六年級奧數(shù)-體積、表面積

六年級奧數(shù)—體積、表面積一知要解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積是物體全部浸沒在水中的情況果物體不全部浸在水中，那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。（4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。二精精【例題1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、米、2米。兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了厘和4厘。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3×3×0.06+2×2×（立方米把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。3×3×0.06+2×20.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360米）=1又17/18厘米）答：大水池的水面升高了又厘米。練習(xí)1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3、2米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高4厘米和厘米，如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，那么大水池水面將升高多少厘米？2、用直徑為20米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為米、20厘米5厘米的方體鋼板，應(yīng)截取圓鋼多長（精確到厘米）？1

3、將表面積為54平方厘米、96平方厘米、平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗這個大正方體的體積。【例題2】一個底面半徑是10米的圓柱形瓶中，水深厘米，要在瓶中放入長和寬都是厘米、高是厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是8××15=960（立方厘米現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15米高的鐵塊，水面就要上升15—（厘米要排開水的體積是（×10×10—×8）×7=1750（立方厘米知鐵塊是部分在水中。當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是×1010—8×8=250（平方厘米水的形狀變了積還是×10×10×（立方厘米度是2512÷250=10.048（厘米升10.0488=2.048（厘米）3.14×10×10×8（3.14×10×10—×8）—8=2512÷250—8=10.048—8=2.048（厘米）答：水面上升了厘米。練習(xí)1、一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水?，F(xiàn)把一個底面半徑是1厘米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中，問水面升高了多少厘米（∏取）？2、一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面2.5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積市平方里。在這個杯中放進(jìn)棱長厘米的正方形鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？3、在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方形容器里，直立放著一個長100米、2

底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水厘米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向上方提起厘米，露出睡眠的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？【例題3】某面粉廠有一容積是立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖所示設(shè)圓錐體的底面半徑是，則長方體的高和寬也都是，長是2r。長方體容積是2r×r×r=24即r的立方=12這個半圓錐體的體積是1/3∏r的平方×÷2=1/6∏r的立方將r的立方=12代入，就可以求得面粉的體積。設(shè)圓錐體的底面半徑是，則長方體的容積是×r×r=24r的立方=12。1/3×3.14×r的平方×÷2=1/6×3.14×r的立方=1/6×3.14×12=6.28（立方米）答：這堆面粉的體積是立方米。練習(xí)1、已知一個圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長，這個正方體的體積216立方分米。求這個圓錐體的體積。3

2、一個正方體的紙盒中如圖28-2所示，恰好能裝入一個體積立方厘的圓柱體。紙盒的容積有多大（∏取）？3、如圖28-3擲，圓錐形容器中裝有升水，水面告訴正好是圓錐高讀的一半。這個容器還能裝多少水？【例題4】如果把12件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？c24

圖8—圖28—設(shè)長方體物品的長、寬、高分別是a、、c，并且a＞＞c（入土28-4較“3×4”和“2×6兩種包法。圖大長方體表面積為6ab+8ac+24bc①，圖大長方體的表面積為4ab+12ac+24bc②，兩個式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式與②的大小要看2ab與4ac的大小）當(dāng)b=2c時，2ab=ac，兩種包法相同）當(dāng)b＜2c時，“3×4”的包法表面積最?。┊?dāng)b＞2c時×6”的包法表面積最小。練習(xí)1、如果把長8厘米，寬7厘米，厘米的2件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包，物體的表面積最?。?、一個精美小禮品盒的形狀是9厘米，寬6厘米，米的長方體。請你幫廠家設(shè)計一個能裝個小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設(shè)計比較合理？為什么？3、一包香煙的形狀是長方體，它的長是厘米，寬是5厘米，高是厘。把包香煙包裝在一起形成一個大長方體，稱為一條?？梢栽鯓影b？算一算需要多少包裝紙（包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計你認(rèn)為哪一種包裝比較合理？5

