高中數(shù)學(xué)1-2學(xué)案：2．1.1　合情推理（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2．1.1合情推理（一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．知識(shí)點(diǎn)歸納推理思考1若a1＝eq\f（1,2），a2＝eq\f(1，4），a3＝eq\f(1，8)，a4＝eq\f（1,16），你能猜想出數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式an嗎？思考2直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°，你能猜想出什么結(jié)論？1．推理從一個(gè)或幾個(gè)____________得出另一個(gè)__________的思維過(guò)程稱(chēng)為推理．2．歸納推理(1）定義：從____________中推演出__________的結(jié)論，像這樣的推理通常稱(chēng)為歸納推理．（2）思維過(guò)程:實(shí)驗(yàn)、觀察→概括、推廣→猜測(cè)一般性結(jié)論．3．歸納推理的特點(diǎn)（1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的____________,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的____________,該結(jié)論超越了前提所包容的范圍．（2)由歸納推理得到的結(jié)論具有________的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過(guò)____________和實(shí)踐檢驗(yàn)．（3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理。類(lèi)型一代數(shù)中數(shù)、式的歸納推理命題點(diǎn)一數(shù)列中的歸納推理例1設(shè)｛an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n＋1)·aeq\o\al（2，n＋1)－naeq\o\al（2，n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項(xiàng)公式為an＝________.反思與感悟(1）在數(shù)列中,常用歸納推理猜測(cè)通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式；要認(rèn)真觀察數(shù)列中各項(xiàng)數(shù)字間的規(guī)律,分析每一項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)(序號(hào)n)之間的關(guān)系,這是解題的關(guān)鍵．(2）歸納推理具有由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)知功能，歸納推理的一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些共同的特征;②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想)．跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列｛an}滿(mǎn)足a1＝1,an＋1＝2an＋1（n＝1，2,3,…)．(1)求a2，a3，a4；(2）歸納猜想通項(xiàng)公式an.命題點(diǎn)二算式中的歸納推理例2觀察下列等式：由此推測(cè)第n個(gè)等式為_(kāi)__________________________________________________________________________________________________________________________.反思與感悟?qū)τ谶\(yùn)算式的猜測(cè)和推廣，這一類(lèi)問(wèn)題需要觀察的方面很多：首先是式子的共同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其次是式子中出現(xiàn)的字母之間的關(guān)系，還有化簡(jiǎn)或運(yùn)算的結(jié)果等等．另外要注意對(duì)較為復(fù)雜的運(yùn)算式，不要化簡(jiǎn),這樣便于觀察運(yùn)算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2已知：1＞eq\f（1，2）；1＋eq\f（1,2）＋eq\f（1,3)＞1；1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1，3）＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f（1，6)＋eq\f（1,7）＞eq\f（3，2）；1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1，3)＋…＋eq\f(1，15）＞2；…根據(jù)以上不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，請(qǐng)你歸納一般結(jié)論．類(lèi)型二幾何問(wèn)題中的歸納推理例3數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納推理得出它們之間的關(guān)系．反思與感悟（1)在幾何中隨點(diǎn)、線、面等元素的增加，探究點(diǎn)數(shù)、線數(shù)、面數(shù)等滿(mǎn)足的關(guān)系及相應(yīng)的線段、交點(diǎn)、圖形的增加情況常用歸納推理解決,通過(guò)比較，尋找規(guī)律是解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．(2)應(yīng)用歸納推理，注意兩點(diǎn)：①?gòu)膱D形的數(shù)量規(guī)律入手，尋找數(shù)值變化與數(shù)量關(guān)系；②從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化．跟蹤訓(xùn)練3平面內(nèi)有n條直線（n＝3，4,5，…），其中有且只有兩條直線平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，記f(n)表示這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．