

圖&& !第5題圖o證明!如圖#連接#%交"$于點(diǎn)#o9四邊形%#(為平行四邊形#;o9#:'#o:#即'#%&圖&& 圖&& &6如圖&&&=#在四邊形%中#是#$的中點(diǎn)#)#%&0!如圖&&&&##%是-的對(duì)角線#點(diǎn)#(在#%上#要 互相平分#交點(diǎn)為;!求證$")!使四邊形"($是平行四邊形#還需增加的一個(gè)條件 =!如圖&&&<#在四邊形%中#對(duì)角線"$與#%相交于點(diǎn)###$"件#以+四邊形 行四邊形 為結(jié)論構(gòu)造命題!以""#為條件構(gòu) 題是真命題嗎&若是#請(qǐng)證明%若不&證明!連接!

圖&&是#請(qǐng)舉出反例

#%o:四邊形#%是平行四邊形o.o)#.o圖&&

:四邊形$%是平行四邊形 :)'!!以"#為條件構(gòu)成題是真命題!證明如下 !要點(diǎn)=平行四邊形的判定方法!第"$6題"!""!定義法"兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形!&"!一組對(duì)邊法"一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形$!<"!兩組對(duì)邊法"兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形$!0"!對(duì)角"對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

###形)<*7是平行四邊形!四邊形是平行四邊形證明 % 四邊形是平行四邊形:##""#"!")<#)#!另外#根據(jù)兩組對(duì)邊法可推出利用角的關(guān)系判定平行四邊形的方法#即兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形!例0#如圖#四邊形是平行四邊形####7分

#:)!同理可證#(#*:<*:四邊形)<*7是平行四邊形

例0圖&% <)#已知四邊形%是平行四邊形#點(diǎn)###%# #(%!!%#%# 且'&% $% !"%'" "&#%&% 圖&&點(diǎn)#則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是!/#圖&&"2圖&&圖

&

證明!9四邊形%是平行四邊形o#o:""#:"!o'(o#"(!o(#!o:''!%#%$$$<如圖&&&6#在-%中#是%邊的中點(diǎn)若-%"4&#$ 為!,

! %$!

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:四邊形"$%是平行四邊形#:"%$!-".

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#"又 又 9$

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#&分析!9"#+&

$"+##+$%#$ #! &")如圖 <&#已知四邊形%是平行四邊形#('#%

##% #####$#%$'%平行四邊形的選法有!, < 0 = 5

#%(二&填空 圖&&%##"$&

證明四邊形是平行四邊形為平行四邊形

% %'#%#$邊

##""#'"#"%&ì+&ì?+ #(#&o&四&""如圖&&<<#已知四邊形%是平行四邊形#點(diǎn)#在### &&與,-相交于點(diǎn)求證$,-與'(互相平分

#%圖&& !第""題圖#9#:('#

""&'(%''%(!%#%#''#'(#故可添加條件-%當(dāng)"""&時(shí)#可得#'(!A"'"! &&!&)"<$湖南郴州中考$題$分"如圖&&<5#已9:##"":,$(-!內(nèi)錯(cuò)角相等#兩直線平行

$"#%o行四邊形oo:四邊形,'-(是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四o邊形是平行四邊形五:'(與,-互相平分!

圖&&9'#:' "&如圖&&<0#如果直線2$2#那么#"#$的面積與 的面積相等嗎 如果相等#請(qǐng)說(shuō)明理由!在圖中你還能得到哪些面積相等的三角形 你還能在平行線2#2之間畫出

""##:#(#!A"#:! "

$#又#"#$面積相等的其他三角形嗎&這樣的三角形能畫出 :四邊形是平行四邊又多少個(gè)

%#( 圖&& !第"&題圖

&<!&)"0$湖南懷化中考$"(題$")分如圖&&<6# %#(求證(%%"!&解!#"#$的面積與#%#$的面積相等!理由如下 &92$2#點(diǎn)"'點(diǎn)%都在直線2上 :點(diǎn)"'點(diǎn)%到直線2的距離相等9#$在直線2上

