演示文稿振動(dòng)力學(xué)第五章

演示文稿振動(dòng)力學(xué)第五章目前一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)（優(yōu)選）振動(dòng)力學(xué)第五章目前二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)振動(dòng)速度系統(tǒng)的動(dòng)能將振動(dòng)速度代入得動(dòng)能的最大值發(fā)生在時(shí)刻，即目前三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)若只考慮彎曲變形的影響，系統(tǒng)的應(yīng)變能為將運(yùn)動(dòng)方程代入得當(dāng)時(shí)，應(yīng)變能最大，即使，即可得到瑞利商目前四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)用外力做功的數(shù)值代替系統(tǒng)應(yīng)變能的數(shù)值圖（b）系統(tǒng)上外力所做的總功為將運(yùn)動(dòng)方程代入上式得y(x,t)為靜荷載（自重、F等）引起的位移，如自重等目前五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，應(yīng)變能達(dá)到最大值，此時(shí)外力所作的功亦為最大值，

這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能除了分布質(zhì)量m(x)的動(dòng)能外，還應(yīng)包括各集中質(zhì)量的動(dòng)能，即將振動(dòng)速度代入得目前六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)當(dāng)時(shí)，動(dòng)能達(dá)最大值由得到目前七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：如圖（a）所示均質(zhì)等截面簡支梁。單位梁長的質(zhì)量為，其抗彎剛度EI為常數(shù)。若振型分別為圖（b）所示（為梁中點(diǎn)的最大撓度）和圖（c）所示梁在自重作用下的撓曲線。分別計(jì)算自振頻率，并將所得結(jié)果進(jìn)行比較。目前八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：（1）振型為從而得自振頻率精確解目前九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)（2）取振型為梁在自重荷載上的撓曲線。圖（c）所示為勻布自重荷載作用下簡支梁的靜力撓曲線，即最大動(dòng)能外力做功的最大值目前十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)因?yàn)?可以解得此值與精確解相比較，偏大約2％目前十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：計(jì)算重力壩沿水流方向的自振頻率時(shí)，可以取沿壩軸線方向單位長度的壩體近似地簡化為圖（a）所示的變截面懸臂梁。試用瑞利法計(jì)算其自振頻率。目前十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：選變截面懸臂梁在其自重作用下所引起的撓曲線作為近似振型，如圖（b）所示，即從圖（b）可以看出其分布質(zhì)量為最大動(dòng)能和外力功的最大值為目前十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)根據(jù)得到目前十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：等截面懸臂梁端部有一集中質(zhì)量用瑞利法估計(jì)基頻解：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：選擇端部集中質(zhì)量作用下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：因集中質(zhì)量大于梁的分布質(zhì)量，選用后一種試函數(shù)好目前十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例.用能量法計(jì)算圖示體系的基頻.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精確解:目前十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)2.取直線mmm321mgmgmg3.取常數(shù)精確解:目前十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)二，李茲能量法李茲給出了級數(shù)形式的近似振型將上式代入瑞利商的表達(dá)式得目前十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)引進(jìn)下列記號為所以根據(jù)頻率為極值的條件目前十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)得到即簡化上式并將代入得或目前二十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

上式為n個(gè)齊次線性方程，為了使方程組有非零解，必須得到

上式展開后得到一個(gè)的n次方程，該方程有n個(gè)根。對于其中的每一個(gè)根都可求得一組常數(shù)，因此得到n個(gè)振型函數(shù)

求得的就是所研究的系統(tǒng)前n個(gè)自振頻率和振型函數(shù)的近似解。目前二十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：試用李茲法求圖所示重力壩的第一和第二階自振頻率。目前二十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：為了使級數(shù)各項(xiàng)都滿足位移邊界條件，近似振型函數(shù)選為假設(shè)經(jīng)一次近似計(jì)算只取第一項(xiàng)，即代入瑞利商的表達(dá)式得目前二十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)若取級數(shù)前兩項(xiàng)，即

將代入相關(guān)式子計(jì)算出，這時(shí)成為展開系數(shù)行列式，并令其等于零,得頻率方程：目前二十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解得與精確解的相對誤差為0.6％，是較高一階頻率的近似值。目前二十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：圖所示等截面懸臂梁，用李茲法求自振頻率。目前二十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：選取兩個(gè)函數(shù)：

這兩個(gè)函數(shù)在梁的支承處滿足固定端邊界條件。于是，近似振型函數(shù)可取為求得如下目前二十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)目前二十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)于是，頻率方程為從上式可得到一個(gè)關(guān)于的方程，方程的根為目前二十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)這兩個(gè)頻率的精確值為比較得，第二階自振頻率精讀很差。為了改善得計(jì)算精讀，采用以下四個(gè)函數(shù)：目前三十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)求得結(jié)構(gòu)的前四階頻率為該結(jié)構(gòu)第三階和第四階自振頻率的精確值為

比較得，的精讀最高，次之，的精讀最差。所以說，為了得到精讀較高的高階頻率，往往需要選取較多的函數(shù)。目前三十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：等截面簡支梁梁中部有一集中質(zhì)量Ma，大小等于梁的質(zhì)量采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解Ma選取無集中質(zhì)量時(shí)的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：解：基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）目前三十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)模態(tài)試函數(shù)：若對第三階固有頻率的精度要求不高，取n＝3代入里茲法方程，求得系數(shù)：目前三十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)模態(tài)試函數(shù)：梁的模態(tài)函數(shù)近似解：目前三十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