(1)求f(3），f（4）,f（5);(2）猜測(cè)f（n）的表達(dá)式．1．由數(shù)列1，10，100，1000，…，猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是________．2．如圖所示是由火柴桿拼成的一列圖形,第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成．通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中，火柴桿有________根；第n個(gè)圖形中，火柴桿有________根．3．觀察下列等式:（1＋1)＝2×1，(2＋1）（2＋2）＝22×1×3，(3＋1）(3＋2）（3＋3）＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)________________________________________________．4．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f（nn＋1，2）＝eq\f(1，2)n2＋eq\f（1,2）n,記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2）n2＋eq\f（1,2）n，正方形數(shù)N(n，4）＝n2，五邊形數(shù)N（n，5）＝eq\f（3,2)n2－eq\f（1，2)n，六邊形數(shù)N（n,6）＝2n2－n…可以推測(cè)N（n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10,24）＝______。歸納推理的一般步驟：（1)對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想．注意：一般性的命題往往要用字母表示，這時(shí)需注明字母的取值范圍．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1an＝eq\f（1，2n)(n∈N＊）．思考2三角形的內(nèi)角和都是180°。1．已知命題新命題2．(1)個(gè)別事實(shí)一般性3．(1）特殊現(xiàn)象一般現(xiàn)象（2）猜測(cè)邏輯證明題型探究例1eq\f(1,n）解析由2aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al（2，1)＋a1a2＝0，a1＝1，得a2＝eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a2＝－1舍去))。由3aeq\o\al（2，3)－2aeq\o\al（2,2）＋a2a3＝0,得a3＝eq\f（1，3)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a3＝－\f(1，2)舍去)).由4aeq\o\al(2，4）－3aeq\o\al(2,3)＋a3a4＝0，得a4＝eq\f(1,4）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a4＝－\f（1,3)舍去））.所以推測(cè)an＝eq\f(1，n），代入等式驗(yàn)證，等式成立．故an＝eq\f(1,n)。跟蹤訓(xùn)練1解(1)由a1＝1，且an＋1＝2an＋1(n∈N＊），令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3,進(jìn)而得a3＝7，a4＝15，（2）由a2＝22－1,a3＝23－1,a4＝24－1.可歸納猜想，得an＝2n－1（n∈N＊）．例212－22＋32－42＋…＋（－1）n－1n2＝（－1）n－1·（1＋2＋3＋…＋n)解析由1－22＝(－1)1（1＋2）,12－22＋（－1）232＝(－1)2（1＋2＋3），12－22＋32＋(－1)342＝（－1)3（1＋2＋3＋4)，由此可得，第n個(gè)等式為12－22＋32－42＋…＋(－1）n－1n2＝（－1)n－1（1＋2＋3＋…＋n）．跟蹤訓(xùn)練2解1＝21－1，3＝22－1,7＝23－1，15＝24－1，…，猜想不等式的左邊共有2n－1項(xiàng)，最后一項(xiàng)的分母為2n－1，右邊為eq\f（n，2），由此可得一般性結(jié)論：1＋eq\f(1，2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1，2n－1）＞eq\f（n，2)(n∈N*）．例3解正方體：F＝6，V＝8，E＝12；三棱柱：F＝5，V＝6,E＝9；五棱柱：F＝7，V＝10,E＝15；四棱錐：F＝5，V＝5，E＝8;兩個(gè)同底面的四棱錐組成的組合體:F＝8，V＝6，E＝12。通過(guò)以上觀察發(fā)現(xiàn)F，V,E滿(mǎn)足F＋V－E＝2.所以歸納得：在凸多面體中，面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿(mǎn)足以下關(guān)系：F＋V－E＝2.跟蹤訓(xùn)練3解（1)f(3）＝2，f(4)＝5，f（5）＝9。(2)由（1）歸納可知，f(4）＝f(3）＋3，f(5）＝f（4）＋4＝f（3)＋3＋4,所以可以猜測(cè)f（n)＝f（3）＋3＋4＋…＋（n－1）＝eq\f(n－2n＋1,2)（n＝3,4，5，…）．達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．10n－1解析該數(shù)列可整理為100,101，102，103，…。2．133n＋1解析設(shè)an表示第n個(gè)圖形中的火柴桿數(shù)，易知a1＝4，a2＝4＋3＝7，a3＝7＋3＝10,a4＝10＋3＝13，…，∴an＝3n＋1。3．(n＋1)(n＋2）…(n＋n）＝2n×1×3×…×（2n－1）解析從給出的規(guī)律可看出，左邊的連乘式中，連乘式個(gè)數(shù)以及每個(gè)連乘式中的第一個(gè)加數(shù)與右邊連乘式中第一個(gè)乘數(shù)的指數(shù)保持一致，其中左邊連乘式中第二個(gè)加數(shù)從1開(kāi)始，逐項(xiàng)加1遞增,右邊連乘式中從第二個(gè)乘數(shù)開(kāi)始，組成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)與第幾等式保持一致,則照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為（n＋1）(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1）．4．1000解析由N(n，4)＝n2，N(n