2222222222【例題5】一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是8×18×18?，F(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是×4×9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？因為集裝箱內(nèi)尺寸不貨箱尺寸4倍數(shù)，所以，只能先在18×16×18的空間放貨箱，可放×16×18÷（×4×9）=144（只時還有×2×18的空間，但只能在18×2×16的空間放貨箱，可放18××16÷（×49）（只最后剩下18××2的空間無法再放貨箱，所以最多能裝（只18×16×18÷（14×9）+18×2×16（1×4×9）=144+16=160（只）答：這只集裝箱能裝只貨箱。練習(xí)1、有一個長方體的盒子，從里面量長為厘米、寬為12厘米、高為7米。在這個盒子里放長5厘米寬4厘米、高3米的長方體木塊，最多可放幾塊？2、從一個長、寬、高分別21厘米、15厘米、厘米的廠房體上面，盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？3、現(xiàn)有一張40米、20米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米長方體無蓋鐵皮焊接處及鐵皮厚度不計積越大越好的鐵皮盒容積是多少立方厘米？答案：練11（3××）÷4＝0.05米＝厘米20230××5÷3.14×（）】≈9.6厘米3大正方體的體積等于三個小正方體的體積之和。54÷6＝9平方厘米9＝3×36

242222223232322232322242222223232322232322它的體積是×3×3＝27平方厘米96÷6＝16平方厘米16＝4×4它的體積是4×4×4＝方厘米1506＝25平方米255×5它的體積是×5×5＝立方厘米27+64+125＝216立方厘練21鐵塊全部放入水中，排水的體積是3×1×5＝立方厘米，要使水面升高2厘米，鐵塊要排水（－×

2

）×2＝24立方厘米?？梢?，鐵塊不能全部放入水中?！痢拢?5－3×1

2

3）－＝厘米2杯中水的體積是722.5＝180方厘米放入鐵塊后的底面積是72－6＝平方厘米；水面的高：÷＝5米3容器中水的體積60－15）×50168750立方米；當(dāng)鐵棍提起后，仍浸在水中的部分長－60×24（60－＝24.4厘米露出水面的浸濕部分長5024.4＝25.6厘米練311設(shè)這個圓錐的底面半徑為r，則正方體的體積為r＝216，圓錐體的體積為：×∏×r×r＝立方分米2設(shè)圓柱體的底面半徑為則正方體的棱長為2r圓柱體積是∏r×2r＝6.28（）3

＝8

＝8立方米r1r3設(shè)容器的底面半徑為r，則水面半徑為。水的體積是：×∏（）＝3，∏r1＝72容器的體積是×＝升，還能裝－＝升。練441÷（＝分米3.14×（）×4＝方分米2長方體中：（1）高寬＝（－5）÷2＝180厘米（2）高長＝（－5）÷2＝200厘米（3）長寬＝（－5）÷2＝240厘米（4）（）－（）得：200－＝20米長240+30）÷2＝130厘米高：200130＝厘米寬：240130＝110米130×＝立方厘米＝1.001立方3瓶的容積相當(dāng)于底面積相同、高為＝厘米的圓柱體的容積。飲料的體積相當(dāng)于與20420瓶同底，高為厘米的圓柱體的體積，所以飲料的體積占瓶容積的：＝30×5＝立方分米練51長方體的盒子高是7厘米，正好是木塊寬與高的和，長方體的12厘米，正好是木塊寬與高的公倍數(shù)，采用如圖27－4所示拼放法可以填滿盒子。最多可放40×÷7

333（5×4×3）＝2第一次切下的正方體棱長應(yīng)是12厘米，留下的部分如圖答27－5，其中較大的一塊是長為－12＝9厘米，為15米，高為厘米的長方體。第二次切下的正方體棱長應(yīng)是9米，留下的部分如圖27－6所示，較大的一塊是長為9厘米，寬15－9＝6厘米，高為12厘米的長方體。第三次切下的正方體棱長應(yīng)6米。上下的體積是21×15×12－（+9+6）＝1107方厘米3制作這個鐵盒的方法比較多，但容積不一樣。第一種是把鐵皮的四角截去邊長5米的正方形。它的體