狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算

（優(yōu)選）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算目前一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點目錄(1/1)目錄概述3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計算

3.3線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化3.5線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6Matlab問題本章小結(jié)目前二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算(1/1)3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算

在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計算。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算。上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他3種常用方法。級數(shù)求和法約旦規(guī)范形法

化eAt為A的有限多項式矩陣函數(shù)法重點推薦目前三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點級數(shù)求和法(1/3)3.2.1級數(shù)求和法

由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知:矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算可由上述定義式直接計算。由于上述定義式是一個無窮級數(shù),故在用此方法計算eAt時必須考慮級數(shù)收斂性條件和計算收斂速度問題。類似于標量指數(shù)函數(shù)eat,對所有有限的常數(shù)矩陣A和有限的時間t來說,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt這個無窮級數(shù)表示收斂。目前四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點級數(shù)求和法(2/3)顯然,用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形式,只能得到數(shù)值計算的近似計算結(jié)果。其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少。如果級數(shù)收斂較慢,則需計算的級數(shù)項數(shù)多,人工計算是非常麻煩的,一般只適用于計算機計算。因此,該方法的缺點:計算量大精度低非解析方法,難以得到計算結(jié)果的簡潔的解析表達式。目前五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點級數(shù)求和法(3/3)—例3-4例3-4

用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):解按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計算如下:目前六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法

(1/8)3.2.2約旦規(guī)范形法

上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)。由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速計算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。下面討論之。目前七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法(2/8)下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):對矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有則相應地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系目前八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法(3/8)根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣A,可通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)。該結(jié)論可簡單證明如下:目前九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法(4/8)—例3-5例3-5

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為1=-12=-23=-32.求特征值所對應的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所對應的特征向量分別為p1=[101]

p2=[124]

p3=[169]目前十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法—例3-5故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P-1為3.由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有目前十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法—例3-6例3-6

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)目前十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法(7/8)—例3-6解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為1=22=3=-12.

由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P-1分別為3.

由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有目前十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點約旦規(guī)范形法(8/8)--例3-6目前十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點塞爾維斯特內(nèi)插法(1/1)3.2.3塞爾維斯特內(nèi)插法在討論塞爾維斯特(Sylvester)內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt時,需要用到關(guān)于矩陣特征多項式的凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理以及最小多項式的概念。因此,首先給出凱萊-哈密頓定理及最小多項式的概念,再討論塞爾維斯特內(nèi)插法。下面依次介紹:凱萊-哈密頓定理最小多項式塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)目前十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點凱萊-哈密頓定理(1/4)1.

凱萊-哈密頓定理凱萊-哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和證明如下。定理3-1(凱萊-哈密頓定理)

設(shè)nn矩陣A的特征多項式為f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an則矩陣A必使由上述特征多項式?jīng)Q定的矩陣多項式函數(shù)f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI=0上述特征多項式亦稱為矩陣A的零化特征多項式?！跄壳笆揬總數(shù)四十一頁\編于五點凱萊-哈密頓定理(2/4)證明因為I=(I-A)-1(I-A)=[adj(I-A)/|I-A|](I-A)故|I-A|I=adj(I-A)(I-A)由伴隨矩陣的定義可知,伴隨矩陣adj(I-A)可表示為如下多項式矩陣函數(shù):adj(I-A)=n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn其中矩陣B2,B3,…,Bn為nn維的常數(shù)矩陣。目前十七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點凱萊-哈密頓定理(3/4)因此由前面兩式,有(n+a1n-1+…+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn)(I-A)整理得(n+a1n-1+…+an-1+an)I

=nI+(B2-A)n-1+…+(Bn-Bn-1A)-BnA目前十八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點凱萊-哈密頓定理(4/4)上式中,令等號兩邊的同冪次項的系數(shù)相等,則有a1I-B2+A=0a2I-B3+AB2=0…an-1I-Bn+ABn-1=0anI+ABn=0因此,將上述各等式從上至下依次右乘以An-1,…,A,I,然后將各等式相加,即得An+a1An-1+…+an-1A+anI=0故矩陣A滿足其本身的零化特征多項式。目前十九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式

(1/3)2.最小多項式

根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理,任一n×n維矩陣A滿足其自身的特征方程,即特征多項式為A的一個零化多項式。然而特征多項式不一定是A的最小階次的零化多項式。將矩陣A滿足的最小階次的首一零化多項式稱為最小多項式,也就是說,定義n×n維矩陣A的最小多項式為滿足(A)=Am+1Am-1+…+m-1A+mI=0,mn的階次最低的首一多項式()=m+1m-1+…+m-1+m目前二十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(2/3)最小多項式在矩陣多項式的分析與計算中起著重要作用。定理3-2給出了特征多項式與最小多項式的關(guān)系。定理3-2

