北大附屬學(xué)校2023屆高一實驗班選拔考試(數(shù)學(xué))篇一

PAGE北大附屬學(xué)校2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學(xué)（考試時間：90分鐘滿分：100分）友情提示：請將答案填寫在答題卷中，寫在試卷上不得分．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知，則的值為（）A． B． C．1 D．2．有4張全新的撲克牌，其中黑桃、紅桃各2張，它們的背面都一樣，將它們洗勻后，背面朝上放到桌面上，從中任意摸出2張牌，摸出的花色不一樣的概率是（）A． B． C． D．3．如圖是一個切去了一個角的正方體紙盒，切面與棱的交點A、B、C均是棱的中點，現(xiàn)將紙盒剪開展成平面，則展開圖不可能是（）ABCD4．方程組的解的個數(shù)為（）A． B． C． D．5．如果關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根分別為，那么的值為（）A． B． C． D．6．已知銳角的頂點到垂心(三角形三邊上高線的交點稱為垂心)的距離等于它的外接圓的半徑，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．對于一個正整數(shù)，如果其順著數(shù)和倒著數(shù)都是一樣的，則稱此數(shù)為“回文數(shù)”（如1、11、121都是回文數(shù)，而110則不是回文數(shù)）.將所有回文數(shù)從小到大排成一列：1,2，···，9,11,22，···，則第2023個回文數(shù)是（）A．1014101B．1015101C．1016101D．10171018．若四個互不相等的正實數(shù)，，則的值為（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）9．對于任意實數(shù)定義，已知，則實數(shù)的值是.第11題圖CDABE10．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，以線段上一點為圓心作圓與均相切，則點的坐標(biāo)為．第11題圖CDABE11．如圖，在梯形中，，，，．將該梯形折疊，點恰好與點重合，為折痕，那么．yxOAB①②③④4812164第12題圖12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，對連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、yxOAB①②③④4812164第12題圖13．已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于的方程的整數(shù)根，則的值為____________.14．正五邊形廣場ABCDE的周長為2023米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過三、解答題（本大題共6小題，共52分）15．（1）（本小題4分）計算：（2）（本小題4分）先化簡，再求值：；其中BACMBACMNPEF如圖，M、N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F，（1）求證：BF=2FP；（2）設(shè)△ABC的面積為S，求△NEF的面積．17．（本小題8分）對于二次函數(shù)，如果當(dāng)取任意整數(shù)時，函數(shù)值都是整數(shù)，那么我們把該函數(shù)的圖象叫做整點拋物線（例如：）．（1）請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于1的整點拋物線的解析式．（不必證明）（2）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾椣禂?shù)的絕對值小于的整點拋物線？若存在，請寫出其中一條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．18．（本小題8分）已知是滿足的整數(shù)，方程有兩個不等的實根和，設(shè)，，，試比較的大小，并說明理由．19．（本小題8分）預(yù)計用1500元購買甲商品個，乙商品個，不料甲商品每個漲價1.5元，乙商品每個漲價1元，盡管購買甲商品的個數(shù)比預(yù)定數(shù)減少10個，總金額仍多用29元．又若甲、乙兩商品每個均只漲價1元，并且購買甲商品的數(shù)量只比預(yù)定數(shù)少5個，那么甲、乙兩商品支付的總金額是1563.5元．（1）求、的關(guān)系式；（2）若預(yù)計購買甲商品的個數(shù)的2倍與預(yù)計購買乙商品的個數(shù)的和大于205，但小于210，求、的值．A2BC鉛垂高水平寬ha圖20A2BC鉛垂高水平寬ha圖20-1如圖20-1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”()，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高()”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.解答下列問題：如圖20-2，拋物線頂點坐標(biāo)為點,交x軸于點，交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）點P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；（3）在軸下方的拋物線上是否存在點P（不與點重合），使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．