第二節(jié)冪法計(jì)算自振頻率和振型一，最低階頻率和振型的計(jì)算上式兩邊左乘以

首先假定一個(gè)任意的規(guī)準(zhǔn)化振型，例如令其中第一個(gè)自由度振幅值為1，即，亦即，假定規(guī)準(zhǔn)化振型上標(biāo)（0）表示假設(shè)的初始形狀，即零次迭代。目前三十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

把這個(gè)假定的標(biāo)準(zhǔn)化振型代入等號左邊，經(jīng)過運(yùn)算得，即將中第一個(gè)元素歸一化為1后，得式中

這就是頻率和振型的第一次近似值。再把代入，仿此繼續(xù)循環(huán)迭代計(jì)算，直到經(jīng)過連續(xù)迭代前后兩次的給出相同或近乎相同的數(shù)值為止，這樣得到的就是系統(tǒng)的最低自振頻率及相應(yīng)的振型。目前三十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)如果假定的形狀是一個(gè)真實(shí)的振型，則因此，

那么，中任何一對對應(yīng)元素的比值都能得到相同的頻率，則

一般來說，經(jīng)過一次迭代后的和假定的的形狀是不一樣的。對于上式中的每一次位移坐標(biāo)會(huì)得到不同的值。目前三十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)在這種情況下，

為了求出較好的頻率近似值，通常采用以質(zhì)量作為加權(quán)系數(shù)的平均法，用左乘以

當(dāng)真實(shí)振型或是自重作用下的撓曲線都不能很快給出時(shí)，習(xí)慣上總是把各質(zhì)體的幅值假定為1，即取目前三十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：如圖所示三層剛架，試用冪法計(jì)算它的最低自振頻率和振型。目前三十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：該系統(tǒng)的勁度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為因此，這個(gè)結(jié)構(gòu)的柔度矩陣是目前四十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)由此得將假定的初始迭代振型代入上式等號左邊，得目前四十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)將代入，算得將代入，算得目前四十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)將代入，算得

因?yàn)榍昂髢纱蔚恼裥突鞠嗤?，迭代至此停止，求得的第一振型為，相?yīng)的自振頻率為精確解目前四十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)如果按照來求第一自振啤頻率，則

可見，第一次迭代求得的頻率精度較差。采用質(zhì)量為權(quán)系數(shù)平均，只需迭代一次就能得到較好的頻率近似值目前四十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

現(xiàn)在來證明上述迭代法求出頻率和振型就是系統(tǒng)的最低自振頻率和相應(yīng)的振型。

當(dāng)給出假定的振型后，逐次迭代可以作出如下的一系列向量目前四十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)對于開始所假定的振型可表示為將上式前乘以D,則目前四十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

由于即，故當(dāng)?shù)螖?shù)k充分大時(shí)，，只要時(shí)，則有

這就說明，在迭代k次后，向量與向量僅相差一常數(shù)倍數(shù)，或者說向量收斂于向量。由于每迭代一次都要?dú)w一化一次，所提出的因子就是，所以迭代k次后，就收斂到系統(tǒng)的第一自振頻率和對應(yīng)的振型。目前四十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)二，最高階頻率和振型的計(jì)算用左乘以

則基于上式的迭代計(jì)算結(jié)果將得到最高階的自振頻率和相應(yīng)的振型。為了論證這一點(diǎn)，令按照前面同樣的論證方法可以得到迭代k次的向量為目前四十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

因?yàn)?，?dāng)k充分大時(shí)，，所以上面等式右端各項(xiàng)比最后一項(xiàng)要小得多，略去前面（n-1）項(xiàng)，于是得到

這就說明，迭代k次后就收斂到系統(tǒng)的最高一階振型。給出第n階自振頻率的近似值或目前四十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)例：圖所示三層剛架，試用冪法計(jì)算它的最高自振頻率和振型。目前五十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)解：按，有

假定初始振型，并設(shè)，代入上式等號左邊，得到目前五十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)繼續(xù)迭代計(jì)算，得目前五十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

前后兩次迭代振型已基本接近，迭代中止，得到第三階振型為與前面所得第三階振型一致，其相應(yīng)的第三階自振頻率為目前五十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)三，高階頻率和振興的計(jì)算假設(shè)振型

逐階消頻法：當(dāng)要求第r+1階振型時(shí)，可以在假設(shè)振型中清除掉所有前面r階振型分量，逐步收斂到第r+1階振型，從而求出所需若干階振型。在上式等號兩邊前乘以,并利用振型的正交性得目前五十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)從上式中解出

為了在假設(shè)的振型中清掉所有前面r階振型分量，可取初始迭代向量為

式中，為r階清型矩陣或淘汰矩陣；I為主對角元素為1的對角矩陣。目前五十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)

在實(shí)際迭代計(jì)算過程中，應(yīng)該在每次迭代后都要重新清型。也就是說，只是在求系統(tǒng)的第一階振型時(shí)用矩陣D前乘，在以后各階振型的計(jì)算中，每次都要用清型后的矩陣來前乘。經(jīng)過清型后的各階矩陣稱為收縮矩陣，可表示為目前五十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)收縮矩陣還可以寫成遞推公式的形式對收縮矩陣作些說明。上式取r=1，則上式兩邊右乘以目前五十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點(diǎn)當(dāng)k>1