第五章非線性方程及非線性方程組的解法

第五章非線性方程及非線性方程組解法由何滿喜,尚緒鳳制作計算方法計算方法課件5.1對分法5.4弦位法5.3牛頓迭代法5.2迭代法在本章，你將學(xué)到5.1對分法5.2迭代法5.3牛頓迭代法5.4弦位法5.5解非線性方程組的牛頓迭代法5.5解非線性方程組的牛頓迭代法第五章非線性方程及非線性方程組的解法一個非線性方程的根可能是實(shí)數(shù)也可能是復(fù)數(shù)，這里只考慮方程的根為實(shí)數(shù)的情況。第五章5.1對分法設(shè)非線性方程（5.1）第五章5.1對分法若則就是近似值.如此下去，這就是求方程實(shí)根的對分法。第五章5.1對分法（5.4）

圖5.1第五章5.1對分法并利用公式（5.2）和（5.3）繼續(xù)以上過程，

解記

則

第五章5.1對分法第五章5.2迭代法把非線性方程(5.1)改寫成以下等價形式的方程

由此可作迭代公式（5.5）

（5.6）

迭代法的幾何意義如圖5.2所示。這就是非線性方程(5.1)求根的迭代法,并把稱為迭代函數(shù)。第五章5.2迭代法從點(diǎn)出發(fā)，過點(diǎn)做平行于

再過點(diǎn)

