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第五章留數(shù)§1孤立奇點(diǎn)§2留數(shù)§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1§1孤立奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)2.極點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系5.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)2在第二章曾定義函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn)。如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某個(gè)去心鄰內(nèi)處處解析,則z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。函數(shù)的奇點(diǎn)都是孤立的。例如都以z=0為孤立奇點(diǎn)。但不能認(rèn)為的一個(gè)奇點(diǎn),此外當(dāng)n的絕對(duì)值逐漸增大時(shí),可任意接近z=0。域例如函數(shù),z=0是它也是它的奇點(diǎn)。3換句話(huà)說(shuō),在z=0的不論怎樣小的去心領(lǐng)域內(nèi)總有f(z)的奇點(diǎn)存在。所以z=0不是孤立奇點(diǎn)。把函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。根據(jù)展開(kāi)式的不同情況對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行如果在洛朗級(jí)數(shù)中不含點(diǎn)z0稱(chēng)為f(z)的可去奇點(diǎn)。這時(shí),f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級(jí)數(shù):的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇1.可去奇點(diǎn)如下分類(lèi)。4因此,這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且時(shí),F(z)=f(z);當(dāng)z=z0時(shí),F(z0)=c0。由于當(dāng)從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個(gè)原因,所以z0稱(chēng)為可去奇點(diǎn)。所以不論f(z)原來(lái)在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域內(nèi)就有5例如,z=0是的可去奇點(diǎn),因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)在z=0的去心領(lǐng)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中不含負(fù)冪項(xiàng)。如果約定在z=0的值為1(即c0),則在z=0就成為解析的了。62.極點(diǎn)其中如果在洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)其中關(guān)于,即則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。上式也可寫(xiě)成的負(fù)冪項(xiàng),且的最高冪為在內(nèi)是解析的函數(shù),且。7反過(guò)來(lái),當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時(shí),則z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(5.1.1)式,就有例如,對(duì)有理分式函數(shù)它的三級(jí)極點(diǎn),是它的一級(jí)極點(diǎn)?;?qū)懽?z=1是83.本性奇點(diǎn)中含有無(wú)窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)。如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為f(z)的本性奇點(diǎn)。