證

圖&&在& 在&:##$

#%#$是同底等高的兩個(gè)三角形

#'o

#' #$

#"##在圖中面積相等的其他三角形$#%的面積等于#%& :#(#!A"的面積%##的面積等于#$的面積 !平行四邊形中在平行線#& 之間能畫出與##$面積相等的其他三角&形在直線"上任取一點(diǎn)!點(diǎn)不與點(diǎn)重合"#如圖#連&####

$#:""!9$#:""%)"!%"#"#形能畫出無(wú)數(shù)個(gè) o:"%'"!o (o""%)&""#"$"#"!&)"0$湖南益陽(yáng)中考$6題$0分"如圖&&<=#在平行%#

:""! ?@AB)?@ABC!"!下列圖形中是中心對(duì)稱圖形的是 , &!下列說(shuō)法中正確的是!,"*!,!

中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形&%若四邊形與四邊形關(guān)于點(diǎn);成中心對(duì)稱# ")#"'#& '&(分別畫出圖&<<中#"#$關(guān)于;點(diǎn)對(duì)稱的三角形o!-把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度#如果它能夠與另一個(gè)圖形重合#那么這兩個(gè)圖形一定成中心對(duì) /!如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)#那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)成中心對(duì) <!&)"0$湖南益陽(yáng)中考$0題$0分"下列圖形中#既是軸對(duì)

解!如圖

圖&<o稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是!-" o分析!根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)判斷*#,只是軸對(duì)稱圖形%既是軸對(duì)稱圖形#又是中心對(duì)稱圖形%是中心對(duì)稱圖形!故選 0!關(guān)于點(diǎn))成中心對(duì)稱的兩個(gè)四邊形%和'(,-中#o

!第(題圖&###-'&#'#%#

")如圖&<0#%是#"#$的邊#$的中點(diǎn)#連接%=!在圖&<"中#兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱的有&個(gè)圖&<

##o!""圖中哪兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 對(duì)稱中心是什么o&圖中哪些三角形的面積相等分析""中的兩個(gè)圖形能形成中心對(duì)稱#故共有&個(gè) 5!在&5個(gè)英文大寫字母中既是軸對(duì)稱圖形#又是中心對(duì)稱圖&形的字母有$#!J答案不唯一"!寫出&個(gè) #%關(guān)于對(duì)稱中心;的對(duì)稱點(diǎn) 點(diǎn) #點(diǎn)#關(guān)于對(duì)稱中心& 圖&<的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)% 解 $ 成中心對(duì) 對(duì)稱中心為 ## !'$#o$%%%o圖&<

!要點(diǎn)"成中心對(duì)稱的圖形的性質(zhì)!第�#6%題"要點(diǎn)解讀!成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中#對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)

例"圖"例 #"##$'5 長(zhǎng)的取值范!""作出#$%#關(guān)于點(diǎn) 長(zhǎng)的取值范&###"%!&"由中心對(duì)稱的性質(zhì)得到%'#$'!0#5"=!平行四邊形是中心對(duì)稱圖形#對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心可以通過(guò)中心對(duì)稱性來(lái)更好地理解平行四邊形的性質(zhì)!

由于中##'!點(diǎn)解 平行四邊形的中心對(duì)稱 第"題+ì?r?&?ar?!<一&

(!o&"!在圖&<=中#既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有!

圖&<

圖&<o(o0 < & " #'!&若兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱#給出下列說(shuō)法$"對(duì)稱點(diǎn)的連線必&過(guò)對(duì)稱中心%#這兩個(gè)圖形的形狀和大小完全相同%$這兩&個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段一定互相平行但不相等其中正確的&

"#":"#'"!" & < )

;;&

""##分析"#正確#$中對(duì)應(yīng)線段平行!或共線"且相等!選

:#(#o0二&填空 &6如圖&<")#在#"#$中#點(diǎn)o0<!圖 5是一個(gè)中心對(duì)稱圖形#"為對(duì)稱中心#若" !""畫出##$%關(guān)于點(diǎn)%的中心對(duì)稱圖形()#"<)#" !&根據(jù)圖形說(shuō)明線段$%長(zhǎng)的取值范圍分析!9此圖是中心對(duì)稱圖形#為對(duì)稱中心#:##$(##""#""#9"()#"#&&!

