初中數(shù)學思想方法例說演示

初中數(shù)學思想方法例說演示第一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學眼光，使我們看到世間萬物充滿著帶有數(shù)學印記的奇妙的科學規(guī)律，看到各類書籍和文章的字里行間有著數(shù)學的蹤跡，滿眼都是絢麗多彩的數(shù)學景象！數(shù)學史話，充滿了誘人的前輩們的創(chuàng)造或再創(chuàng)造的心血機智，使人獲得明智的豐富營養(yǎng)！數(shù)學應用，給我們展示了數(shù)學的神通廣大，在各個領域和角落都閃爍著人類智慧的光芒！數(shù)學思想使我們領悟到數(shù)學是用字母和符號譜寫的高亢歌曲，猶似協(xié)奏曲一樣充滿著和諧的旋律，讓人難以忘懷！數(shù)學方法，像畫卷一樣描繪著各個學科的異草奇葩的景色，令人目不暇接！第二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學思想方法的認識初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法

進行數(shù)學思想方法教學的建議初中數(shù)學思想方法例說從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例第三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1數(shù)學思想方法的認識

學習數(shù)學不僅要學習它的知識內(nèi)容,而且要學習它的精神、思想和方法.掌握基本數(shù)學思想方法能使數(shù)學更易于理解與記憶,領會數(shù)學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”.1.1數(shù)學思想方法是中學數(shù)學的一項基礎知識數(shù)學思想方法的認識第四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學教學大綱1992年·

在教學目的中規(guī)定:“初中數(shù)學的基礎知識是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法.”課程標準（實驗稿）2001年·

在課程目標的開頭就明確要求:

“獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識(包括數(shù)學事實、數(shù)學活動的經(jīng)驗)以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能”.課程標準（2011年版）2011年·

在課程目標的開頭就明確要求:“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.1.1數(shù)學思想方法是中學數(shù)學的一項基礎知識第五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學教育的根本目的是教會學生學會數(shù)學化——弗萊登塔爾就是讓學生學會

用數(shù)學的眼光觀察問題；用數(shù)學的思考分析問題；用數(shù)學的語言表述問題；用數(shù)學的方法解決問題！

知識是基礎，知識是載體，與知識同行時，觀點、思維、思想、方法必得蘊含其中！1.1數(shù)學思想方法是中學數(shù)學的一項基礎知識第六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五《全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》

在課程目標的開頭就明確要求:“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.1.1數(shù)學思想方法是中學數(shù)學的一項基礎知識在課程內(nèi)容中指出：“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。在“感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗”一節(jié)中指出：數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。第七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識內(nèi)容及其所使用的方法的本質(zhì)認識,它蘊涵于具體的內(nèi)容與方法之中,又經(jīng)過了提煉與概括,成為理性認識.

它直接支配數(shù)學教學的實踐活動,數(shù)學概念的掌握、數(shù)學理論的建立、解題方法的運用、具體問題的解決,無一不是數(shù)學思想方法的體現(xiàn)和應用.1數(shù)學思想方法的認識1.2數(shù)學思想的內(nèi)涵第八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五雙擊添加標題文字數(shù)學思想方法思想是其相應內(nèi)容方法的精神實質(zhì)當人們評價其在數(shù)學體系中的價值和意義時,稱之為思想當用“數(shù)學思想”這個詞時,更多的是從知識內(nèi)容的角度上說的,它體現(xiàn)為數(shù)學的理論;方法是實現(xiàn)有關思想的策略方式同一個數(shù)學成就,當人們用于解決問題時,稱之為方法當用“數(shù)學方法”這個詞時,更多的是從實施策略的角度上說的,它聯(lián)系著數(shù)學的行為.數(shù)學思想數(shù)學方法1.2數(shù)學思想的內(nèi)涵第九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.2數(shù)學思想的內(nèi)涵