的負(fù)冪項(xiàng),則例如,函數(shù)以z=0為它的本性奇點(diǎn)。因?yàn)樵诩?jí)數(shù)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):9在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)任意給定的復(fù)數(shù)A,總可以找到一個(gè)趨向于z0的數(shù)列,當(dāng)z沿這個(gè)數(shù)列趨向于z0時(shí),f(z)的值趨向于A(yíng)。。則由,可得,顯然,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)z沿趨向于i。而趨向于零時(shí),f(z)的值例如,給定復(fù)數(shù)A=i,可把它寫(xiě)成10存在且有限;如果z0為f(z)的極點(diǎn),則如果z0為f(z)的本性奇點(diǎn),則不存在且不為反過(guò)來(lái)結(jié)論也成立。這就是說(shuō),可以利用上述極限的;。不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型。綜上所述,如果z0為f(z)的可去奇點(diǎn),則114.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成其中f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。例如當(dāng)級(jí)零點(diǎn),根據(jù)這個(gè)定義,可以得到以下結(jié)論:若f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要在z0解析且,m為某一正整數(shù),則z0稱(chēng)為時(shí),z=0與z=1是它的一級(jí)與三條件是12事實(shí)上,如果z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn),那么f(z)可表成如下形式:其中

,那么f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式為設(shè)在z0的泰勒展開(kāi)式為13易證z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是前m項(xiàng)系數(shù)從而知z=1是f(z)的一級(jí)零點(diǎn)。如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn),由于f'(1)=3z2|z=1=30,,這等價(jià)于14順便指出,由于在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即的鄰域內(nèi)不為零。這是因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的零點(diǎn)是孤立的。,必存在,由此得時(shí),有在z0解析且因而它在z0在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定,當(dāng)所以不恒為零,只在z0等于零。也就是說(shuō),一個(gè)不恒為零的15定理如果z0是f(z)的m級(jí)極某點(diǎn),候則z0就是的m級(jí)[證]如果z0是f(z)的m級(jí)極寫(xiě)點(diǎn),啦則有零點(diǎn)尊,反銀過(guò)來(lái)關(guān)也成程立。其中g(shù)(z)在z0解析窗,且m級(jí)極犯點(diǎn),香則有。所晚以當(dāng)時(shí),撤有函數(shù)h(z)也在z0解析珍,且。又戒由于16因此點(diǎn)只要微令,則著可得z0是的m級(jí)零捷點(diǎn)。反過(guò)來(lái),如果z0是的m級(jí)零點(diǎn),那么這里在z0解析,且,由此,當(dāng)時(shí),得17而在z0解析,并且,所以z0是f(z)的m級(jí)極由點(diǎn)。這個(gè)薦定理羞為判男斷函役數(shù)的喬極點(diǎn)衰提供沉了一稼個(gè)較隆為簡(jiǎn)捐單的方聚法。18例1函數(shù)有些乏什么吸奇點(diǎn)宋?如窄果是鳳極點(diǎn)姨,指前出它的啟級(jí)。[解]函數(shù)1/吩si知nz的奇構(gòu)點(diǎn)顯以然是盜使si挺nz=0的點(diǎn)鑼。這夠些奇點(diǎn)計(jì)是。因仁為從si懸nz=0得或。顯然它們是孤,從而有,所以立奇汪點(diǎn)。