演示文稿第四節(jié)高斯求積公式

演示文稿第四節(jié)高斯求積公式目前一頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)（優(yōu)選）第四節(jié)高斯求積公式目前二頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析考慮更一般形式的數(shù)值積分問題定義：若求積公式對(duì)一切不高于m次的多項(xiàng)式p(x)都等號(hào)成立，即R(p)=0;而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式等號(hào)不成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為m.一、構(gòu)造高斯型求積公式的基本原理和方法

數(shù)值分析目前三頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析定理1：設(shè)節(jié)點(diǎn)x0,x1…,xn∈[a,b]，則求積公式

的代數(shù)精度最高為2n+1次。

分別取

f(x)=1,x，x2，...xr

代入公式，并讓其成為等式，得：

A0+A1+……+An=∫ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x0

rA0+x1

rA1+……+xn

rAn=∫abxrdxr

=(br+1-ar+1)

(r+1)數(shù)值分析目前四頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析

事實(shí)上,取

2n+2次多項(xiàng)式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2

代入求積公式,這里x0,x1…,xn是節(jié)點(diǎn)，有左右,故等式不成立,求積公式的代數(shù)精度最高為2n+1次。證畢.

上式共有r+1個(gè)等式，2n+2個(gè)待定系數(shù)(變?cè)?,要想如上方程組有唯一解，應(yīng)有方程的個(gè)數(shù)等于變?cè)膫€(gè)數(shù),即r+1=2n+2,這樣導(dǎo)出求積公式的代數(shù)精度至少是2n+1,下面證明代數(shù)精度只能是2n+1.

數(shù)值分析目前五頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析定義:使求積公式達(dá)到最高代數(shù)精度2n+1的求積公式稱為Guass求積公式。Guass求積公式的節(jié)點(diǎn)xk稱為Guass點(diǎn),系數(shù)Ak稱為Guass系數(shù).因?yàn)镚uass求積公式也是插值型求積公式,故有結(jié)論:

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度d

滿足：

n

d2n+1。數(shù)值分析目前六頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析例：選擇系數(shù)與節(jié)點(diǎn)，使求積公式（1）成為Gauss公式。解：n=1,由定義，若求積公式具有3次代數(shù)精度，則其是Gauss公式。為此，分別取

f(x)=1,x，x2，x3

代入公式，并讓其成為等式，得c1+

c2=2c1x1+

c2x2=0c1x12+

c2x22=2/3c1x13+

c2x23=0求解得：所求Gauss公式為：(1)用待定系數(shù)法構(gòu)造高斯求積公式數(shù)值分析目前七頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析

設(shè)Pn(x)，n=0,1,2,…,為正交多項(xiàng)式序列，Pn(x)具有如下性質(zhì)：1）對(duì)每一個(gè)n,Pn(x)是n次多項(xiàng)式。n=0,1,…2）(正交性)3）對(duì)任意一個(gè)次數(shù)≤n-1的多項(xiàng)式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)內(nèi)有n個(gè)互異零點(diǎn)。（2）利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式數(shù)值分析目前八頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析定理2

設(shè)x0,x1,…,xn是n+1次正交多項(xiàng)式Pn+1(x)的n+1

個(gè)零點(diǎn),則插值型求積公式是Guass型求積公式。證明：只要證明求積公式的代數(shù)精確度為2n+1,即對(duì)任意一個(gè)次數(shù)≤2n+1的多項(xiàng)式求積公式都精確成立。設(shè)f(x)為任意一個(gè)次數(shù)≤2n+1的多項(xiàng)式，則有

f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，滿足f(xk)=r(xk)這里，Pn+1(x)是n+1次正交多項(xiàng)式，q(x)、r(x)均是次數(shù)≤n的多項(xiàng)式。數(shù)值分析目前九頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析由性質(zhì)3）及(4)式，有由于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于n，故有即對(duì)f(x)為任意一個(gè)次數(shù)≤2n+1的多項(xiàng)式求積公式都精確成立。證畢數(shù)值分析目前十頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式的基本步驟：代入積分式因此，求積系數(shù)為數(shù)值分析目前十一頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十二頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十三頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析常用的高斯求積公式1.Gauss-Legendre求積公式

(1)

其中高斯點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)Guass點(diǎn)xk,Guass系數(shù)Ak都有表可以查詢.數(shù)值分析目前十四頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十五頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十六頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十七頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析一般區(qū)間的Gauss-Legendre求積公式

如果積分區(qū)間是[a,b]，用線性變換

這樣就可以用Gauss-Legendre求積公式計(jì)算一般區(qū)間的積分.將積分區(qū)間從[a,b]變成[-1,1],由定積分的換元積分法有數(shù)值分析目前十八頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前十九頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前二十頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前二十一頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前二十二頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析例

利用高斯求積公式計(jì)算解:

令x=1/2

(1+t),

則用高斯-Legendre求積公式計(jì)算.取n=4

積分精確值為

I=ln2=0.69314718…由此可見，高斯公式精確度是很高的.數(shù)值分析目前二十三頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析例:分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較各種做法比較如下：1、用Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時(shí)，即用梯形公式，I≈0.9270354當(dāng)n=2時(shí),即用Simpson公式,I≈0.9461359當(dāng)n=3時(shí),I≈0.9461090當(dāng)n=4時(shí),I≈0.9460830當(dāng)n=5時(shí),I≈0.9460830I準(zhǔn)=0.9460831數(shù)值分析目前二十四頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析2:用復(fù)化梯形公式

令h=1/8=0.1253：用復(fù)化辛卜生公式令h=1/8=0.125I準(zhǔn)=0.9460831數(shù)值分析目前二十五頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析4、用Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831

I準(zhǔn)=0.9460831數(shù)值分析目前二十六頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,

I準(zhǔn)=0.9460831（2）用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式（1）用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式數(shù)值分析目前二十七頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析算法比較此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時(shí)只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時(shí)有7位有效數(shù)字。對(duì)復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化辛卜生公式有6位有效數(shù)字。用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個(gè)函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分3次，用了9個(gè)函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。用Gauss公式僅用了3個(gè)函數(shù)值，就得到結(jié)果。數(shù)值分析目前二十八頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析2.Gauss-Chebyshev公式常用的高斯求積公式數(shù)值分析目前二十九頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析3.Gauss-Laguerre公式數(shù)值分析目前三十頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析4.Gauss-Hermite公式數(shù)值分析目前三十一頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析二、高斯型求積公式的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性分析數(shù)值分析目前三十二頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析已知Hermite插值誤差是因?yàn)閷?duì)2n+1次多項(xiàng)式求積公式準(zhǔn)確成立，即代入上式即有數(shù)值分析目前三十三頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正數(shù)值分析目前三十四頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析數(shù)值分析目前三十五頁\總數(shù)三十七頁\編于三點(diǎn)數(shù)值分析

將積分區(qū)間[a