普適的科學方法——注意數(shù)學的角度科學方法概括實驗觀察分析歸納類比第十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.2數(shù)學思想的內(nèi)涵從初中數(shù)學教材結(jié)構以及數(shù)學學習過程看化歸結(jié)構化模型化公理化數(shù)形結(jié)合極限變換群劃分幾何學抽樣與統(tǒng)計函數(shù)與方程分類討論集合與對應代數(shù)變形方法幾何證明方法數(shù)學推理方法換元法、整體代入法幾何變換、截長補短

第一層次演繹法、類比法坐標法、向量法降維、降次、消元

第二層次符號化第十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學思想方法的認識初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法

進行數(shù)學思想方法教學的建議初中數(shù)學思想方法例說從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例第十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五符號化與變元表示的思想（2）

函數(shù)與方程的思想（3）

數(shù)形結(jié)合的思想方法（4）分類討論的思想方法（5）

轉(zhuǎn)換化歸的思想方法

（6）數(shù)學觀察方法（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學觀察方法（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法觀察是指人們?yōu)榱苏J識事物的本質(zhì)和規(guī)律，通過感覺器官或同時借助于一定的科學儀器，有目的、有計劃地感知和描述各種自然現(xiàn)象的一種方法。數(shù)學觀察方法，就是有意識地對事物的數(shù)和形的特點進行感知活動，即對符號、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學關系式、命題、幾何圖形的結(jié)構特點進行的察看的方法。

數(shù)學觀察的角度：對象的數(shù)量關系、空間形式以及結(jié)構初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學觀察方法（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法進行觀察要注意三點：一是要有意識、有目標；二是要有基礎，有必要的相關知識；三是要有方法，要能抓住要領，尤其是能從個別中想到一般，從平常中發(fā)現(xiàn)異常.

數(shù)學觀察的角度：對象的數(shù)量關系和空間形式初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學觀察方法——課標要求

（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法課程標準（2011年版）在在實施建議中指出：學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化。為了幫助學生真正理解數(shù)學知識，教師應注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷。教師還應揭示知識的數(shù)學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生理清相關知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學觀察方法——所涉及的教學內(nèi)容

（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法概念、原理的形成過程；在實驗、操作活動與理論建立之間要引導學生觀察、分析、歸納、概括，最后抽象出數(shù)學理論；1.1正數(shù)和負數(shù)11.1變量與函數(shù)1.2有理數(shù)11.3用函數(shù)觀點看方程與不等式3.1多姿多彩的圖形12.1~2數(shù)據(jù)的描述5.1~2相交線與平行線14.1軸對稱7.2與三角形有關的角20.1~2數(shù)據(jù)的分析...初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法符號化與變元表示的思想（2）抽象化使用符號化語言和在其中引進“變元”是數(shù)學科學高度抽象性的要求.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.

用含有變元的符號組合來表示一般規(guī)律和規(guī)則，是從作為經(jīng)驗科學的“算學”進到作為理論科學是“數(shù)學”的第一個標志.

用符號和變元表示有關對象關系，具有簡潔明確的優(yōu)點，增大了學習密度和思維容量，有時一些抽象的符號還具有“思維的直觀”去經(jīng)驗簡明直觀初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

