屆高考數(shù)學考點回歸總復(fù)習《第三十四講基本不等式及其應(yīng)用》課件

第三十四講基本不等式及其應(yīng)用回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個正數(shù)的幾何平均數(shù).3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(當且僅當a=b時,取“=”).均值定理可以敘述為:兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).5.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當x=y時,積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當x=y時,和x+y取得最小值即兩個正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個條件;“一正二定三相等”,即:①各項或各因式為正;②和或積為定值;③各項或各因式都能取得相等的值.考點陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()答案:A答案:C答案:B答案:D類型一 證明不等式解題準備:證明不等式是均值不等式的一個基本應(yīng)用,注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過拆(添)項創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類問題時注意以下幾點:(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項的方法配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3)注意“1”的代換;(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運用.【典例1】證明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求證即可.[證明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.類型二求最值解題準備:1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.2.應(yīng)用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:類型汽三逃利用垃均值股不等播式解斃應(yīng)用走題解題哭準備:均值警不等透式作醋為求桂最值匙的常坡用工老具,經(jīng)常晉在有超關(guān)最蹤蝶優(yōu)解興的實度際問痕題中慚應(yīng)用.應(yīng)用股均值棋不等伍式解懲決實撓際問朵題的炭基本俊步驟觸是:①仔細具閱讀豪題目,透徹玩理解后題意;②分析孕實際她問題叨中的域數(shù)量童關(guān)系,引入侄未知待數(shù),并用俯它表質(zhì)示其遍它的男變量,把要始求最吸值的其變量乘設(shè)為園函數(shù);③應(yīng)用燈均值鉛不等初式求井出函巧數(shù)的露最值;④還原稍實際私問題,作出攝解答.【典例3】某工掩廠擬靠建一飄座平按面圖砌為矩砍形且像面積皂為20命0驅(qū)m2的三掙級污獄水處旱理池(平面妙圖如驕圖所脈示).如果談池四福周圍桿墻建槐造單蝴價為40旦0元/m箭,中間凍兩道菌隔墻己建造扔單價津為24鐘8元/m繩,池底祥建造緒單價末為80元/m2,水池屈所有篇墻的仆厚度床忽略齒不計.(1亮)試設(shè)榮計污餓水處黑理池菌的長搞和寬,使總沿造價搭最低,并求慚出最謊低總霉造價;(2稀)若由虧于地熔形限訊制,該池扇的長廉和寬品都不分能超綁過16搖m宣,試設(shè)沖計污彎水池渴的長文和寬,使總膨造價在最低,并求洲出最冷低總雹造價.[反思閱感悟]不等博式應(yīng)圈用的晚特點板是:(勝1)問題個的背定景是攪人們咸關(guān)心往的社他會熱釣點問啊題,如“糊物價?稅收?銷售?市場滅信息戰(zhàn)”等,題目闖往往所篇幅獅較長.(典2)建立燒函數(shù)質(zhì)模型旨常見看的有環(huán)“正(反)比例久函數(shù)?一次您函數(shù)?二次城函數(shù)?指數(shù)事函數(shù)?對數(shù)和函數(shù)?三角口函數(shù),以及培”等考形式.解函朽數(shù)應(yīng)輝用題兼中的張最值隸問題套一般攔利用臭二次廣函數(shù)小的性蹄質(zhì)或雕基本布不等躬式來虹解決.錯源閣一腐忽濤視等周號成侮立的解條件[剖析]解法懲一和頃解法差二的寄錯誤獅原因深是等江號同止時成直立的坊條件涌不具棄備,因此臣使用獨基本敬不等殼式一撇定要幻玉驗證凱等號火成立鏈的條傻件,只有海等號蹄成立踩時,所求灶出的唐最值蜓才是汗正確棄的.錯源烏二聽忽徹視均盒值不答等式朵應(yīng)用哨條件難致誤[答案](切-∞身,-雪1]電∪[唉3,拋+∞搭)技法扭一疏快速耕解題(三角拜換元)【典例1】已知a、b、c、d∈遺R,脆x、y∈色R+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xy才≥a渠c+煙bd.[快解]聯(lián)想弓到圓披的參歷數(shù)方戰(zhàn)程,設(shè)a=xc縱os惜θ,立b=xs趁in晴θ,閘c=yc田os隨φ,努d=ys返in蜻φ,則ac咸+b部d=xy絞co皂sθ其co會sφ劣+x皂ys洪in笑θs補in捎φ=xy釣co贏s(孩θ-裙φ)編≤x乓y.[另解箱切入犧點]有a2+b2、c2+d2的形猛式出穿現(xiàn),就可猾以用a2+b2≥2早ab待.由于a、b、c、d∈鍛R,故ac飄+b峽d可能萬為正,也可史能為慶負.當ac鬼+b怒d<0時,顯然停不需禽證明,只需凈考慮ac甜+b鐘d>0的情遼況.[證明]證法孩一:當ac翼+b狡d<0時,顯然困有xy化≥a檔c+怨bd成立.當ac露+b郊d≥志0時,x2y2=(濾a2+b2)(玻c2+d2)=品a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2勻ab礙cd溝=(段ac茂+b蚊d)2,即xy焦≥a鼠c+抄bd.證法役二:當ac猛+b茅d<0時,顯然努有xy杠≥a轎c+陽bd成立;當ac旦+b憑d≥播0時,欲證xy散≥a準c+悶bd,只需幸證x2y2≥a2c2+b2d2+2告ab蒙cd灘.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(鍵a2+b2)(籌c2+d2)=拿a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2臺ab齡cd鞋.即x2y2≥a2c2+b2d2+2矮ab疫cd成立,因此,原不婚等式流成立.[方法桿與技圖巧]證法方一與蓋證法蓋二基撇本相椅同,只是弦形式譽不同訪而已.而快丙解聯(lián)良想到娛圓的炎參數(shù)豈方程,進行說三角飯代換,又不棄必考想慮ac勾+b炒d的正慌負問除題,僅注棒意到xy>0、-1蓮≤c罰os捎(θ保-φ員)≤床1就行拖了.[得分慈主要掩步驟]本題帆證明吹步驟耕簡單,但需愈考慮ac勵+b煙d或正漆或負重的兩校種情皺況.若ac宮+b恒d<0屆,則(a狼c+聯(lián)bd漢)2與x2y2的大掠小不盾能確泳定,證題源時需跌注意召此處.[易丟夸分原白因]沒有療考慮稿到ac哪+b顫d≥酬0還是ac執(zhí)+b硬c<0顛.技法侵二躍如何拖解決曾含有松多個楚變量饒的條突件最鬼值問意題求解涌含有爪多個撲變量敲的條頁件最蔬值問憐題,一般填方法訴是利絲式用給講出的筍條件,通過喬代換挪減少堂變量爐的個朗數(shù),將問謎題轉(zhuǎn)狡化為運只含后有一死個變士量的邊函數(shù)主的最浴值問點題進刷行解鋸決.如果劍條件畜等式連中含恢有兩妥個變宰量的莫和與沖積的微形式,可以料直接主利用續(xù)均值井不等屑式對誰兩個才正數(shù)稠的和殺與積訂進行按轉(zhuǎn)化,然后時通過辯解不炮等式殖進行盒求解,或者餅通過錢構(gòu)造熄一元礙二次