歷屆高考數(shù)學(xué)真題匯編6-不等式-理

【高考試題】

一、選擇題(共15題)

1.(安徽卷)不等式的解集是()

x2

A.(-8,2)B.(2,4-oo)C.(0,2)D.(-8,2)u(2,-H>o)

解：由一<一得：.....------<0,即M2-x)<0，故選D。

x2x22x

2.(江蘇卷)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不怛感至的是

,11

(A)\a-b\<\a-c\+\b-c\(B)cr-\—->a+—

aa

(C)|—/?|H----N2(D)Ja+3-」a+1WJa+2-

a-h

解：運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)|a—M+」-22,當(dāng)a-b〈o時(shí)不成立。

a-b

3.(江西卷)若a>0,b>0,則不等式一b<^<a等價(jià)于()

X

A.——<x<0gJc0<x<—B.——<x<—C.x<--x>—D.x<——x>—

baababba

A0或工—

x(bx+l)>0bJ1

=XY--35訃一

x(1一9)1土cba

a

2ex~',x<2,

4.(山東卷)設(shè)/'(x)=4則不等式f(x)>2的解集為

2

log3(x-l),x>2,

(A)(1,2)u(3,+8)(B)(V10,+8)

(C)(1,2)u(V10,+8)(D)(1,2)

解：令2e'T>2(x<2),解得l<x<2。令log3(/-1)>2(x>2)解得xe(癡，+°°)選

C

5.(陜西卷)已知不等式(x+y)(：+j)29對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值

為()

A.2B.4C.6D.8

解析：不等式(x-y)(-+-)>9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,j?恒成立，則

xy

1+。+士+竺之〃+2而+129,I.石絲或石W—4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)：4的最小值為4,

xy

選5

6.(陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax"+2ax+4(0<a<3),若xi<x2,xi+x2=l—a,則()

A.f(xi)<f(x2)B.f(xi)=f(X2)C.f(xi)>f(X2)D.f(xi)與f(x2)的大小不能確定

解析：函數(shù)f{x}=ax^2ax^(0<a<3),二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為％=-1,0<水3,

???汨+*2=1—(―2,1),汨與上2的中點(diǎn)在(-1,')之間，水彳2,；?彳2到對(duì)稱(chēng)軸的距離大

2

于用到對(duì)稱(chēng)軸的距離，,f(xi)〈f(x2),選4

7.(陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax、2ax+4(a>0),若x<X2,xi+x2=0,則()

A.f(xi)<f(x2)B.f(xi)=f(X2)C.f(xi)>f(X2)D.f(xi)與f(x2)的大小不能確定

解析：函數(shù)上)=加-2女7(心0),二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-l,30,

Xi+x2=O,笛與工的中點(diǎn)為0,.tX二到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于x：到對(duì)稱(chēng)軸的距離，,

兀⑴勺運(yùn))，選-4.

14

8.(陜西卷)設(shè)x,y為正數(shù)，則(x+y)?+?的最小值為()

A.6B.9C.12D.15

解析：x,y為正數(shù)，(戶(hù)。(一1+4—)21+4+v2+4—x29,選合

xyxy

9.(上海卷)若關(guān)于x的不等式(1+公)xWG+4的解集是M,則對(duì)任意實(shí)常數(shù)女，總有

()

(A)2EM,OWM；(B)2任M,0任M；(C)2￡M,OgM；(D)2庭M,OeM.

解:選(A)

方法1：代入判斷法，將x=2,x=0分別代入不等式中，判斷關(guān)于&的不等式解集是否為

R；

方法2：求出不等式的解集:

(l+k2)xWG+

4=>x<-4±^=(Jt2+l)+^--2=>X<[(^2+1)+^——2]min=2石一2;

k2+\k2+\k2+\m，n

10.(上海卷)如果。<0/>0,那么，下列不等式中正確的是()

(A)—<—(B)4-a<4b(C)a2<b2(D)|<z|>|Z?|

ab

解：如果“<0口>0,那么L<(),■!■>0,選A.

abah

11.(浙江卷)"a>b>c”是"ab<"+"”的

2

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件

解析：由4>方>0能推出他<土土匕；但反之不然，因此平方不等式的條件是

a,beR.

12.(浙江卷)“a>0,b>ff'是“ab>0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件

解：由“a>。,b>ff'可推出“ab>0”，反之不一定成立，選A

13.(重慶卷)若a,b,c>0且a(a+〃c)+6c=4-2則2a+9c的最小值為

(A)V3-1(B)73+1(C)273+2(D)273-2

解析：若a立c>0且a(a+6+c)+bc=所以才+ab+ac+bc=4-26，

A-2*=az+ab+ac+bc=：(4a'+4ab+4ac+26c+2bc)<+4a5+4ac+2i>c+d:+c:)

(273-2):<(2a+b+cY，則(2a+6+c注2癢2,選D.