CDBCDBxxyAOAO 圖20-2北大附屬學(xué)校2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學(xué)答題卷一、選擇題（每小題3分，共8題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345678答案二、填空題（每小題4分，共6小題）9．；10．；11．；12．；13．；14．；三、解答題（共6小題，共52分）15．(1)（本小題4分）計算：(2)（本小題4分）先化簡，再求值：；其中16．（本小題8分）如圖，M、N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F，（1）求證：BF=2FP；（2）設(shè)△ABC的面積為S，求△NEF的面積．BABACMNPEF17．（本小題8分）對于二次函數(shù)，如果當(dāng)取任意整數(shù)時，函數(shù)值都是整數(shù)，那么我們把該函數(shù)的圖象叫做整點拋物線（例如：）．（1）請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于1的整點拋物線的解析式．（不必證明）（2）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾椣禂?shù)的絕對值小于的整點拋物線？若存在，請寫出其中一條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．18．（本小題8分）已知是滿足的整數(shù)，方程有兩個不等的實根和，設(shè)，，，試比較的大小，并說明理由．19．（本小題8分）預(yù)計用1500元購買甲商品個，乙商品個，不料甲商品每個漲價1.5元，乙商品每個漲價1元，盡管購買甲商品的個數(shù)比預(yù)定數(shù)減少10個，總金額仍多用29元．又若甲、乙兩商品每個均只漲價1元，并且購買甲商品的數(shù)量只比預(yù)定數(shù)少5個，那么甲、乙兩商品支付的總金額是1563.5元．（1）求、的關(guān)系式；（2）若預(yù)計購買甲商品的個數(shù)的2倍與預(yù)計購買乙商品的個數(shù)的和大于205，但小于210，求、的值A(chǔ)2BC鉛垂高水平寬ha圖20A2BC鉛垂高水平寬ha圖20-1如圖20-1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”()，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高()”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.解答下列問題：如圖20-2，拋物線頂點坐標(biāo)為點,交x軸于點，交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）點P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；（3）在軸下方的拋物線上是否存在點P（不與點重合），使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.CDBCDBxxyAOAO 圖20-2北大附屬學(xué)校2023屆高一實驗班選拔考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）14CBBA58DCCA二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）9．4或10．11．12．13．14．104三、解答題（本大題共6小題，共52分）15．(1)本小題4分）解:原式………………4分(2)（本小題4分）解：………………2分…………3分當(dāng)時，原式=……………4分16．（本小題8分)BACMNPEF（圖1）解：（1）如圖1，連結(jié)BACMNPEF（圖1）∴△ABF∽△NPF，………………2分．………………3分∴BF=2FP．………………4分（2）如圖2，取AF的中點G，連結(jié)MG，則BACMNPEF（圖2）GMG∥EF，BACMNPEF（圖2）G∴S△NEF=S△MNG………………6分=×S△AMN………………7分=××S△ABC=S．………………8分17．（本小題8分）解：（1）如：，等等（只要寫出一個符合條件的函數(shù)解析式）………………2分（2）假設(shè)存在符合條件的拋物線，則對于拋物線當(dāng)時，當(dāng)時，由整點拋物線定義知：為整數(shù)，為整數(shù)，………………4分必為整數(shù)．………………5分又當(dāng)時，是整數(shù)，必為整數(shù)，從而應(yīng)為的整數(shù)倍，………………7分∴∴不存在二次項系數(shù)的絕對值小于的整點拋物線..…8分18．（本小題8分）解：由題意：且，………………1分∴………………2分………………3分………………4分……………5分又……………6分∵………………7分∴………………8分19．（本小題8分）解：（1）設(shè)預(yù)計購買甲、乙商品的單價分別為元和元，則原計劃是，①………………1分由甲商品單價上漲1.5元、乙商品單價上漲1元，并且甲商品減少10個的情形，得．②………………2分再由甲商品單價上漲1元，而數(shù)量比預(yù)計數(shù)少5個，乙商品單價上漲仍是1元的情形，得，③………………3分由①、②、③得④⑤ ………………5分④⑤④－⑤×2并化簡，得．………………6分（2）依題意，有205＜＜210及，54＜＜，………………7分由于是整數(shù)，得，從而得．………………8分20．（本小題12分）解：（1）設(shè)拋物線的解析式為.把代入解析式，解得.∴拋物線的表達(dá)式為……………1分∴點的坐標(biāo)為.……………2分設(shè)直線的表達(dá)式為把，代入，得解得.∴直線的表達(dá)式為……………3分（2）因為點坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，.