語(yǔ)由于所以都是sinz的一級(jí)零點(diǎn),也就是sinz的一級(jí)極點(diǎn)。19注意斑:在殺求函牲數(shù)的得孤立勁奇點(diǎn)導(dǎo)時(shí),須不能章一看蜓函數(shù)桿表面極點(diǎn)姜,其呀實(shí)是際一級(jí)標(biāo)極點(diǎn)瓜。因據(jù)為其中的z=0解析,并且.類(lèi)似地,z=0是的2級(jí)極解點(diǎn)而憂(yōu)不是3級(jí)極忽點(diǎn)。形式急于作結(jié)論。像函數(shù),初看似乎z=0是它的2級(jí)20例下列茫函數(shù)癢有些綢什么填奇點(diǎn)秩?如嶼果是疑極點(diǎn)咐,指啟出它的演級(jí)。[解](1娘)顯然是三嫂級(jí)極草點(diǎn),是二界級(jí)極禾點(diǎn)。所以是可劫去奇蠅點(diǎn)。21例下列卷函數(shù)濫有些宣什么漆奇點(diǎn)菜?如宰果是零極點(diǎn)賣(mài),指距出它的雄級(jí)。[解](3確)顯然是函舊數(shù)的行奇點(diǎn)婆。所以是六森級(jí)極協(xié)點(diǎn)。又225.函數(shù)豈在無(wú)某窮遠(yuǎn)界點(diǎn)的今性態(tài)如果棒函數(shù)f(z)在無(wú)袋窮遠(yuǎn)淘點(diǎn)z=的去答心鄰臟域R<|z|<勺內(nèi)解河析,稈稱(chēng)點(diǎn)為f(z)的孤綿立奇規(guī)點(diǎn)。作鍬變換規(guī)定劈燕這個(gè)煉變換羽把擴(kuò)望充z平面董上的要無(wú)窮早遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)充t平面怒上的貝點(diǎn),并皆且映射遙成,則進(jìn)擴(kuò)充z平面趁上每喬一個(gè)萬(wàn)向無(wú)叼窮到現(xiàn)認(rèn)在為楊止,踩討論救函數(shù)f(z)的解系析性扶和它俯的孤痕立奇點(diǎn)嘗時(shí),稻都設(shè)z為復(fù)膠平面必內(nèi)的膜有限疼遠(yuǎn)點(diǎn)敢。至錯(cuò)于函耍數(shù)在獲無(wú)窮遠(yuǎn)固點(diǎn)的禽性態(tài)惜,尚捧未提摸及。憶現(xiàn)在若在擴(kuò)岡充復(fù)抹平面悟上對(duì)合此加以興討論矮。23與擴(kuò)悠充t平面辨上向妖零收猴斂的堵序列對(duì)物應(yīng)。浮反過(guò)枕來(lái)也簡(jiǎn)是這拿樣。無(wú)窮遞遠(yuǎn)點(diǎn)鋤收斂姿的序柔列相對(duì)撓應(yīng)。伸反過(guò)尚來(lái)也是這形樣。同時(shí)食,把擴(kuò)孕充z平面侮上的去語(yǔ)心領(lǐng)訂域映射領(lǐng)成擴(kuò)吵充t平面鑰上原修點(diǎn)的怪去心熟領(lǐng)域,又這樣有,可食把在推去心狗領(lǐng)域?qū)(z)的研絞究化糟為在內(nèi)對(duì)的研員究。脂顯然在內(nèi)解娃析,24所以z=0是的孤每立奇引點(diǎn)。規(guī)定略,如掀果t=景0是本性墓奇點(diǎn)胖,則芒稱(chēng)點(diǎn)z=是f(z)的可賽去奇曲點(diǎn),m級(jí)極半點(diǎn)或本傾性奇槳點(diǎn)。曉由于f(z)在R<|z|<羞+內(nèi)解疲析,帶所以閣在此圓環(huán)貢域內(nèi)針可以濱展開(kāi)做成洛技朗級(jí)訴數(shù),即有的可倍去奇融點(diǎn),m級(jí)極嫁點(diǎn)或其中C為R<|z|<知+內(nèi)繞原當(dāng)點(diǎn)任油何一探條簡(jiǎn)材單正喂向閉愚曲線(xiàn)染。25如果深在上掩面級(jí)律數(shù)中因此未,在圓針環(huán)域內(nèi)的呈洛朗安級(jí)數(shù)鬧可由農(nóng)得到上寺式得鴿到為為最扇高冪,i)可去炭奇點(diǎn),則t=聾0是ii殲i)含有哀無(wú)窮覆多的抄負(fù)冪骨項(xiàng),ii仔)含有舍有限版多的熔負(fù)冪船項(xiàng),且i)不含吵負(fù)冪享項(xiàng),的ii杏)m級(jí)極稿點(diǎn),ii推i)本性蓄奇點(diǎn)獵。26因此鋪,根桐據(jù)前瓦面的堆規(guī)定增,有趣:i)不含偵正冪婦項(xiàng);ii陰)含有喂限多被的正幟冪項(xiàng),且zm為最苗高冪毒;ii剪i)含有躁無(wú)窮嚴(yán)多的臥正冪蹤蝶項(xiàng);則z=是f(z)的i)可去神奇點(diǎn)憲;ii欠)m級(jí)極餐點(diǎn);ii遮i)本性籮奇點(diǎn)龜。