符號化與變元表示思想是指將所研究的對象進行抽象，并用數(shù)學符號、變元加以表述，用數(shù)學符號、變元表示任意具有一定通性的“量”及運算，用數(shù)學符號、變元來表示一般規(guī)律、規(guī)則，通過對“量”的研究理解其應用規(guī)律、規(guī)則來解決問題的一種思想.符號化與變元表示思想為數(shù)學的形式化創(chuàng)造了條件；體現(xiàn)了數(shù)學抽象化的特征，是數(shù)學思想的基礎.2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法符號化與變元表示的思想（2）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五課標指出：在數(shù)學課程中應當注重發(fā)展學生的符號意識.符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法符號化與變元表示的思想——課標要求（2）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五第一章有理數(shù)知道－a、的含義；理解有理數(shù)的運算律：第二章整式的加減借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義：聯(lián)系實例解釋3a的意義.第三章一元一次方程會用字母表示未知數(shù)，并根據(jù)相等關系列出方程，求出未知數(shù).理解方程ax＋b＝0中各個字母的含義，....2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法符號化與變元表示的思想——所涉及的教學內(nèi)容（2）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五方程思想就是突出已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數(shù)，列方程（組），解方程（組）達到求出未知量，并將所求得的未知量轉(zhuǎn)換為問題的解答的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎.函數(shù)思想就是運用聯(lián)系、變化的觀點，建立各個變量之間是依存（函數(shù)）關系，通過對函數(shù)有關性質(zhì)的研究及其解釋達到問題的解決的思想方法.2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

函數(shù)與方程的思想方法（3）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

函數(shù)與方程的思想方法——課標要求（3）能用適當?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系結(jié)合對函數(shù)關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論.初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五2.1從算式到方程2.4再探實際問題與一元一次方程9.2再探實際問題與一元一次不等式9.4課題學習利用不等關系分析比賽11.1變量與函數(shù)11.3用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式17.2再探實際問題與反比例函數(shù)22.3再探實際問題與一元二次方程26.2用函數(shù)觀點看一元二次方程26.3再探實際問題與二次函數(shù)2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

函數(shù)與方程的思想方法——所涉及的教學內(nèi)容（3）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)形間的對應于互助來研究問題問題并解決問題的思想.運用數(shù)形結(jié)合思想處理問題，就是在處理問題時，斟酌問題的具體情形，使圖形性質(zhì)問題借助數(shù)量關系的推演而具體量化，或者使數(shù)量關系的問題借助幾何圖形直觀而形象化，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法（4）形——幾何圖形形象思維數(shù)——代數(shù)對象抽象思維以形助數(shù)以數(shù)助形初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義了解數(shù)學公式的幾何背景2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法——課標要求（4）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.2有理數(shù)（1）理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小。（2）借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義.7.2與三角形有關的角（三角形內(nèi)角和定理的證明）15.3乘法公式能推導乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景11.3用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式18.1勾股定理2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法——所涉及的教學內(nèi)容（4）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五分類討論的方法（5）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法定義分類討論即對于比較復雜或不確定的問題，可以將它所涉及的對象的全體劃分為若干兩兩不相交的部分，然后再逐一求解或論證，從而解決原問題的方法稱為分類討論.原則科學的分類

一個是標準的統(tǒng)一，再一個是不重不漏

.通常應從所研究的問題出發(fā)，選取恰當?shù)臉藴?，然后根?jù)對象的屬性，把它們不重復不遺漏地劃分為若干類別.作用分類討論

劃分只是手段，分類研究才是目的.既可以將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，而且恰當?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學素養(yǎng)。初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五分類討論的方法——課標要求（5）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數(shù)學知識，有助于分析和解決新的數(shù)學問題。初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第二十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.2有理數(shù)（絕對值的代數(shù)意義）11.2一次函數(shù)（能畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化情況。）17.1反比例函數(shù)（能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達式y(tǒng)=(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化情況。）22.2一元二次方程的解法（會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。）26.1二次函數(shù)（會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸）19.2特殊的平行四邊形（理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系）...分類討論的方法——所涉及的教學內(nèi)容

（5）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第三十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五在對問題作細致觀察的基礎之上，展開豐富的聯(lián)想，以求喚起對有關就知識的回憶，開啟思維的大門，順利地借助已有知識、經(jīng)驗來處理面臨的新問題，這種思想方法稱之為化歸思想方法.化歸思想的實質(zhì)是通過事物內(nèi)部的聯(lián)系和矛盾運動，在轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)問題的規(guī)范化（熟悉或易于處理），即將待處理的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)范問題，從而使原問題得到解決.簡言之，所謂化歸就是問題的規(guī)范化、模式化.化歸思想包括三個要素：化歸對象、化歸目標和化歸的方式方法.解方程：2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

