第二十四講高考復習平面向量的概念及運算

第一節(jié)平面向量的概念及運算

最新考綱1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．2．掌握向量的加法和減法．3．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標概念，掌握平面向量的坐標運算．高考熱點1.以選擇題、填空題的形式考查向量的有關概念、運算法則．2．對共線向量定理及平面向量基本定理的考查也主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，但有時也出現(xiàn)在解答題中.大小

方向

有向

零向量

平行向量

共線向量

相等向量

單位向量

三角形

平行四邊形

3．向量b與向量a共線的充要條件是

(λ為實數(shù))(其中a≠0)．4．向量加法的運算律：交換律

結合律

．a＋b＋c＝a＋(b＋c)b＝λaa＋b＝b＋a.(1)向量是具有大小和方向的量，二者缺一不可，兩個向量只有模相等且方向相同時，才能稱它們相等．對于一個向量，只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的，即我們研究的是自由向量.

題型一平面向量的有關概念思維提示向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝±b；②若|a|＜|b|，則a＜b；③若a＝b，則a∥b；④若a∥b，則a＝b；⑤若|a|＝0，則a＝0；⑥若a≠b，則a與b一定不共線．其中，正確命題的序號是________(把你認為正確的命題序號都填上)．[思路點撥]借助于相等向量、共線向量、零向量、向量的模等概念逐一作出判斷．[解析]

(1)兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，也不一定相反，故①不正確．(2)由向量不能比較大小，知②不正確．(3)共線向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共線，共線向量不一定相等，故③正確，④不正確．(4)零向量與數(shù)字0是兩個不同的概念，零向量不等于數(shù)字0，故⑤不正確．(5)因為向量不相等，可能僅由于模不相等，方向仍可能是相同的，所以a與b有共線的可能，故⑥不正確[答案]

③

備選例題1

(2008·海南·寧夏高考)平面向量a，b共線的充要條件是()A．a，b方向相同B．a，b兩向量中至少有一個為零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0答案：D題型二平面向量的線性運算思維提示向量的加法、減法運算法則以及幾何意義[思維父啟迪]結合地圖形炕性質貨，準覽確靈篇活運光用三蜘角形陳法則擺和平澆行四素邊形途法則類是向說量加蹲減運免算的懷關鍵杠．[規(guī)律芬總結](1毫)解題盞的關益鍵在磁于搞憂清構們成三鞏角形查的三耽個問挑題間拼的相葉互關圈系，機能熟猜練地陽找出桐圖形真中的集相等欣向量回，并希能熟咸練運符用相悔反向市量將饅加減翠法相即互轉指化．(2裁)用幾雅個基凈本向銳量表秒示某爺個向芹量問專題的著基本續(xù)技巧競是：①觀察倚各向異量的嗎位置易；②尋找產相應注的三著角形兇或多迫邊形糠；③運用綱法則攔找關今系；④化簡焦結果.答案干：A題型三共線向量定理、平面向量基本定理及應用思維提示證明三點共線問題，可用向量共線來解決．平面內任意三個不共線的向量中的任何一個向量都可以表示為其余兩個向量的線性組合，且形式唯一題型四平面向量的坐標運算思維提示①向量的坐標運算法則②已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則x1y2＝x2y1例4平面期內給感定三堤個向悔量a＝(3池,2捎)，b＝(－1,桐2)，c＝(4端,1概)，回謎答下鑼列問毒題：(1休)求3a＋b－2c；(2坑)求滿富足a＝mb＋nc的實裁數(shù)m，n；(3站)若(a＋kc)∥(2b－a)，求家實數(shù)k；(4盟)若d＝(x，y)滿足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.[分析](1趁)直接糧用向業(yè)量加獨減法邪的坐淚標運要算公巾式．(2券)借助裁于向鴿量相閉等的努條件甜，建屠立關燙于m，n的方耍程組莖．(3咬)利用憲向量殖共線遲的充紐奉要條首件，瞎建立軋關于誦實數(shù)k的充臟要條媽件．(4丸)利用(d－c)∥(a＋b)及|d－c|＝1建立秤關于x，y的方尾程組幟．[規(guī)律跑總結]向量可的坐梳標表鄙示實脈際上希就是震向量齒的代汗數(shù)表偉示．稿在引諒入向陶量的切坐標唱表示堆后，督可以然使向哈量的儉運算光完全扶化為掉代數(shù)摸運算再．這認樣就打可以鉤將“形”和“數(shù)”緊密徑結合絲式在一祝起．課因此斬，很帖多幾湖何問氧題，稿特別字是像僵共線杜、共講點等枝較難勤問題踐的證舟明，恒通過啟建立星坐標劃系，腔設出守點的得坐標齊就可失轉化蔬為坐償標運倉算來某解決凳．如令：要浪證平準行，島只需僚相關鞋向量姥共線蹤蝶；要仗證垂蟲直，胡只需理相關暈向量罵數(shù)量肺積等嗽于0.備選訂例題4已知霸向量a＝(－3,垂2)，b＝(2張,1語)，c＝(3，－1)，t∈R.(1糖)求|a＋tb|的最側小值膽及相吼應的t值；(2甲