該交點(diǎn)的坐標(biāo)為，又過點(diǎn)第五章圖5.25.2迭代法是發(fā)散的第五章5.2迭代法例2解:(1)將原方程化為等價方程由此得迭代公式取，則有第五章5.2迭代法顯然迭代法發(fā)散。(2)如果將原方程化為等價方程則有迭代公式：仍取初值，則有第五章5.2迭代法依此類推得x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果已經(jīng)收斂,故原方程的解為迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)什么形式的迭代函數(shù)能夠收斂呢?第五酸章5.局2迭代法問題廈是方膜程（5.呆1）改瞧寫成?。?.葵5）等蓄價形嶺式的怨方法樣較多蘆，因此絨如何靠改寫誕或如膏何選漠擇迭劫代函城數(shù)才能群由迭恩代公賀式（5.雕6）得患到的舞序列憂收斂寶于？方程畫（5.適1）的堅根第五撿章5.棄2迭代法定理1把非安線性出方程惹（5.赴1）改除寫成依（5.線5）等默價形浩式時刻，若夫迭代休函數(shù)滿足條件背：即對鍵任意潮的都有（5.酸7）常數(shù).（5.播8）若L<1繭,則由躁迭代曠公式哲（5.墳6）得成到的彎序列收斂技于方創(chuàng)程（5.裕1）的脆根，并謹(jǐn)有誤常差估脂計式第五未章5.崇2迭代法第五澆章5.媽2迭代法連續(xù)忍，因柔此對充迭代朵公式秘（5.勻6）兩崇邊求喬極限塘得故定中理得潑證。第五丑章5.歌2迭代法推論設(shè)把龍方程(5兩.1榮)改寫酷成(5烘.5情)等價脹形式賢時，在實(shí)潔際應(yīng)唇用中殼驗證察迭代此公式芝（5.匯6）的踢迭代絹函數(shù)第五賤章5.稼2迭代法解由于方程在區(qū)綿間內(nèi)有襪一個旗正根合，所蓋以將方米程改兼寫成盈下列半形式佳：因此稱取所以然迭代愛公式第五崇章5.禁2迭代法計算石結(jié)果亭見表5.妹2，由返此得套正根眾為。第五飾章5.撕3牛頓碧迭代鞋法設(shè)則其轉(zhuǎn)解為并記片為第五脹章（5.返10）式裹就稱冰為牛頓晴迭代茄公式班。（5.開10）否則強(qiáng)再把在就可輝得到缸一個部迭代筐序列及迭射代公辭式：點(diǎn)展俱開成固泰勒慶級數(shù)朗，繼農(nóng)續(xù)這祝個做釋法，牛頓放迭代殊公式的推榮導(dǎo)也通可用畜以下赴方法榆得到錦。5.葬3牛頓半迭代訂法第五熔章（5.他11）令，則笛切線網(wǎng)方程城的根態(tài)為5.花3牛頓耳迭代嚼法若則就是的近然似值,否則泊繼續(xù)血以上做曲脹線的切逮線過程,過點(diǎn)令則記第五診章并記扔為（5.隸10）繼續(xù)史考慮暫是否，若梅滿足曲，則就是所以魔牛頓站迭代傳法也怖稱為切線筒法。5.諸3牛頓齡迭代蕩法牛頓勁迭代濫法的謊幾何淺意義貴就是逮用過風(fēng)點(diǎn)的切態(tài)線與x軸的杏交點(diǎn)逐步牌逼近澆方程波（5.森1）的哨根見圖5.略3。第五塔章圖5.35.家3牛頓銷迭代核法第五貌章定理2設(shè)非習(xí)線性圈方程樓（5.斤1）的途函數(shù)在區(qū)誼間上有陶二階撕導(dǎo)數(shù)壤，是由麥（5.抬11）得檢到的的切伐線，病那么由此課不難利得到冠定理館的結(jié)腔論（5.尖12）和杠（5.領(lǐng)13）。5.涼3牛頓劃迭代勁法由（5.軍11）得第五慮章5.學(xué)3牛頓倒迭代古法定理3設(shè)非淡線性饅方程輝（5.依1）的姑函數(shù)滿足丑：（1）對計任意，不變俘號，（2）對柱任意，（3）證明由條博件(1兼)、(2景)知，忘函數(shù)是單懷調(diào)函均數(shù).再用暈條件(3磨)可知躲，(見后頭面圖)：屬于攔下列桿情況仰之一則由請迭代個公式續(xù)（5.央10）得求到的董點(diǎn)列一定誘收斂報于方政程（5.慮1）的姥唯一擋根第五陜章5.嘉3牛頓幸迭代捐法（a）（b）（c）僅就意情況犧（c）來滲證明鄙。對初愈始值，要型使?jié)M菊足，則必舒有因此資在情里況(c尚)下，灑若實(shí)際膨上，哈因，故跌由(5潤.1糟1)給出潮的切冠線第五賠章5.團(tuán)3牛頓誼迭代攪法對公懲式（5.源10）求騎極限訪得所以書切線的零研點(diǎn)，即嫂點(diǎn)列是單頁調(diào)下僅降且睡有界獨(dú)，故塑必有窮極限秀，設(shè),即，故是方窗程的京根，億因為因此家必有，從掠而，定亂理得菌證。滿足嘆條件麗（1）～膚（3），贈所以糧方程秩根是混唯一奏的，第五鐵章5.勵3牛頓煌迭代慈法解把方音程等價駛變?yōu)槟X以下票方程耕：故迭脈代公抓式5.善4弦位頭法第五學(xué)章5.皂4弦位視法弦位他法是萍對曲管線做過電點(diǎn)的直凈線（5.笑14）并用郊直線的零悅點(diǎn)來蹈逼近辭方程逆（5.侵1）的耽根。先求異方程的根訴并把煎根記奪為就得醫(yī)迭代而公式:（5.商15）這就忠是求橫方程(5響.1限)根的弦位枕法(也稱棕雙點(diǎn)使弦截閥法).弦位盯法的幾影何意有義就曉是用翻直線塑的零排點(diǎn)來崗逐步準(zhǔn)逼近近方程傲（5.執(zhí)1）的兼根，軌見圖5.次4。第五肝章5.虜4弦位斑法圖5.4類似成于以庭上雙轉(zhuǎn)點(diǎn)弦相截法悉，也豬有單擠點(diǎn)弦生截法提，即竄還可向以得性到單弱點(diǎn)弦助截法拴的迭噸代公聽式：第五頃章5.唱5解非悉線性繡方程植組的霧牛頓瓦迭代甚法第五曾章5.銜5解非落線性娃方程皆組的句牛頓毛迭代騾法以兩繳個二難元方恒程為敏例介曠紹解面非線起性方宵程組承的牛熟頓迭油代法幼。對攜非線擋性方匠程組（5.嫌16）設(shè)（5.估16）的管一個護(hù)初始艷近似花解為，把展開接公式叢展開感，并繞只取埋其線食性部泉分，鬧對非卷線性唇方程刷組（5.惕16）就痛可得概以下滋線性創(chuàng)方程盒組：第五殖章5.僻5解非我線性盟方程恩組的樸牛頓歌迭代限法（5.里17）只要污系數(shù)槐矩陣塘的行幟列式(5庫.1覽8)則方絕程組達(dá)（5.模17）的路解可殺以求使出，亡即有第五谷章5.華5解非奮線性傅方程放組的腐牛頓臂迭代汗法（5.刻19）其中（5.棚20）考察和，若扯都滿此足,那么第五柴章5.因5解非返線性猾方程駐組的授牛頓逆迭代低法就是昏非線欠性方璃程組俯的近銀似解蝴，否常則繼家續(xù)以上做睛法，灑即用忌迭代礦公式（5.壩21）其中的計剩算與對公式塑（5.核18）、盟（5.永20）相法同，只是塵把點(diǎn)換成穿點(diǎn)這就骨是求摔解非辰線性底方程柳組的牛頓搜迭代紋方法。即可粗。第五附章5.隨5解非營線性協(xié)方程首組的鬼牛頓糾迭代綠法例4設(shè)有逃非線純性方獅程試用厭牛頓姨迭代添