轉(zhuǎn)換化歸的思想方法

（6）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第三十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五中學數(shù)學研究的方式方法就是重點研究最基本的、最簡單的，形成模式，再將復合的、復雜的形式或問題轉(zhuǎn)化為已有的模式進行解決.1.2有理數(shù)（絕對值的代數(shù)意義）7.3多邊形及其內(nèi)角和8.2消元（將多元方程組通過消元化為一元方程）10.1~3實數(shù)16.3分式方程22.2降次──一元二次方程的解法...2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法

轉(zhuǎn)換化歸的思想方法——所涉及的教學內(nèi)容

（6）初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第三十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五符號化與變元表示的思想（2）

函數(shù)與方程的思想（3）

數(shù)形結(jié)合的思想方法（4）分類討論的思想方法（5）

轉(zhuǎn)換化歸的思想方法

（6）數(shù)學觀察方法（1）2初中數(shù)學常用的數(shù)學思想方法初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法第三十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學思想方法的認識初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法

進行數(shù)學思想方法教學的建議初中數(shù)學思想方法例說從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例第三十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想1.勾股定理的內(nèi)容及其教育價值是什么?（1）勾股定理的內(nèi)容從代數(shù)角度敘述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.從幾何角度敘述：以直角三角形斜邊為邊的正方形的面積等于以直角三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和（如圖1）．從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例第三十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想1.勾股定理的內(nèi)容及其教育價值是什么?（2）定理的地位與作用勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系．它與(歐氏)幾何

中的許多數(shù)學命題有著密切的聯(lián)系,是幾何的基本定理之一.

陳省身教授認為它是幾何的兩個最主要的定理之一．勾股定理是初中平面幾何中有關度量的最基本定理之一，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，學習勾股定理及其逆定理是進一步認識和理解直角三角形的需要，也是后續(xù)有關幾何度量運算和代數(shù)學習必要的基礎，其在現(xiàn)實生活中也具有普遍的應用性．3第三十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.勾股定理的內(nèi)容及其教育價值是什么?（3）定理在數(shù)學史上的意義

1）它的證明是論證數(shù)學的發(fā)端；

2）它是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何和代數(shù)聯(lián)系起來的定理；

3）它導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解；

4）它是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，引出了費馬大定理；

5）它是歐式幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值．

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第三十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五1.勾股定理的內(nèi)容及其教育價值是什么?

（4）勾股定理的教育價值

1）在勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證中蘊含著豐富的思維材料，是發(fā)展學生探究能力不可多得的素材.

通過讓學生經(jīng)歷勾股定理的探索和證明過程，①有助于豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗：探究圖形的基本元素之間的關系、多角度探究幾何結(jié)構、經(jīng)歷幾何推理過程，體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法；②有助于學生獲得更多的數(shù)學工具去探索和了解我們生存的空間；③有助于發(fā)展學生的推理能力，理解證明的意義和過程，體會推理和證明的力量．

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第三十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

1.勾股定理的內(nèi)容及其教育價值是什么?

（4）勾股定理的教育價值

1）在勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證中蘊含著豐富的思維材料，是發(fā)展學生探究能力不可多得的素材.

2）勾股定理具有幾何和代數(shù)的雙重特征，是幾何與代數(shù)的橋梁，通過對勾股定理的證明——變換法(拼圖法)的學習，有助于學生感受運動和變換．3）勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證及應用的過程蘊涵了豐富的文化價值，通過讓學生了解勾股定理的歷史、人類對它的研究、它的廣泛應用等，有助于激發(fā)學生的學習興趣和自豪感，并體會它的重大意義和文化價值．

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第三十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

2.勾股定理與其他數(shù)學內(nèi)容的聯(lián)系

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3勾股定理無理數(shù)方程三角形三角函數(shù)四邊形圓立體幾何解析幾何向量第四十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