&o 圖&< !第6題圖o圖&< 圖&<

解!!""如圖##'就是所求作的圖形 由 (####

&#&形的序號(hào)是#

&")=三&解答 =!如圖 %#兩個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱#請(qǐng)找出對(duì)稱o

"!&)<黃岡中考$題$分"隨著人民生活水平心!你的根據(jù)是什么

圖&<

提高#我國(guó)擁有汽車的居民家庭也越來(lái)越多中#是中心對(duì)稱圖形的是 *&&

解!任意選取兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)#則兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為對(duì)&&!&)"0$湖南湘西州中考$&題$<分"下列圖形#稱中心#如$9與的交點(diǎn)!根據(jù)是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖&稱圖形#又是中心對(duì)稱圖形的是!/形中#對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心 四&綜合 $(八年級(jí)數(shù)學(xué)$下八年級(jí)數(shù)學(xué)$下%第& 四邊 $#%&?D4 三角形的中位線"!)0$#####$ 0 分析!由三角形的中位線及其性質(zhì)得$&0!故選-!o

(9'&同 #'&

圖&0o圖&0 圖&0o

:'!"' o&!如圖&0&-的對(duì)角線"$與#%相交于點(diǎn);'是o

%(4!%0 <

#'")$' 5##%##上一點(diǎn)!不與點(diǎn)##$重合#%與'(交于點(diǎn)#連接%#

#%#:<垂直平分%#要使四邊形"(%為平行四邊形#需要添加條 #$答案不唯一"

只添加一個(gè)條件

'&o

又9)是#$的中點(diǎn):< o"o:'

&0 &!9$$"5"圖&0 圖&0

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< 0##%#(分別是#"#$各邊的中點(diǎn)#如果('&' %"&%中線%與中位線'(的關(guān)系是互相平分 )4&#

####-#'求證$四邊形-',(是平行四邊形% ##% $### 9##

$$ 分析!

#

分別為四邊

又9-

!&$的中點(diǎn)o%各邊的中點(diǎn)#所以+四邊形 圖&0 o

圖&0%&;#

#o

$$#)

=&!"& :四邊形-',(是平行四邊形!要點(diǎn)"三角形的中位線 !第"%題"要點(diǎn)解讀!!""三角形的中位線定理的內(nèi)容是三角形的中位!&一個(gè)三角形有三條中位線#它們能組成一個(gè)新的三角 形

山東棗莊中 分如圖 山東棗莊中 分如圖 ##"#$##'$'")#$'#' #' 積是原三角形面積的"0

$%0

"

例"圖!應(yīng)用三角形的中位線定理可以得到線段平行和線段成&

"#:0=#' !0"當(dāng)已知問(wèn)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的中點(diǎn)時(shí)#我們常需要作出的輔助線是連接兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線#應(yīng)用

'=#:'0="+!r?&|r?–&

0 $#$# 9%$#o## :""#""#點(diǎn)#則圖中的平行四邊形有!-"個(gè)&個(gè)<個(gè)0&分析!根據(jù)三角形的中位線定理和一組對(duì)邊平行且相等的四&邊形是平行四邊形可知四邊形"%#(%##(%$(都是平&行四邊形#共<個(gè)!故選!-&圖&0 圖&0

##&5如圖&0"0#要在湖 ##間建一座觀賞橋#由于條限制#無(wú)法直接測(cè)量##兩點(diǎn)間的距離!知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案!""畫出測(cè)量圖案&寫出測(cè)量步驟!測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示o!"計(jì)算"#的距離!寫出求解或推理過(guò)程#結(jié)果用字母o表示&!如圖&0")#任意四邊形%各邊的中點(diǎn)分別是##(#4#周長(zhǎng)是!,"! % 0 & " 構(gòu)成第二個(gè)三角形#再連接第二個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形#以此類推#第&)"0個(gè)三角形的周長(zhǎng)為!-"& 圖&0 !第5題圖解o解o&

&

!!""測(cè)量圖案如圖!

