詳解2023年初中數(shù)學全國聯(lián)合競賽試題參考答案篇一

2023年初中數(shù)學全國聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：(本題滿分42分，每小題7分)1．已知，，，那么的大小關系是（C）A.B.C.D.2．方程的整數(shù)解的組數(shù)為（B）A．3.B．4.C．5.D．6.3．已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE=1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與線段DE交于點G，則BG的長為（D）A．B．C．D．4．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（B）A．.B．0.C．1.D．.5．若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)的所有可能的值之和為（B）A．0.B．.C．.D．.6．由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有（C）A．36個.B．40個.C．44個.D．48個.解：根據(jù)使用的不同數(shù)字的個數(shù)分類考慮：（1）只用1個數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是1111，2222，3333，4444，共有4個．（2）使用2個不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有6種可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）．如果使用的數(shù)字是1、2，組成的四位數(shù)可以是1122，1221，2112，2211，共有4個；同樣地，如果使用的數(shù)字是另外5種情況，組成的四位數(shù)也各有4個．因此，這樣的四位數(shù)共有6×4=24個．（3）使用3個不同的數(shù)字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8個．（4）使用4個不同的數(shù)字1，2，3，4，組成的四位數(shù)可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8個．因此，滿足要求的四位數(shù)共有4+24+8+8=44個．故選C．二、填空題：(本題滿分28分，每小題7分)1．已知互不相等的實數(shù)滿足，則．2．使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為1．3．在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P為AB上一點，∠ACP=20°，則=．4．已知實數(shù)滿足，，，則=．第二試（A）一、(本題滿分20分)已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解設直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以.根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以，因為均為整數(shù)且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為.二．(本題滿分25分)如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D.證明：.證明：連接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割線定理可得，∴，∴D、B、C、O四點共圓，∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.三．(本題滿分25分)已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線.設M，若AM//BC，求拋物線的解析式.解易求得點P，點C.設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又AB的中點E的坐標為，所以AE=.因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA=DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.又因為AM//BC，所以，即.把代入解得（另一解舍去）.因此，拋物線的解析式為.第二試（B）一．(本題滿分20分)已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為60，求它的外接圓的面積.解設直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以.根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以，因為均為整數(shù)且，所以只可能是或解得或當時，，三角形的外接圓的面積為；當時，，三角形的外接圓的面積為.二．(本題滿分25分)如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E.證明：∠BAE=∠ACB.證明：連接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割線定理可得，∴，∴D、B、C、O四點共圓，∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴，∴.又∠BDA=∠BDP＋90°=∠ODC＋90°=∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD=∠ACD，∴AB是△ADC的外接圓的切線，∴∠BAE=∠ACB.三．(本題滿分25分)題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）一．(本題滿分20分)題目和解答與（B）卷第一題相同.二．(本題滿分25分)題目和解答與（B）卷第二題相同.三．(本題滿分25分)已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點Q，且∠QBO=∠OBC.求拋物線的解析式.解拋物線的方程即，所以點P，點C.設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又AB的中點E的坐標為，所以AE=.因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由D