3.學生在學習勾股定理時可能出現(xiàn)的困難

（1）勾股定理教學處于學生數(shù)學思維轉(zhuǎn)折階段；

（2）讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；

（3）讓學生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難．

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第四十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

4.幫助學生學會勾股定理的教學策略教科書提供的探究(發(fā)現(xiàn))勾股定理的教學方法有兩種：（1）讓學生測量直角三角形三條邊的長，讓學生猜想三條邊長之間的數(shù)量關系；

（2）利用如下方格紙(圖2、圖3)進行探究．

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3A的面積B的面積C的面積圖1169圖249

怎樣得到正方形C的面積？與同伴交流交流．第四十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3對于正方形A和正方形B的面積，學生很容易求得，而正方形C的面積通過數(shù)格子不能直接得出，但可采取“割補”的方法求得.這里的“紅線”隱含著進行“割補”的拼圖方法！從特殊情況的分析中歸納得到解決一般情況的方法.第四十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五證明勾股定理的策略（1）采取直接告訴的策略.這種方法雖然能夠讓學生知道勾股定理的各種證明方法，但是卻失去了培養(yǎng)學生思維能力的良好契機．（2）準備四個全等的直角三角形，讓學生用這四個直角三角形進行拼圖，拼成含有至少一個正方形的正方形．有一定的難度.（3）由乘法公式聯(lián)想圖形變換；兩個正方形的面積與三角形的面積之間有何關系？轉(zhuǎn)換為a2＋b2與ab之間有什么關系——乘法公式！（4）拼圖證法.

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第四十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五傳播數(shù)學文化的策略（1）引入課題時簡介；（2）在證明中穿插；（3）利用多媒體，圖文并茂地介紹；（4）借助互聯(lián)網(wǎng)，讓學生查閱資料，并在課堂上交流分享.

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第四十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五感悟數(shù)學思想方法的策略（1）創(chuàng)設情景，提出問題——問題解決，數(shù)學建模；（2）由“數(shù)”到“形”——聯(lián)想、數(shù)感和圖感；（3）分析特例（等腰直角三角形→網(wǎng)格中的直角三角形→一般直角三角形）——從特殊到一般的探究及歸納方法；（4）拼圖、說理、證明——數(shù)形結(jié)合，數(shù)學表述；（5）定理應用——數(shù)學應用意識

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3第四十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五趙爽弦圖

我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.

一組經(jīng)典的勾股數(shù)：3，4，5劉徽“青朱出入圖”國際數(shù)學家大會會徽（2002.08）史話勾股提升情商

第四十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五在西方，多將勾股定理稱為畢達哥拉斯定理。史話勾股提升情商第四十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五歐幾里得歐幾里得的證明原圖史話勾股提升情商美麗的勾股樹第四十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

《勾股定理》（初中）的教學中，（1）我們應該教些什么？（2）采取哪些方法可能實現(xiàn)我們的愿景？（3）拼圖實驗在這個學習過程中的作用是什么？

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3課堂交流與分享第五十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五《勾股定理》（初中）的教學中，（1）教——勾股定理、幾組勾股數(shù)，勾股圖；證明方法及其思路，由“式”到“形”的聯(lián)想、從特殊到一般的探究傳播數(shù)學文化，感悟數(shù)學思想，體味人類文明成果，激發(fā)學習動機.（2）采取——故事或問題導入法，激發(fā)興趣，喚醒原有的認知；從特殊到一般的探究和歸納方法；拼圖實驗，網(wǎng)絡收集，交流分享；注意從拼圖到推理論證的提升.（3）拼圖實驗在這個學習過程中的作用只是輔助手段起著直觀感受的作用，決不可輕視拼圖后的說理.

