最短路徑 市賽獲獎

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題(Ⅰ)兩點在一條直線異側(cè)

問題一、如圖，某天然氣公司分別要向兩個新建住宅小區(qū)提供天然氣，需要在主天然氣管道上修建一個供氣站，問供氣站修在主管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你的做法是什么？為什么？

P解：連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。探索新知思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點之間線段最短.

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B●Al問題2：

隨著房地產(chǎn)的不斷開發(fā)，新建小區(qū)層出不窮，天然氣公司又遇到了新的問題:如圖所示，問供氣站修在主管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你的做法是什么？

并利用你所學(xué)的知識證明你的結(jié)論。小問題1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩個小區(qū)抽象為兩個點，將主管道為一條直線．探索新知B··Al（1）從A點鋪管道到直線l上某一點

，然后鋪到B點；（2）在直線l的點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A點到主管道的點，再回到B點的路程之和；探索新知問題2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′C探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，在△AB′C′中，

AC′+B′C′>AB′，∴AC′+BC′

>AC+BC．即AC+BC最短．問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？(Ⅲ)一點在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小

(Ⅲ)一點在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小