設(shè)首一多項式d()是I-A的伴隨矩陣adj(I-A)的所有元素的最高公約式,則最小多項式為目前二十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(3/3)證明

由假設(shè)知,矩陣adj(I-A)的最高公約式為d(),故adj(I-A)=d()B(),式中,B()的n2個元素(為的函數(shù))的最高公約式為1。由于(I-A)adj(I-A)=|I-A|I可得d()(I-A)B()=|I-A|I由上式可知,特征多項式|I-A|可被整除d()。因此設(shè)d()整除|I-A|得到的因式記為(),故有

|I-A|=d()(),目前二十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(4/3)由于首一多項式d()的最高階次的系數(shù)為1,所以()的最高階次的系數(shù)也應為1。因此,綜合上兩式,可得(I-A)B()=()I因而(A)=0即()亦為A的零化多項式。設(shè)()為A的最小多項式,因此零化多項式()可寫為()=g()()+e()其中g(shù)()和e()分別是多項式()除以()的商和余項,且e()的階次低于()。目前二十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(5/3)由于(A)=0和(A)=0,所以必然有e(A)=0。考慮到()為矩陣A的最小多項式,所以不存在比()階次還低的A的零化多項式,故e()必為零,即有()=g()()又因為(A)=0,所以()可寫為()I=(I-A)H()式中,H()為()的一個因子矩陣,故()I=g()()I=g()(I-A)H()將上式與(I-A)B()=()I比較,有B()=g()H()目前二十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(6/3)又因為B()的n2個元素的最高公約式為1,因此g()=1于是()=()因此,由前面證明的|I-A|=d()()而證明了最小多項式()為目前二十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點最小多項式(7/3)根據(jù)上述定理3-2,n×n維矩陣A的最小多項式可按以下步驟求出。1)

根據(jù)伴隨矩陣adj(I-A),寫出作為的因式分解多項式的adj(I-A)的各元素;2)確定作為伴隨矩陣adj(I-A)各元素的最高公約式d()。選取d()的最高階次系數(shù)為1。如果不存在公約式,則d()=1;3)

最小多項式()可由|I-A|除以d()得到。目前二十六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(1/4)3.塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)基于最小多項式(或特征多項式),塞爾維斯特內(nèi)插法可以非常簡潔、快速地計算出矩陣指數(shù)函數(shù),其計算思想與過程可描述如下。若()=m+1m-1+…+m-1+m為矩陣A的最小多項式,則由(A)=0有Am=-1Am-1-…-m-1A-mI即Am可用有限項Am-1,…,A,I的線性組合來表示。目前二十七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(2/4)將上式兩邊乘以矩陣A,則有即Am+1可用有限項Am-1,…,A,I的線性組合來表示。目前二十八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(3/4)依次類推,則可知,Ai(i>m)可用有限項Am-1,…,A,I的線性組合來表示。因此,我們有其中i(t)(i=0,1,…,m-1)為待定的關(guān)于時間t的函數(shù)。即,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt亦可以用有限項Am-1,…,A,I的線性函數(shù)組合表示。目前二十九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(4/4)利用上式去計算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的關(guān)鍵是如何計算待定函數(shù)i(t)。下面分A的特征值互異A有重特征值兩種情況來討論如何計算i(t)以及eAt。目前三十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A的特征值互異(1/4)(1)A的特征值互異設(shè)矩陣A的n個互異特征值為1,2,…,n,則矩陣A的最小多項式()等于特征多項式f()=|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an。因系統(tǒng)的所有特征值i使特征多項式f(i)=0,故與前面證明過程類似,我們亦有其中待定函數(shù)i(t)(i=0,1,…,n-1)與矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達式中的i(t)一致。目前三十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A的特征值互異(2/4)因此,可得如下待定函數(shù)i(t)(i=0,1,…,n-1)的線性方程組:求解上述方程得函數(shù)i(t)后,由式(3-49)可計算得矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。目前三十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A的特征值互異(3/4)--例3-7

例3-7

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)解

由于矩陣A的3個特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得目前三十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A的特征值互異(4/4)則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為目前三十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A有重特征值(1/4)(2)A有重特征值由于矩陣A與它的約旦矩陣

具有相同的最小多項式(),因此由前面的推導過程可知,約旦矩陣

也滿足設(shè)A與

的特征值i的代數(shù)重數(shù)為mi,則由上式很容易證明i(t)滿足求解上述方程,則可求得待定函數(shù)i(t)。目前三十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點A有重特征值(2/4)為清楚說明問題,設(shè)A和

有如下6個特征值:1,1,1,2,2,3。則相應的矩陣指數(shù)函數(shù)計算式(3-49)