例1

勾股定理所蘊含的數(shù)學思想3課堂交流與分享第五十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五例214.3-2用函數(shù)觀點看一元一次不等式從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例第五十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

例2

用函數(shù)觀點看一元一次不等式3看下面兩個問題有什么關系：（1）解不等式5x+6＞3x+10.（2）自變量x取何值時函數(shù)y＝2x－4的值大于0？由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＞0（或＜0，其中a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（或?。┯?時，求自變量的取值范圍.

從“數(shù)”的角度建立一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系.僅有聯(lián)系還不夠從函數(shù)的觀點看從“形”的角度建立一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系.用畫函數(shù)圖象的方法解不等式5x+6＞3x+10.第五十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五在這節(jié)課的學習中，學生普遍對以下幾個地方感到困惑：（1）如何看待問題1與問題2之間的聯(lián)系？即從“數(shù)”的角度來看不等式和函數(shù)之間的關系？（2）如何通過觀察函數(shù)圖象，從“形”的角度來看不等式和函數(shù)之間的關系？（3）用函數(shù)的觀點來看不等式有什么優(yōu)越性？

例2

用函數(shù)觀點看一元一次不等式3像形如5x+4＜2x+10這樣的題目,利用不等式的性質(zhì)來求解，很好解決，為什么還要用畫函數(shù)圖象的方法來考慮？這樣的思考方式有什么好處？第五十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

例2

用函數(shù)觀點看一元一次不等式3

題

1

根據(jù)下列一次函數(shù)的圖（

圖

1），你能求出哪些不等式解集？并直接寫出相應不等式的解集。添加例子，感悟圖象法的優(yōu)點.

題3

如圖是函數(shù)y=x4-5x2+4的圖象，則不等式

x4-5x2+4＞0

的解集是什么？

題2某單位急需用車，但又不準備買車。他們準備和一個體車主或一國營出租車公司中的一家簽訂月租車合同，設汽車每月行駛

x千米，個體車主收費y1

元，國營出租車公司收費為y2

元，y1、y2

與

x

之間的函數(shù)關系如圖2所示。

（1）觀察下列圖象并選擇合算的租車對象；

（2）如果這個單位估計每月行駛路程為2700km，應如何選擇租車對象才能更合算？第五十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五

例2

用函數(shù)觀點看一元一次不等式

3課題“一元一次函數(shù)與一元一次方程”與“勾股定理”相比，從知識到方法前者遠沒有后者豐富、精彩，很多教師感覺沒有講頭，如何從這個平淡的課題中發(fā)掘一些有意思的材料，讓師生都感覺有滋有味？讓學生體驗數(shù)學知識之間的聯(lián)系，既見樹木又見森林？你能從這些分析中提煉出哪些數(shù)學思想方法？依照課程標準，揣摩課程專家編寫教材的意圖，抓住本節(jié)內(nèi)容的課程標準——提煉出（1）建立函數(shù)的觀點、掌握函數(shù)方法；（2）從整體上把握“三個一次”的知識和它們之間的聯(lián)系；（3）初步了解圖象法解方程、不等式的基本思路，感悟數(shù)形結(jié)合的思想.第五十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例例3“點、線、面、體”教學案例第五十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五幾何概念幾何圖形直觀形象化抽象形式化例3“點、線、面、體”教學案例觀察、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想幾何性質(zhì)觀察分析歸納描述對應操作概括揭示本質(zhì)結(jié)構特征具體直觀抽象經(jīng)歷形式化過程第五十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五學習目標