/!

!&測(cè)量步驟"在湖邊的開闊地帶選一點(diǎn)%分析!由三角形的中位線定理可知#第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 ###$"#第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 $連接%#測(cè)量出%. &

'#

此類推#第&個(gè)三角形的周長(zhǎng)為"!故選

##&&

: o oo"o.&& !&)"0$福建福州中考$題$0分如圖&0圖&0 圖&0 #"#'()##二&

#'")# 是= $0# 三&解答 %#%'并延長(zhǎng)交"$于點(diǎn)#,是##$(的中位線#求證$o& o 圖&0 !第"題圖o %%'$o9':## 圖&0!9

中線#:'(9 中線#:'"== % E%&'!"!矩形具有一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是 ,*!對(duì)邊相互平 ,!對(duì)角線相!-對(duì)角線相互平

矩形的性質(zhì)%##')#"' 分析!矩形#$%被兩條對(duì)角線分成的四 角形都是&!若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為034#一條邊長(zhǎng)為&4#則此矩形的面 腰三角形!,%& 0

&<#0!&(!&0湖南湘潭中考$題$5分如圖&=&<& %& o 沿%對(duì)折#點(diǎn)落在點(diǎn)'處#'與%相交于點(diǎn)<!如圖&="#(過(guò)矩形%對(duì)角線的交點(diǎn)#且分別交#%#%

#<# %%的!,

#<o !""證明!由折疊及矩形的性質(zhì)#可得<o

#"()o分析!矩形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形#因此#%(與##'全等#圖中陰影部分面積等于##的面積#而##的面積o

("'"#等于矩形面積的一半的一半

''#

圖&= :#(#!A" !解!在#中 <#5"<)圖&= 圖&=

"<0如圖&=&#'為矩形%的邊$的中點(diǎn)#且& :"()&<)&<)<)!#& &")如圖&=5#在矩形%中#是%上的一點(diǎn)#是& &"

%##% 為<&#求"'的長(zhǎng)&

#"()## 分析!根據(jù)已知條件結(jié)合矩形 性質(zhì)可得#(##$&#$" 故選&%$&##%折疊#頂點(diǎn)$落在點(diǎn)'處#則"'的度數(shù)是!,"

此可得到''%再根據(jù)矩形的%"出"'!& < & "()$<

解!在#和#中 %#( (!

圖&= ""()#:""! ()# #圖&= 圖&=

0 0#矩形的對(duì)角線$#%相交于點(diǎn)#則&'

的周長(zhǎng)為:0"5#"5!要點(diǎn)"矩形的性質(zhì) !第"$")題"行四邊形的所有性質(zhì)外#還具有矩形特有的性質(zhì)#現(xiàn)歸納如下&對(duì)邊平行且相等$四個(gè)角都相等#都是直角$

另外矩形的性質(zhì)也是證明線段相等%角相等%兩條直線垂直等問(wèn)題的一種重要的方法! 如圖在矩形中 上且 如圖在矩形中 上且平分 "! '#"=#$ " < 0 5稱軸!&"由于矩形的對(duì)角線相等且互相平分#因此矩形的對(duì)角線把矩形分成&個(gè)直角三角形或0個(gè)等腰三角形當(dāng)矩形中出現(xiàn)5)"&)的角時(shí)#通常會(huì)出現(xiàn)等邊三角形因此#在求解矩形中線段的長(zhǎng)時(shí)通常借助直角三角形中的勾股定理和<)

分析!如圖#過(guò)'作(%"9'"###:#0#:+ 答案!

例圖 '$'

0)! 故#$ -./... E%&*+!矩形的判定"!下列說(shuō)法正確的是!, !矩形的判定*!

'#'&&,!對(duì)角線相等的平行四邊形是矩 #%:&!-對(duì)角線互相平分的四邊形是矩 <<##/!&!下列四邊形不是矩形的是!-"*!

別作兩組內(nèi)錯(cuò)角的平分線交于##%兩點(diǎn)#試判斷四邊形#%#:"",!