高中數(shù)學(xué)北師大版四學(xué)案：第二章 5 從力做的功到向量的數(shù)量積（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。2。掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義。3。會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直．知識(shí)點(diǎn)一兩向量的夾角思考1平面中的任意兩個(gè)向量都可以平移至同一起點(diǎn)，它們存在夾角嗎?若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？思考2△ABC為正三角形,設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→））＝a，eq\o(BC，\s\up6(→））＝b，則向量a與b的夾角是多少?梳理（1)夾角：已知兩個(gè)____________a和b,作eq\o（OA，\s\up6(→))＝a，eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，則__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角(如圖所示）．當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b________；當(dāng)θ＝180°時(shí),a與b________。（2）垂直：如果a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量可與任一向量垂直．知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖．思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功?思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)？梳理（1）數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ,我們把______________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝____________.（2)數(shù)量積的特殊情況當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),a·a＝__________。當(dāng)兩個(gè)向量e1，e2是單位向量時(shí)，e1·e2＝________________________.知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2向量b在向量a上的射影與向量a在向量b上的射影相同嗎？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夾角為θ，則________叫作向量b在a方向上的射影(簡(jiǎn)稱為投影）．（2)a·b的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度｜a｜與b在a方向上的射影________的乘積，或b的長(zhǎng)度|b｜與a在b方向上的射影____________的乘積．知識(shí)點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別?思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零,其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定？梳理向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1）若e是單位向量，則e·a＝____________＝____________.(2）a⊥b?____________。（3)________＝eq\r（a·a）.(4)cosθ＝eq\f(a·b,｜a||b|)(|a||b｜≠0)．(5)對(duì)任意兩個(gè)向量a，b，有|a·b|____|a｜｜b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立．類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知｜a｜＝4，|b｜＝5，當(dāng)(1）a∥b；(2)a⊥b；（3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積．反思與感悟求平面向量數(shù)量積的步驟：（1)求a與b的夾角θ，θ∈［0°,180°]；(2）分別求｜a｜和｜b|；（3)求數(shù)量積，即a·b＝|a｜|b｜c(diǎn)osθ,要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·"連接，而不能用“×”連接，也不能省去．跟蹤訓(xùn)練1已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC＝60°，則eq\o(BD,\s\up6(→)）·eq\o（CD,\s\up6（→）)等于（）A．－eq\f（3,2)a2B．－eq\f（3，4)a2C。eq\f(3，4）a2D。eq\f（3，2）a2類型二求向量的模例2已知｜a|＝｜b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3）,求｜a＋b|,|a－b｜.引申探究若本例中條件不變,求｜2a＋b｜，｜a－2b｜.反思與感悟此類求解向量模的問(wèn)題就是要靈活應(yīng)用a2＝|a｜2，即｜a｜＝eq\r（a2)，勿忘記開(kāi)方．跟蹤訓(xùn)練2已知｜a|＝|b|＝5，且｜3a－2b｜＝5，求｜3a＋b|的值．類型三求向量的夾角例3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．反思與感悟當(dāng)求向量夾角時(shí)，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來(lái)再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是［0，π］．跟蹤訓(xùn)練3已知a·b＝－9,a在b方向上的射影為－3，b在a方向上的射影為－eq\f(3，2），求a與b的夾角θ。1．已知|a|＝8，｜b｜＝4，<a，b>＝120°，則向量b在a方向上的射影為（）A．4B．－4C．2D．－22．設(shè)向量a,b滿足|a＋b｜＝eq\r(10)，|a－b｜＝eq\r（6),則a·b等于(）A．1B．2C．3D．53．