機器人動力學(xué)專題培訓(xùn)課件

本章主要內(nèi)容

（1）機器人動力學(xué)研究概述；（2）拉格朗日動力學(xué)方法；（3）操作機的動力學(xué)分析；（4）二連桿機構(gòu)的動力學(xué)分析；（5）倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)分析；（6）機器人動力學(xué)方程一般形式；（7）考慮非剛體效應(yīng)的動力學(xué)方程。2023/5/246.1

機器人動力學(xué)研究概述

2023/5/246.1

機器人動力學(xué)研究概述

本章將在機器人運動學(xué)的基礎(chǔ)上考慮到力對具有一定質(zhì)量或慣量的物體運動的影響，從而引入機器人動力學(xué)問題；機器人動力學(xué)研究機器人動態(tài)方程的建立，它是一組描述機器人動態(tài)特性的數(shù)學(xué)方程；目前主要采用兩種理論來建立數(shù)學(xué)模型：（1）動力學(xué)基本理論，包括牛頓－歐拉方程（2）拉格朗日力學(xué)，特別是二階拉格朗日方程如同運動學(xué)，動力學(xué)也有兩個相反問題（1）正問題（2）逆問題2023/5/243動力學(xué)的兩個相反問題動力學(xué)正問題：已知機械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度（即運動軌跡），主要用于機器人仿真。動力學(xué)逆問題：已知機械手的運動軌跡，即幾個關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩，用于機器人實時控制。求解動力學(xué)方程的目的，通常是為了得到機器人的運動方程，即一旦給定輸入的力或力矩，就確定了系統(tǒng)地運動結(jié)果。動力學(xué)方程的一般形式：式中分別表示力矩、力、角位移和線位移2023/5/244牛頓－歐拉方程牛頓方程……面向平動歐拉方程……面向轉(zhuǎn)動

式中Jc物體轉(zhuǎn)動慣量

ω物體角速度

τ

力矩2023/5/2456.2

拉格朗日動力學(xué)方法

6.2.1

用于保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

在《分析力學(xué)》一書中Lagrange是用s個獨立變量來描述力學(xué)體系的運動，這是一組二階微分方程。通常把這一方程叫做Lagrange方程，其基本形式為

其中，是所研究力學(xué)體系的廣義坐標；是作用在此力學(xué)體系上的廣義力；

T

是系統(tǒng)總動能。分析力學(xué)注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴大了坐標的概念。

2023/5/2466.2.2

用于非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

對于同時受到保守力和耗散力作用的、由n個關(guān)節(jié)部件組成的機械系統(tǒng)，其Lagrange方程應(yīng)為

其中，為廣義坐標，表示為系統(tǒng)中的線位移或角位移的變量；為作用在系統(tǒng)上的廣義力；是系統(tǒng)總的動能、勢能和耗散能，分別為2023/5/2476.2.3

拉格朗日函數(shù)方法

對于具有外力作用的非保守機械系統(tǒng)，其拉格朗日動力學(xué)函數(shù)L可定義為式中T——系統(tǒng)總的動能；V——系統(tǒng)總的勢能

若操作機的執(zhí)行元件控制某個轉(zhuǎn)動變量θ時，則執(zhí)行元件的總力矩應(yīng)為

若操作機的執(zhí)行元件控制某個移動變量r時，則施加在運動方向r上的力應(yīng)為

2023/5/2486.2.4

拉格朗日方程的特點

它是以廣義坐標表達的任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的；理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此建立運動方程式時只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力；Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統(tǒng)的運動方程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學(xué)量—系統(tǒng)的動能和勢能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量—廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。

2023/5/2492023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/24例6.3

操作機的動力學(xué)分析

6.3.1

操作機的動力學(xué)模型操作機的物理學(xué)模型

加上負載的操作機

2023/5/24176.3.2

建立拉格朗日函數(shù)

（1）求動能T

先對求

顯然

而于是由于根據(jù)動能的公式

2023/5/2418再對求由于

且有則得總動能

2023/5/2419（2）求勢能V

根據(jù)勢能的公式式中為垂直高度，則對于有

對于有

得總勢能

（3）求得拉格朗日函數(shù)L

2023/5/24206.3.3

廣義力的計算

（1）求力矩

繞轉(zhuǎn)動執(zhí)行元件施加的力矩

則式中第一項為慣性項，第二項為哥氏項，第三項為重力項。2023/5/2421（2）求移動力

則式中第一項為慣性項，第二項為向心項，第三項為重力項。

通過線運動執(zhí)行元件施加的直線力

2023/5/24226.3.4

應(yīng)用實例分析

例6-1

已知：對于操作機

對于下面的三種工作情況，試估算力矩。（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運動，（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉(zhuǎn)動加速度，2023/5/2423解：（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，由已知條件可得則有則2023/5/2424解：（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運動，由已知條件可得則有則2023/5/2425解：（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉(zhuǎn)動加速度，由已知條件可得則有則2023/5/2426結(jié)果分析：

(1)為重力項，通常它遠大于其它項；

(2)當時，即當手臂垂直時，，可見重力負載的變化很大；

(3)當很小時，包含的項趨于零；

(4)通常采用只包括重力項和慣性項的公式就可得到比較滿意的結(jié)果，即采用如下簡化公式

2023/5/2427例6-4：2023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/24把前面公式進行概況，有：2023/5/242023/5/246.5

倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)分析

rθ○○導(dǎo)軌小車

擺體驅(qū)動放大器計算機位角檢測倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2023/5/2446二級倒立擺系統(tǒng)平衡控制2023/5/2447除皮帶外，全部對象（擺體、小車、導(dǎo)軌等）均視為剛體；各部分的摩擦力（力矩）與相對速度（角速度）成正比；施加在小車上的驅(qū)動力與加在功率放大器上的輸入電壓u成正比，比例系數(shù)設(shè)為G0；皮帶輪與傳送帶之間無滑動，傳送帶無伸長現(xiàn)象；信號與力的傳遞無延時。

6.5.1

倒立擺系統(tǒng)與基本假設(shè)

2023/5/2448

首先介紹一下均勻桿（長度為2L，質(zhì)量為m）轉(zhuǎn)動慣量的計算。

當均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為：

由得通常給出桿相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：

所以2023/5/24496.5.2

用牛頓力學(xué)的方法來建立動力學(xué)模型

（1）小車部分

小車質(zhì)量

小車滑動摩擦系數(shù)擺體對小車作用力的水平分量

擺體對小車作用力的垂直分量N

軌道反力m0rF&0or(X)uG02023/5/2450考慮到小車只有水平方向（X）的運動，故可列寫小車運動方程m0rF&0or(X)uG02023/5/2451（2）擺體部分

L2

m1

擺體質(zhì)量

L

擺體質(zhì)心c到支點距離

F1

擺體轉(zhuǎn)動摩擦系數(shù)

J1c擺體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量

J1擺體繞支點的轉(zhuǎn)動慣量小車對擺體作用力的水平分量小車對擺體作用力的垂直分量

考慮到擺體為一平面運動體，則其運動可以分解為平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動兩部分。于是有質(zhì)心加速度＝質(zhì)心平動加速度＋繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動加速度2023/5/2452計算質(zhì)心加速度水平分量為：

垂直分量為：

列寫擺體動力學(xué)方程式（平動部分）

L22023/5/2453列寫擺體動力學(xué)方程式

（轉(zhuǎn)動部分）代入，整理可得L22023/5/2454考慮到

將代入小車方程（1），可得列寫擺體動力學(xué)方程式

（轉(zhuǎn)動部分）2023/5/2455二方程聯(lián)立，可得矩陣形式對應(yīng)于機器人動力學(xué)一般形式慣性項向心項哥氏項重力項廣義力2023/5/24566.5.3

用拉格朗日方程法建立動力學(xué)模型

應(yīng)用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，則小車和擺體的動能、勢能和耗散能分別為：

L22023/5/2457當時，當時，于是有應(yīng)用非保守機械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

2023/5/2458當時，即對小車而言2023/5/2459當時，即對擺體而言2023/5/2460于是可以得到與6.4.2相同的結(jié)果。

得到單級倒立擺的動力學(xué)方程為當考慮在不穩(wěn)定平衡點附近的線性化時，可令于是可得簡化動力學(xué)方程2023/5/24616.5.4

用拉格朗日函數(shù)法建立動力學(xué)模型

本節(jié)應(yīng)用拉格朗日函數(shù)，也可以求解這一問題。

建立Lagrange函數(shù)

L=T–V

小車部分擺體部分則2023/5/2462對于小車（r）而言（見6.2.3節(jié)）右式：左式：得第一個方程2023/5/2463對于擺（θ）而言

得第二個方程寫成矩陣形式，便得到與前兩種方法基本一樣的結(jié)果。右式：左式＝2023/5/2464平衡點附近簡化形式三種算法結(jié)果對比6.4.2

應(yīng)用牛頓方程推導(dǎo)，寫成矢量形式得

6.4.3應(yīng)用非保守機械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

6.4.4應(yīng)用拉格朗日函數(shù)法求解2023/5/2465差異來自以下兩點1轉(zhuǎn)動慣量參考點的差異當均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為：通常給出桿相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：所以2近似線性化過程（當很小時）2023/5/24666.6

機器人動力學(xué)方程的一般形式2023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/246.7考慮非剛體效應(yīng)的動力學(xué)方程需要指出的是，前面推導(dǎo)的動力學(xué)方程不能包含全部作用于操作臂上的力，只是包含了剛體力學(xué)中的那些力，而沒有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一種非常重要的力，所有機構(gòu)都必然受到摩擦力的影響。在目前機器人的傳動機構(gòu)中，例如被普遍采用的齒輪傳動機構(gòu)中，由于摩擦力產(chǎn)生的力是相當大的，即在典型工況下大約為操作臂驅(qū)動力矩的25％左右。2023/5/2475

為了使動力學(xué)方程能夠反映實際的工況，建立機器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最簡單的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩與關(guān)節(jié)運動速度成正比，因此有：

式中，v是粘性摩擦系數(shù)。另一個摩擦力模型是庫侖摩擦，它是一個常數(shù)，符號取決于關(guān)節(jié)速度，即：

式中，c是庫侖摩擦系數(shù)。當=0時，c值一般取為1，通常稱為靜摩擦系數(shù)；當不等于0時，c值小于1，稱為動摩擦系數(shù)。2023/5/2476

對某個操作臂來說，采用粘性摩擦模型還是庫侖摩擦模型是一個比較復(fù)雜的問題，這與潤滑情況及其它影響因素有關(guān)。比較合理的模型是二者兼顧，即：在許多操作臂關(guān)節(jié)中，摩