如果揭在級(jí)姜數(shù)中饅,這樣趨一來(lái)遷,對(duì)蘋(píng)于無(wú)查窮遠(yuǎn)沖點(diǎn)來(lái)些說(shuō),勉它的肢特性童與其雜洛朗級(jí)數(shù)法之間磨的關(guān)昨系就棄跟有廚限遠(yuǎn)籍點(diǎn)的莫情形縫一樣揪,不益過(guò)只求是把正冪縫項(xiàng)與凳負(fù)冪觸項(xiàng)的孟作用諷互相紐奉對(duì)調(diào)宅就是縮慧了。27例下列轟函數(shù)揀中,炎∞的傻奇點(diǎn)渠類(lèi)型同。[解](1兼)顯然是二詢(xún)級(jí)極規(guī)點(diǎn),次所以是二姿級(jí)極脾點(diǎn)。當(dāng)z=∞,令,則28例下列帶函數(shù)忍中,鼓∞的罵奇點(diǎn)芬類(lèi)型丈。[解]所以是本賢性奇豈點(diǎn)。29例下列善函數(shù)末中,趕∞的箱奇點(diǎn)強(qiáng)類(lèi)型或。[解](3智)所以是本抽性奇率點(diǎn)。當(dāng)z=∞,令,則30由前隱面分染析又崗知道眉,要順確定t=雖0是不炊是去奇挨點(diǎn),販極點(diǎn)及或本著性奇筑點(diǎn),賞可以膏不必懷把展開(kāi)錫成洛值),為缺無(wú)窮舍大或渴即不輝存在岸又不縱為無(wú)冷窮大故數(shù)就擁可以討了。,對(duì)靈于無(wú)故窮遠(yuǎn)慨點(diǎn)也嘉有同殘樣的條確定證方法梁,即z=是f(z)的可伸去奇諸點(diǎn),極點(diǎn)墳或本畫(huà)性奇點(diǎn),完全挽看是否將存在(有限蒼值),為肺無(wú)窮洽大或熟即不叔存在的可朗級(jí)襲數(shù)來(lái)窩考慮跑,只勤要分含別看衡極限是否閉存在(有限又不猾是無(wú)滿(mǎn)窮大橫來(lái)決滿(mǎn)定。由于極限31的,躺只要躺取當(dāng)z=是f(z)的可育去奇寺點(diǎn),可以罰認(rèn)為f(z)在少是解光析例如木函數(shù)在圓能環(huán)域內(nèi)可唯展開(kāi)螞成它不望含正爹冪項(xiàng),所以陸夫是f(z)的可撇去奇招點(diǎn)。奸若扣取f(居)=叨1,則f(z)在慎皮解析猶。。32又如向函數(shù)項(xiàng),致所以專(zhuān)為茫它的拒一級(jí)計(jì)極點(diǎn)余。含有造無(wú)窮盟多的胞正冪世項(xiàng),賴(lài)所以是它朝的本澆性奇艷點(diǎn)。,含嶼有正熊冪項(xiàng)當(dāng),且z為最題高正下冪函數(shù)si綁nz的展速開(kāi)式且:33-1是f(z)的2級(jí)極泉點(diǎn)。例2函數(shù)類(lèi)型誕的奇字點(diǎn)?威如果雖是極僑點(diǎn),吧指出臥它的拐級(jí)。以1與-1為一級(jí)零點(diǎn),所以1與因[解]易知,函數(shù)f(z)除使分母為零的點(diǎn)外,在內(nèi)解析。零點(diǎn)農(nóng)。所哭以這露些點(diǎn)霸中除卵去1,平-緊1,絲式2外都恢是f(z)的三費(fèi)級(jí)極責(zé)點(diǎn)。在擴(kuò)坡充平容面內(nèi)造有些跑什么在由于處均不為零,因的一級(jí)零點(diǎn),從而是此這些點(diǎn)都是的三級(jí)34所以z=2是f(z)的可浪去奇處點(diǎn)。關(guān)于,因?yàn)橹劣趜=2,因腿為使分母為零,當(dāng)n=1時(shí),可知,即z=1;35當(dāng)n=2時(shí),,即z=2。這兩點(diǎn)上面已經(jīng)討也就是不是f(z)的孤立奇點(diǎn)。為論過(guò)。所以當(dāng)n>2時(shí),的極點(diǎn)。顯見(jiàn)當(dāng)。所以不是時(shí),的孤立奇點(diǎn),36例判定z=∞是下掩列函為數(shù)的屈什么緒奇點(diǎn)濟(jì)?[解](1梨)所以是可曲去奇賓點(diǎn)。所以是本暑性奇所點(diǎn)。所以是可劣去奇杜點(diǎn)。37§2留數(shù)1.留數(shù)磚的定揭義及遷留數(shù)帖定理2.留數(shù)著的計(jì)挖算規(guī)濤則3.在無(wú)嫁窮遠(yuǎn)敬點(diǎn)的享留數(shù)381.留數(shù)干的定邪義及濫留數(shù)賣(mài)定理但是,如果z0為f(z)的一苗個(gè)孤賴(lài)立奇認(rèn)點(diǎn),則沿障在z0的某一般雹就不績(jī)等于渾零。如果楊函數(shù)f(z)在z0的鄰盡域內(nèi)微解析,那末肆根據(jù)順柯西投-古薩培基本兩定理個(gè)去心幅鄰域其中C為z0領(lǐng)域牌內(nèi)任但意一半條簡(jiǎn)紙單閉良曲線(xiàn)沿。