若a⊥b,c與a及與b的夾角均為60°，｜a|＝1，|b|＝2,|c｜＝3，則（a＋2b－c）2＝________.4．在△ABC中,｜eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝13，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5,｜eq\o（CA，\s\up6（→）)|＝12，則eq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是________．5．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求:(1）eq\o(AB，\s\up6(→))·eq\o（AC,\s\up6（→))；(2）eq\o（AB,\s\up6（→))·eq\o(BC，\s\up6(→）)；(3)eq\o(BC,\s\up6（→)）·eq\o（AC，\s\up6（→））.1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時(shí)），也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0，90°<θ≤180°時(shí)）,還可以為0（當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時(shí)）．2．兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái),絕不可混淆．3．在a·b＝｜a||b|cosθ中，｜b｜c(diǎn)osθ和|a|cosθ分別叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要結(jié)合圖形嚴(yán)格區(qū)分．4．求射影有兩種方法（1）b在a方向上的射影為|b|cosθ(θ為a，b的夾角），a在b方向上的射影為｜a｜c(diǎn)osθ。(2)b在a方向上的射影為eq\f(a·b,|a｜），a在b方向上的射影為eq\f（a·b，｜b｜).5．兩非零向量a，b,a⊥b?a·b＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式｜a｜＝eq\r(a2）。

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1存在夾角,不一樣．思考2如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則eq\o(BD,\s\up6(→））＝a，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°,則∠CBD＝120°，故向量a與b的夾角為120°。梳理(1)非零向量∠AOB同向反向知識(shí)點(diǎn)二思考1W＝|F|｜s|cosθ.思考2與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)．梳理(1）｜a｜|b|cosθ|a||b|cosθ（2)|a|2｜e1｜｜e2|cosθ＝cosθ知識(shí)點(diǎn)三思考1如圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝b，過(guò)B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1＝｜b｜c(diǎn)osθ.｜b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a｜c(diǎn)osθ叫作向量a在b方向上的射影．思考2由射影的定義知，二者不一定相同．梳理(1）｜b｜c(diǎn)osθ（2）|b|cosθ｜a|cosθ知識(shí)點(diǎn)四思考1向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量．思考2由兩個(gè)非零向量的夾角決定．當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)．當(dāng)θ＝90°時(shí),非零向量的數(shù)量積為零．當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù)．梳理(1）a·e｜a｜c(diǎn)osθ(2)a·b＝0(3)｜a｜（5)≤題型探究例1解（1）a∥b,若a與b同向，則θ＝0°,a·b＝｜a｜|b|cos0°＝4×5＝20;若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝｜a｜|b|cos180°＝4×5×（－1）＝－20。(2)當(dāng)a⊥b時(shí),θ＝90°,∴a·b＝｜a｜|b｜c(diǎn)os90°＝0.(3）當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os30°＝4×5×eq\f（\r(3），2)＝10eq\r（3）。跟蹤訓(xùn)練1D例2解a·b＝｜a｜|b｜c(diǎn)osθ＝5×5×eq\f（1，2）＝eq\f（25，2）.｜a＋b|＝eq\r(a＋b2）＝eq\r(|a｜2＋2a·b＋｜b|2)＝eq\r（25＋2×\f(25,2）＋25）＝5eq\r(3）.|a－b|＝eq\r(a－b2）＝eq\r(|a｜2－2a·b＋｜b|2）＝eq\r（25－2×\f（25，2)＋25）＝5.引申探究解a·b＝｜a||b|cosθ＝5×5×eq\f（1,2）＝eq\f（25，2),|2a＋b｜＝eq\r(2a＋b2）＝eq\r（4|a｜2＋4a·b＋｜b|2)＝eq\r（4×25＋4×\f（25,2)＋25)＝5eq\r（7).|a－2b|＝eq\r(a－2b2)＝eq\r（｜a|2－4a·b＋4|b|2）＝eq\r(25－4×\f(25,2)＋4×25)＝5eq\r(3）.跟蹤訓(xùn)練220例3解∵|n|＝｜m|＝1且m與n的夾角是60°，∴m·n＝|m｜|n｜c(diǎn)os60°＝1×1×eq\f(1,2）＝eq\f(1，2）。｜a｜＝|2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r(4×1＋1＋4m·n)＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1,2)）＝eq\r（7)，｜b｜＝｜2n－3m|＝eq\r（2n－3m2）＝eq\r（4×1＋9×1－12m·n）＝eq\r（4×1＋9×1－12×\f（1，2））＝eq\r（7)，a·b＝(2m＋n）·（2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1，2)－6×1＋2×1＝－eq\f(7，2)。設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f（－\f(7，2），\r（7）×