1.通過實物和具體模型，了解從物體外形抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念，能識別一些基本幾何體（長方體、正方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球等）初步了解立體圖形與平面圖形的概念。2.初步認識圖形是有效描述現(xiàn)實世界的重要工具，會用語句描述簡單的圖形，初步運用圖形與幾何知識解釋生活中的現(xiàn)象以及解決簡單的實際問題。通過課堂學習活動，初步形成積極參與數(shù)學活動，主動與他人合作交流的意識，培養(yǎng)學生對學習圖形和幾何的興趣。例3“點、線、面、體”教學案例第五十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五關于由體到點的認識。如何既不直接告訴學生，又能避免“體和面有什么關系”？“面與面相交形成什么？”等不得體的提問，你有那些好的辦法！可以以長方體為載體，讓學生來描述長方體的特征，長方體不是有6個側(cè)面，12條棱，8個頂點嗎？學生描述，教師引領，逐步得出結(jié)論：“包圍著體的是面，面與面相交的地方成線，線與線相交的地方是點.”例3“點、線、面、體”教學案例第六十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五點、線、面、體都是直接從現(xiàn)實世界中抽象出來的、不加定義的原始概念；從教學目標分析中，可知，本節(jié)教學要建立現(xiàn)實世界的物體外形與幾何圖形之間的聯(lián)系建構過程中，要引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、歸納、概括——注意從數(shù)學的角度！觀察→聯(lián)想→歸納→運用幾何語言表達例3“點、線、面、體”教學案例第六十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五高明的教學不僅要會深入淺出，把深奧的東西表達得很簡單，讓學生理解；更要學會淺入深出，使簡單的課題豐富多彩，讓學生從簡單之中體味深刻！如何從簡單的、淺白的教學內(nèi)容中引導學生去體味數(shù)學的抽象與深刻？知識是基礎，知識是載體，在傳承知識的過程中，要注重數(shù)學思想方法的滲透，要從思維、方法、情感態(tài)度價值觀的層面去挖掘.例3“點、線、面、體”教學案例第六十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例例4“三線八角”的教學案例第六十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五觀察圖形結(jié)構：“兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個角.明確對象關系：對頂角、鄰補角、內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角，既有共頂點的角，也有不共頂點的角，但都是關于一對角的位置關系和數(shù)量關系.揭示問題核心：根據(jù)圖形結(jié)構特征進行分類——正確識別的前提.例4

“三線八角”的教學案例第六十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五正確理解教學內(nèi)容的基礎上提煉數(shù)學思想方法能以“結(jié)構特征”為依據(jù)對角的位置關系進行分類，從中體會分類思想。能正確地分析圖形的結(jié)構特征，從中找到“兩條直線”和“第三條直線”，并識別出同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，領會數(shù)學觀察——模式識別的方法。在“三線八角”概念的引入過程中，體驗研究幾何圖形位置關系、大小度量的思想方法以及基本思路，如：兩條直線→三條直線，共頂點的角→不共頂點的角，等。例4

“三線八角”的教學案例第六十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五從教學內(nèi)容中提煉數(shù)學思想的案例例5“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例探究活動尋找輔助線定理證明第六十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五教師：如圖所示，用橡皮筋構成△ABC，其中頂點B，C為定點，A為動點.放松皮筋后，點A自動收縮，產(chǎn)生一系列的三角形，...請大家觀察其內(nèi)角和會產(chǎn)生怎樣的變化？1.內(nèi)角和等于180°！3.不用觀察，小學時老師已經(jīng)教過這個結(jié)論.例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例第六十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例第六十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例第六十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五平行線可對結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與證明都有啟示沒有平行線例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例第七十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五拼圖驗證，如何拼？（以“數(shù)”助“形”，三個角合在一起拼成一個平角）拼圖操作對于定理證明有何作用？（引出輔助線）怎樣引出？觀察分析尋找理由，以“形”助“數(shù)”例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例觀察拼圖前后圖形的位置、數(shù)量關系探究活動尋找輔助線定理證明直觀感受形式化表達理性思考第七十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期五例5

“三角形內(nèi)角和定理”的教學案例教材中所提供的教學活動對輔助線的出臺具有什么作用？如何“自然地”引導學生作出輔助線？通過尋找輔助線的過程，不僅找到定理的證明方法，還應該讓學生學會什么？——觀察，數(shù)學觀察，即觀察拼圖前后圖形的位置關系和數(shù)量關系第七十二頁，共八十頁，編輯