內(nèi)包江含z0的任怪意一擠條正蠶向簡(jiǎn)單閉濫曲線(xiàn)C的積稻分39因此呆將f(z)在此畏鄰域漢內(nèi)展展開(kāi)為哲洛朗偏級(jí)數(shù)其中c-1就稱(chēng)釣為f(z)的留數(shù),也就派是上啄面積組分兩劇邊除性以后,龍兩端佛沿C逐項(xiàng)糕積分,右端濤各項(xiàng)史積分山除留鈔下的一辮項(xiàng)等脊于外,其余招各項(xiàng)蟻積分晚都等界于零,所以后所妻得的際數(shù)稱(chēng)文為f(z)在z0的留數(shù),記作Re專(zhuān)s[f(z),z0],即40即從而箏有也就線(xiàn)是說(shuō)且,f(z)在z0的留的數(shù)就派是f(z)在以z0為中足心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)。41定理耳一(留數(shù)稱(chēng)定理)設(shè)函孝數(shù)f(z)在區(qū)枕域D內(nèi)除診有限仰個(gè)Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立群奇點(diǎn)z1,z2,.求..咱,zn外處幕處解芬析。C是D內(nèi)包券圍諸遙奇點(diǎn)謀的一條壞正向獅簡(jiǎn)單溝閉曲攀線(xiàn),則關(guān)于償留數(shù)佩,有者下面絕的基獨(dú)本定巷理(k=1薄,2帆,.押..劍,n)用互茶不包蘭含的鞏正向[證]把在C內(nèi)的狀孤立結(jié)奇點(diǎn)zk簡(jiǎn)單撐閉曲抹線(xiàn)Ck圍繞丑起來(lái),則根定據(jù)復(fù)泊合閉起路定殘理有42即利用敵這個(gè)份定理刻,求閥沿封宇閉曲晶線(xiàn)C的積遲分,封就轉(zhuǎn)疑化為求猜被積麻函數(shù)歪在C中的蔽各孤補(bǔ)立奇怕點(diǎn)處蓬的留稿數(shù)。礎(chǔ)由此倡可見(jiàn),蔥留數(shù)即定理劫的效期用有圈賴(lài)于頌如何勞能有桑效地臂求出射是f(z)以除等躬式兩西邊,美得43在孤市立奇拘點(diǎn)處z0處的尊留數(shù)膝。一與般說(shuō)劈燕來(lái),求函攔數(shù)在匯奇點(diǎn)z0處的使留數(shù)僵即求憐它在游以z0為中印心的傲圓環(huán)融域內(nèi)亂洛朗蕩級(jí)數(shù)詞中對(duì)求億留數(shù)顆可能裁更有疼利。妥如果z0是f(z)的可嫁去奇且點(diǎn),則Re劍s[f(z),z0]=程0,因?yàn)槊舜藭r(shí)f(z)在z0的展趙開(kāi)式炭是泰趕勒展開(kāi)式表。如攜果z0是本興性奇鹽點(diǎn),則沒(méi)雙有太電好的摟辦法,只好將其曾按洛早朗級(jí)席數(shù)展醉開(kāi)。新如果z0是極木點(diǎn),則有算一些柔對(duì)求項(xiàng)的系數(shù)即可。但如果知道奇點(diǎn)的類(lèi)型,c-1有用姨的規(guī)研則。442.留數(shù)如的計(jì)顏算規(guī)桐則規(guī)則II如果z0為f(z胡)的m級(jí)極負(fù)點(diǎn),則規(guī)則I如果z0為f(z梢)的一礎(chǔ)級(jí)極嗽點(diǎn),則事實(shí)孟上,由于以乘上式的兩端,得45令兩解端zz0,右端夸的極范限是(m-1城)!c-1,兩端警除以(m-1但)!就是Re靜s[f(z),z0],因此臂即得組規(guī)則II態(tài),當(dāng)m=1時(shí)就奪是規(guī)饅則I。兩邊設(shè)求m-1階導(dǎo)陡數(shù),輔得規(guī)則II伶I設(shè),P(z)及Q(z)在z0都解司析,則z0為f(z)的一辭級(jí)極點(diǎn),舒而如果46事實(shí)倒上,宜因?yàn)榧?,所沙以為Q(z)的一級(jí)停零點(diǎn)茅,從旁而z0為的一干級(jí)極可點(diǎn)。糕因此其中在z0解析叔,且。故z0為f(z)的一殘級(jí)極趙點(diǎn)。由此木得其中在z0解析環(huán),47例1計(jì)算綱積分,C為正君向圓殊周|z|=坑2。[解]由于有兩殲個(gè)一壓級(jí)極舌點(diǎn)而這垂兩個(gè)陶極點(diǎn)圣都在死圓周|z|=會(huì)2內(nèi),巨所以由規(guī)鉆則I,得而根據(jù)廈規(guī)則I,令,即應(yīng)得規(guī)言則II熱I。所以48因此我們沒(méi)也可份以用鵲規(guī)則II春I來(lái)求承留數(shù):這比量用規(guī)喝則1要簡(jiǎn)紛單些.49例求下稈各函急數(shù)f(z)在有裝限奇沖點(diǎn)處局的留松數(shù):[解]嶺(傍1)有兩姿個(gè)一北級(jí)極病點(diǎn)方法顆一由規(guī)差則I,得50例求下扎各函共數(shù)f(z)在有拒限奇垃點(diǎn)處零的留盈數(shù):[解]兇(聲1)有兩府個(gè)一花級(jí)極救點(diǎn)方法茅二由規(guī)毅則II緊I,得51例求下男各函遙數(shù)f(z)在有好限奇洽點(diǎn)處牧的留劫數(shù):[解]頌(柜2)的極烈點(diǎn)為(一)為一臭級(jí)極艘點(diǎn)。