第章彎曲變形

第9章彎曲剛度問題9-1基本概念9-2小撓度微分方程及其積分9-3工程中的疊加法9-4簡(jiǎn)單的靜不定問題彎曲剛度問題9-5梁的剛度設(shè)計(jì)１基本概念彎曲變形研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與y

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

w=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量小變形PxwCqC1y

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小撓度微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形yxM>0yxM<0對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分彎曲變形2.位移邊界條件積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：彎曲變形PABCPD2.位移邊界條件積分常數(shù)C1、C2

由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。彎曲變形例1求下列各等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxf寫出撓曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xfPLa應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf寫出撓曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf彎曲變形討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，3工程中的疊加原理一、賭載荷夜疊加摧：多個(gè)制載荷充同時(shí)升作用久于結(jié)版構(gòu)而舉引起巧的變跪形摩等背于每君個(gè)載月荷單嶼獨(dú)作資用于摔結(jié)構(gòu)腿而引游起的乖變形答的代畜數(shù)和卷。彎曲統(tǒng)變形重要悲結(jié)論磚：梁在械若干蓬個(gè)載痕荷共航同作科用時(shí)鐮的撓贏度或勵(lì)轉(zhuǎn)角雹，等吃于在肺各個(gè)側(cè)載荷要單獨(dú)森作用送時(shí)的見撓度辦或轉(zhuǎn)桂角的鼓代數(shù)至和。映這就肯是計(jì)算慚彎曲鄭變形慣的疊冬加原杜理。故由于嬌梁的慰邊界鈔條件難不變肅，因老此例4按疊考加原痕理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)感角和C點(diǎn)縣撓度堤。解、載荷好分解借如圖由梁籠的簡(jiǎn)艙單載健荷變海形表電，查簡(jiǎn)憲單載緞荷引造起的毅變形伐。彎曲洋變形qqPP=+AAABBBCaa彎曲俗變形qqPP=+AAABBBCaa疊加例5按疊巡壽加原厘理求C點(diǎn)撓割度。解：載荷qd焰x看成押一集閑中力由梁充的簡(jiǎn)暖單載夸荷變戲形表言，查簡(jiǎn)街單載族荷引啊起的暈變形矛。疊加炒在圖垂示均欄布載觸荷作謙用下彩，跨期度中頓點(diǎn)c的撓稱度應(yīng)殊為dy情c的積還分彎曲率變形0.5L0.5LxCAbBDqd穿x0.5L0.5LxCAbBDdp=qdxdyc例6已知：懸臂希梁受添力如捎圖示否，q、l、EI均為蓋已知肉。求C截面蛾的撓斥度yC和轉(zhuǎn)角C1）首烏先，爽將梁句上的美載荷劫變成摩有表士可查扭的情符形為了殖利用鞠梁全獄長承麻受均映布載晉荷的魄已知濤結(jié)果兇，先的將均坐布載股荷延貸長至財(cái)梁的馳全長菠，為昆了不鈔改變飛原來璃載荷共作用辣的效葡果，深在AB段還袖需再迅加上村集度單相同賠、方艇向相擇反的島均布袍載荷更。解彎曲吵變形3）將豪結(jié)果敘疊加2）再猾將處語理后軋的梁勢(shì)分解侵為簡(jiǎn)栽單載雖荷作灣用的驢情形巨，計(jì)宜算各崖自C截面的撓集度和蒜轉(zhuǎn)角物。彎曲企變形討婆論疊加崇法求桌變形屬有什狀么優(yōu)倡缺點(diǎn)貨？彎曲俯變形1.基本駛概念博：超靜禽定梁充：支反仔力數(shù)涌目大庸于有抽效平最衡方丹程數(shù)洞目的傭梁多余于約束蟲：從維驗(yàn)持平女衡角視度而捆言,多余聰?shù)募s著束超靜坑定次油數(shù)：多余古約束都或多裕余支肚反力困的數(shù)吼目。2.求解豎方法勸：解除演多余舉約束逆，建旦立相形當(dāng)系氣統(tǒng)——比較盡變形妻，列模變形不協(xié)調(diào)親條件——由物零理關(guān)腹系建啞立補(bǔ)服充方頓程——利用學(xué)靜力耍平衡鎮(zhèn)條件化求其撐他約塑束反請(qǐng)力。相當(dāng)識(shí)系統(tǒng)代：用多尺余約漲束力謝代替淺多余裹約束駐的靜撓定系桶統(tǒng)7-朗64簡(jiǎn)單癢的靜聽不定膜問題彎曲座變形解例6求梁秤的支消反力頃，梁振的抗士彎剛參度為EI。1）判北定超簽靜定瞇次數(shù)2）解保除多勾余約苗束，蓋建立座相當(dāng)說系統(tǒng)3）進(jìn)欠行變霜形比鮮較，脈列出詳變形削協(xié)調(diào)腎條件彎曲歷變形4）由羞物理社關(guān)系皇，列擠出補(bǔ)蒼充方繩程所以4）由息整體妹平衡守條件羞求其瓦他約酬束反繪力彎曲疑變形例7梁AB和BC在B處鉸托接，A、C兩端繞固定詳，梁御的抗匆彎剛貼度均風(fēng)為EI，F(xiàn)=店40爐kN，q=報(bào)20宜kN罰/m。畫梁嶼的剪休力圖陡和彎求矩圖翻。從B處拆栽開，尋使超快靜定冊(cè)結(jié)構(gòu)播變成核兩個(gè)涼懸臂仰梁。變形勤協(xié)調(diào)欲方程每為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理雞關(guān)系解彎曲幕變形代入債得補(bǔ)帆充方券程：確定A端約趣束力彎曲鄰變形FBF′BMAFAMCFCyB1yB2FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定B端約蠅束力彎曲題變形MAFAMCFCA、B端約挨束力秒已求分出最后儉作梁相的剪關(guān)力圖蟻和彎借矩圖彎曲己變形1.剛度早條件建筑鉆鋼梁跨的許?？蓳吓d度：機(jī)械講傳動(dòng)榜軸的塌許可攔轉(zhuǎn)角：精密襖機(jī)床鞠的許窄可轉(zhuǎn)券角：7-乎55梁的眾剛度侄設(shè)計(jì)彎曲周變形根據(jù)惡要求殺，圓覽軸必蝕須具口有足巧夠的枯剛度護(hù)，以田保證內(nèi)軸承B處轉(zhuǎn)角角不鄙超過弄許用闊數(shù)值聰。B1）由撓爭(zhēng)度表綿中查因得承鹿受集嚴(yán)中載擱荷的哀外伸痛梁B處的宋轉(zhuǎn)角童為：解例5已知?jiǎng)冧撝频笀A軸宋左端順受力顧為F＝20kN，a＝l島m，l＝2絲式m，E=2榨06GP腳a。軸承B處的速許可剖轉(zhuǎn)角θ=0楚.5籌°。根據(jù)殃剛度叢要求己確定閱軸的增直徑d。彎曲柴變形例6已知煤鋼制兇圓軸享左端抓受力鴿為F＝20kN，a＝l膝m，l＝2足m，E=2難06GP描a。軸承B處的納許可屆轉(zhuǎn)角θ=0垂.5籮