所以52例求下苗各函智數(shù)f(z)在有唐限奇鼠點(diǎn)處隊(duì)的留唐數(shù):[解]娛(農(nóng)2)的極疫點(diǎn)為(二)的一癢級(jí)極胃點(diǎn),是從而是的二燈級(jí)極騎點(diǎn),拾所以53例求下性各函輸數(shù)f(z)在有災(zāi)限奇嗓點(diǎn)處劉的留該數(shù):[解]哥(伍3)有一客個(gè)n+1級(jí)極寬點(diǎn)方法謹(jǐn)一由規(guī)鮮則II種,得54例求下臉各函乘數(shù)f(z)在有降限奇朽點(diǎn)處伏的留低數(shù):[解]底(板3)方法錫二將函久數(shù)在上展稿開(kāi)成教洛朗有級(jí)數(shù)芳,即所以有一資個(gè)n+1級(jí)極筐點(diǎn)55例求下捆各函牌數(shù)f(z)在有坑限奇葉點(diǎn)處瓜的留嬸數(shù):[解]享(煎4)方法殺一將函半數(shù)在上展爆開(kāi)成胡洛朗啦級(jí)數(shù)壓,所以有一百個(gè)5級(jí)極怪點(diǎn)56例求下妥各函鋤數(shù)f(z)在有編限奇忌點(diǎn)處您的留零數(shù):[解]蹄(節(jié)4)方法矮二由規(guī)煌則II,取m比實(shí)維際級(jí)鈔數(shù)高衣,即m=5,有有一好個(gè)5級(jí)極掛點(diǎn)57例2計(jì)算極積分,C為正豈向圓屈周|z|=么2。[解]被積灰函數(shù)有四肯個(gè)一暗級(jí)極事點(diǎn)都在日?qǐng)A周|z|=讀2內(nèi),倦所以由規(guī)嘩則II之I,,故58例3計(jì)算礎(chǔ)積分,C為正捆向圓修周|z|=燒2。[解]z=0為被叢積函助數(shù)的鉛一級(jí)異極點(diǎn),z=1為二萍級(jí)極轟點(diǎn),而所以59級(jí)數(shù)瘦。由著于在z=0處的閣留數(shù)矩。為盲了要賀用公尚式,感先應(yīng)述定出義極點(diǎn)z=0的以上篇介紹舞了求瞇極點(diǎn)興處留釣數(shù)的感若干喇公式查。用宅這些轟公式解帝題有搭時(shí)雖影感方監(jiān)便,尼但也徒未必諒盡然借。例疼如欲紋求函升數(shù)因此z=0是z-si漿nz的三禾級(jí)零示點(diǎn),往從而合由f(z)的表紀(jì)達(dá)式財(cái)知,z=0是f(z)的三脊級(jí)極婚點(diǎn)。宇應(yīng)用括規(guī)則II,得60就比有較方修便。弓因?yàn)槿绻屠脤?xiě)洛朗市展開(kāi)蛇式求由此社可見(jiàn)械,往庭下的跳運(yùn)算亮既要醒先對(duì)譜一個(gè)葬分式帶函數(shù)判求二凈階函數(shù)鏟,然睜后又讀要對(duì)眼求導(dǎo)估結(jié)果欺求極憲限,查這就存十分伏繁雜膀。61所以可見(jiàn)深解題感的關(guān)牙鍵在擱于根浩據(jù)具來(lái)體問(wèn)蒼題靈斯活選栗擇方蘭法,立不要拘邪泥于涌套用彈公式療。623.在無(wú)建窮遠(yuǎn)墾點(diǎn)的剝留數(shù)的值攔與C無(wú)關(guān),稱(chēng)其棒為f(z)在點(diǎn)寺的留配數(shù),記作積分角路線(xiàn)豆的方捧向是接負(fù)的晃,也蛙就是拿順時(shí)獨(dú)針?lè)交ㄏ?。繞原紗點(diǎn)的婦任何浪一條恐簡(jiǎn)單題閉曲松線(xiàn),則積遲分設(shè)函壁數(shù)f(z)在圓祝環(huán)域R<|z|<偷+內(nèi)解井析,C為圓榮環(huán)域普內(nèi)從第鄙一節(jié)艇可知彈,當(dāng)n=-漁1時(shí),無(wú)有63因此戰(zhàn),由(5派.2芝.7拴)可得這就館是說(shuō)絨,f(z)在點(diǎn)的后留數(shù)播等于微它在點(diǎn)的逃去心耳領(lǐng)域R<|z|<戶(hù)+內(nèi)洛赤朗展里開(kāi)式灑中z-1的系田數(shù)變礎(chǔ)號(hào)。定理虧二如果望函數(shù)f(z)在擴(kuò)妙充復(fù)盤(pán)平面弦內(nèi)只叮有有團(tuán)限個(gè)孤綱立奇?zhèn)潼c(diǎn),那末f(z)在所新有各拆奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留財(cái)數(shù)總和必等月于零賽。下面到的定典理在彎計(jì)算其留數(shù)銷(xiāo)時(shí)是瘦很有恢用的概。64[證]除什點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有抓限個(gè)呀奇點(diǎn)晌為zk(k=1貼,2膚,.自..艱,n)。又設(shè)C為一旗條繞引原點(diǎn)戴的并呈將zk(k=1抄,2富,.晨..白,n)包含共在它隸內(nèi)部的正歌向簡(jiǎn)嚷單閉胖曲線(xiàn),則根巡壽據(jù)留雞數(shù)定梨理與闊在無(wú)畢窮遠(yuǎn)恭點(diǎn)的冤留數(shù)定魚(yú)義,有規(guī)則IV關(guān)于葬在無(wú)護(hù)窮遠(yuǎn)世點(diǎn)的骨留數(shù)膀計(jì)算弊,有豪以下鋤的規(guī)血?jiǎng)t:65,那狂末事實(shí)檔上,甜在無(wú)燃窮遠(yuǎn)粗點(diǎn)的妖留數(shù)愚定義飼中,丟取正目向簡(jiǎn)秩單閉曲狡線(xiàn)C為半貪徑足趟夠大腹的正泊向圓次周:。令,,于禁是有為正風(fēng)向)。并設(shè)66所以彈規(guī)則IV成立曠。由于f(z)在內(nèi)解毯析,從而內(nèi)解細(xì)析,佩因此在外沒(méi)權(quán)有其思他奇點(diǎn)孔。由愧留數(shù)享定理乳,得定理?xiàng)椂c孝規(guī)則IV為提輛供了竭計(jì)算萄函數(shù)尾沿閉腿曲線(xiàn)挖積分在內(nèi)除的又冒一種伍方法罩,在綢很多黃情況詳下,晌它比聚利用訊上一季段中繩的方法談更簡(jiǎn)進(jìn)便。67例求函讓數(shù)在∞悶點(diǎn)的畝留數(shù)艦。[解]由而故的項(xiàng)點(diǎn)系數(shù)皮為68例求函漿數(shù)在∞鐮點(diǎn)的保留數(shù)衫。[解]而故在有連限點(diǎn)連處有謝一級(jí)歷極點(diǎn)叢:69例求函買(mǎi)數(shù)在∞虛點(diǎn)奇都點(diǎn)類(lèi)演型和這留數(shù)鑼?zhuān)縖解]由故z=∞是的本些性奇研點(diǎn),70例4計(jì)算棕積分,C為正單向圓夫周:|z|=輕2。[解]在|z|=模2的外巖部除敗外坑無(wú)奇獸點(diǎn),腔因此又根據(jù)槽定理璃二與炕規(guī)則IV,因此71例5計(jì)算,C為正太向圓芹周:|z|=錯(cuò)2。[解]被積貸函數(shù)廣除足外還托有奇泛點(diǎn):局-i,1與3。由定理轎二,羞有其中由于覽-i與1在C的內(nèi)編部,李所以沖從上曲式、繁留數(shù)口定理與規(guī)織則IV得到72如果略用上爽一段捧的方閥法,詢(xún)由于海-i是10級(jí)極同點(diǎn),赴并且在C的內(nèi)淡部,系因而聲計(jì)算忌必然筐很繁片瑣。73例利用恢留數(shù)挑計(jì)算晌積分可:[解]函數(shù)期在|z|=祥2的外祥部除概外禮無(wú)奇陷點(diǎn),份因此姨在又內(nèi)把廈被積稱(chēng)函數(shù)預(yù)展開(kāi)叼成洛崗朗級(jí)衡數(shù),輸有74例利用母留數(shù)魂計(jì)算掉積分桂:[解]所以所以75例利用形留數(shù)俘計(jì)算調(diào)積分默:[解]函數(shù)織在|z|=魂2的外蔽部除繁外曾無(wú)奇庫(kù)點(diǎn),喝因此腿根據(jù)又定理帽二與敬規(guī)則IV,則76例利用挽留數(shù)旋計(jì)算肥積分電:[解]所以所以77§3留數(shù)費(fèi)在定智積分堤計(jì)算斗上的施應(yīng)用1.形如2.形如3.形如的積芽分的積帖分的積己分78根據(jù)羨留數(shù)加定理牲,用鋤留數(shù)費(fèi)來(lái)計(jì)緞算定凍積分瞞是計(jì)宵算定埋積分顯得抖有用勻。即況使尋輛常的眉方法脫可用滾,如郵果用廟留數(shù)艱,也名往往首先示,被懂積函暖數(shù)必城須要帝與某業(yè)個(gè)解秩析函短數(shù)密漆切相斑關(guān)。茫這一的一喚個(gè)有染效措虎施,民特別兄是當(dāng)五被積珠的原往函數(shù)理不易骨求得讀時(shí)更感到筐很方冷便。蕉當(dāng)然絮這個(gè)毯方法艙的使乓用還倚受到誕很大許的限淡制。點(diǎn),注一般用講來(lái)刷,關(guān)緣瑞系不釘大,窩因?yàn)橹Ρ环e木函數(shù)煎常常嶺是初道等函數(shù),密而初舒等函支數(shù)是枕可以?huà)茝V漫到復(fù)嘩數(shù)域炮中去發(fā)的。鼻其次決,定積盜分的竊積分捕域是帥區(qū)間雹,而冊(cè)用留路數(shù)來(lái)艇計(jì)算唯要牽谷涉到毒把問(wèn)題運(yùn)化為佳沿閉忽曲線(xiàn)拾的積辱分。仁這是農(nóng)比較擁困難權(quán)的一蛋點(diǎn)。白下面來(lái)闡擦述怎杏樣利蛇用復(fù)芳數(shù)求敬某幾粥種特鹽殊形扮式的熟定積鬼分的怪值。79其中從而奪積分康化為抄沿正言向單凳位圓喂周的倍積分1.形如的積分,為與的有沿理函遠(yuǎn)數(shù)。汁令,則80其中f(z)是z的有祥理函頃數(shù),且在味單位絕圓周|z|=卷1上分勇母不換為其中zk(k=1穴,2著,.麗..伶,n)為單泥位圓|z|=恩1內(nèi)的f(z)的孤葬立奇雕點(diǎn)。零,根據(jù)廈留數(shù)毅定理途,得犬所求仰的積珍分值亂:81[解]由于0<p<1爛,被積翁函數(shù)陵的分偵母在內(nèi)不越為零,因而植積分世是有驕意義拆的。準(zhǔn)由于因此的值。例1計(jì)算82在被先積函退數(shù)的翻三個(gè)泳極點(diǎn)z=喚0,p,脊1惹/p中只詠有前叉兩個(gè)振在圓周|z|=暴1內(nèi)其腔中,z=0為二獸級(jí)極喚點(diǎn),z=p為一阿級(jí)極暮點(diǎn)。所以蜻在圓刮周|z|=苦1上被過(guò)積函莊數(shù)無(wú)連奇點(diǎn)輛。則83因此84[解]設(shè)代入惱得的值蛇。例計(jì)算,將被積膛函數(shù)騰在被舒積區(qū)捏域內(nèi)營(yíng)只有押一個(gè)西一級(jí)扇極點(diǎn)又所以85為一閃已約域分式劈燕。當(dāng)被恥積函幟數(shù)R(x)是x的有凈理函董數(shù),而分盤(pán)母的備次數(shù)筑至少比分然子的怪次數(shù)帝高二刮次,且R(z)在實(shí)瞧軸上酬沒(méi)有伯孤立發(fā)奇點(diǎn)剃時(shí),積分劈燕是存慕在的崗。不歲失一拍般性菊,設(shè)積分2.形如86取積底分路畜線(xiàn)如榆圖所孕示,其中CR是以必原點(diǎn)傾為中鄉(xiāng)豐心,R為半z1z2z3yCR-RROx徑的萬(wàn)在上況半平謠面的藏半圓罩周。跟取R適當(dāng)存大,使R(z)所有淘的在上課半平蓋面內(nèi)典的極首點(diǎn)zk都包坊在這塌積分買(mǎi)路線(xiàn)盼內(nèi)。翅由留眼數(shù)定理虜,得87此等貢式不系因CR的半扛徑R不斷濃增大摘而有客所改爪變。因?yàn)槎?dāng)|z|充分鄭大時(shí)抽,總還可使88由于,故有因此腰,在浮半徑R充分測(cè)大的CR上,曾有如果R(x)為偶議函數(shù)希,所以89的一草級(jí)極暑點(diǎn)為例2計(jì)算巧積分的值.[解]這里,并們且實(shí)讓軸上R(z)沒(méi)有孤立廟奇點(diǎn)確,因煮此積搜分是賺存在番的。會(huì)函數(shù),其遭中ai與bi在上突半平劇面內(nèi)層。由致于90所以91在上究半平吧面有插二級(jí)輛極點(diǎn)哥為例計(jì)算白積分的值.[解]這里,并滿(mǎn)且實(shí)黎軸上R(z)沒(méi)有孤立漢奇點(diǎn)頌,因訂此積餃分是袍存在按的。楊函數(shù)92在上裂半平捐面有邪二級(jí)服極點(diǎn)敵為例計(jì)算厭積分的值.[解]這里,并咱且實(shí)面軸上R(z)沒(méi)有孤立比奇點(diǎn)喝,因睛此積卡分是恰存在瘡的。陽(yáng)函數(shù),一掙級(jí)極丙點(diǎn)為93例計(jì)算例積分的值.[解]94當(dāng)R(x)是x的有宅理函帳數(shù)而漫分母伍的次爭(zhēng)數(shù)至規(guī)少比草分子炊的次數(shù)芳高一曲次,且R(z)在實(shí)深數(shù)軸匆上沒(méi)僑有奇堵點(diǎn)時(shí),積分但是存3.形如的積分在的炸象2中處承理的婦一樣,由于m-n1毫,故對(duì)受充分塘大的|z|有因此,在半香徑R充分掠大的CR上,有95上面聲用到葵不等泉式于是券得或yOx96在上險(xiǎn)半平鎮(zhèn)面內(nèi)逆有一砍級(jí)極度點(diǎn)ai,例3計(jì)算的值假。[解]這里。R(z)的實(shí)招軸上血無(wú)孤孤立奇點(diǎn)軍,因伍而所你求的甘積分農(nóng)是存漿在的鳴。因此97因此還可守以利姿用復(fù)搜變函沒(méi)數(shù)計(jì)燈算出戀下列猜積分確值:98在上泄半平晃面內(nèi)遲有一遞級(jí)極漿點(diǎn)z=宰-2+i,例計(jì)算的值察。[解]這里。R(z)的實(shí)淹軸上特?zé)o孤貌立奇點(diǎn)芳,因森而所向求的鉤積分唐是存亭在的飲。99因此例計(jì)算的值耽。[解]10但0在上逼半平先面內(nèi)議有一扁級(jí)極壓點(diǎn)z=襲

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