14.(重慶卷)若a,b,c>0且a：+2ab+2ac+4bc=12,則a+b+c的最小值是

(A)2G(B)3(C)2(D)G

解：(a+6+c)2=a+c+2ab+2ac+2bc=12+(6—c)2>12,當(dāng)且僅當(dāng)6=c■時(shí)取

等號(hào)，故選A

15.（上海春）若a、b,ceR,a>h,則下列不等式成立的是（）

IIcc67h

（A）（B）a2>b2.（C）（D）a|c|>6|c|.

abc2+1c2+1

解：應(yīng)用間接排除法.Wa=Lb=O,排除A.取a=O,b=l,排除B:取c=0,知滁D.故

1Q1ab

應(yīng)該選C.顯然,對(duì)不等式a>b的兩邊同時(shí)乘以方I,立得聲77KT

成立.

二、填空題（共6題）

16.（江蘇卷）不等式1082。+,+6）43的解集為—

X

1,x+—<2

【解析】log；*<3=log；.0（xH---1-6<8><

xH—+6>0

.X

解得Xw(-3--3+28)u{1}

17.（上海卷）三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式/+25+I/—5/120c在[1,⑵上恒成

立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是.

解：由/+25+I——5/|'ax,l<x<12=^a<x+—+|X2-5X|,而

x+g22卜哼=10,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=5e[l,12]時(shí)成立；且|*2一5刈20,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

2

x=5e[l,12]時(shí)成立;所以，a<[x+^+|x-5x|]111in=10,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=5e[1,12]時(shí)成

立；故ae（—8[0]；

18.（天津卷）某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)X噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一

年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則”=

噸.

解：某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)X噸，則需要購(gòu)買(mǎi)出次，運(yùn)費(fèi)為4

X

萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為——4+4%萬(wàn)元,

x

—?4+4x^160,當(dāng)必其=4%即尤=20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小。

XX

r4-1

19.（浙江卷）不等式二^>0的解集是_______________

%—2

Y-4-1

解：---->0<=>（x+1）（x—2）>0=x<—1或x>2.

x—2

20.（上海春）不等式匕在>0的解集是___________________________.

X+1

解：應(yīng)用結(jié)論：*不等式三空等價(jià)于（L2x）（x-l）>0,也就是

卜―所以從而應(yīng)埴｛"卜一后“立

21.（上海春）已知直線/過(guò)點(diǎn)P（2,1）,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形。48面積的最小值為.

解：設(shè)直線1為三+3-igAOQA。），則有關(guān)系曰+對(duì):+應(yīng)

用2元均值不等式，得十嘿小涯,即ab>8.于是，△OAB面積為

s=從而應(yīng)填4.

三、解答題（共1題）

22.（湖南卷）對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度（含污物體的清潔度

污物質(zhì)量

定義為：1一心-山）為0?8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,

物體質(zhì)量（含1污物）

方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?/p>

yInO

a（lWaW3）.設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是七*用y質(zhì)量的水

x+\

第二次清洗后的清潔度是24,其中c（0.8<c<0.99）是該物體初次清洗后的清潔度.

y+a

（I）分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少；

（II）若采用方案乙，當(dāng)。為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最

少?并討論。取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.

yIAQ

解：（I）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為X與z,由題設(shè)有土23=0.99,解得x=19.

x+1

由C=0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程:

.v+0.95y=099,解得y=4a,故z=44+3.即兩種方案的用水量分別為19與

y+a

4ci+3.

因?yàn)楫?dāng)1WaV3時(shí),x-z=4（4—。）>0,即龍〉z(mì),故方案乙的用水量較少.

?1）謝瞰6ndima用水盤(pán)分胃為勺潮⑴得

x-499-lOOc)(")

Ki-c)

丁星氏-j----**?(??-1。。€0--77^----1。0?(1一。一*一1

5(1-G>Q-c)

久口)—琮—

當(dāng)d…扃100Q—C1=P±-1r

當(dāng)且儂二一=loo紙1f時(shí)審州說(shuō)儂

$Q-c>

。=1+—^=(不令S意.舍新或，:=1--=F(08.099).

]0匹10病

得"康向⑴切E4T>"Lj=

麓c=l小時(shí)總用水室■少此時(shí)第一次與第二次用水室分如為

京后-I與斯-?、最少總用刎E是:?。℅=—a7西-L

當(dāng)1而M時(shí)J⑷=￥-1>0款TS是?鼻也項(xiàng)嫻』￡*?]畫(huà)管-

這第的曼蝴用水就金蝴職①。總用水，

[2005高考試題】

選擇題:

1.（福建卷）不等式生1>0的解集是

(A)

3x+l

A.{x|x<--^x>-}B.{x|--<%<-}

C.{x|x>1}D.{x|x>-1}

2.（福建卷）下列結(jié)論正確的是(B)

A.當(dāng)x>0且xw1時(shí),lgx+—!—22B.當(dāng)x>0時(shí)，五十—^22

IgxJx

c.當(dāng)x22時(shí),x+，的最小值為2D.當(dāng)0<x<2時(shí)，無(wú)一工無(wú)最大值

XX

3.（湖北卷）對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題：

①“4=?！笔?ac=bc”充要條件；②“。+5是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的

充要條件③aa>bn是“才》廬，的充分條件;④“水5”是“水3”的必要條件.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（B）

A.1B.2C.3D.4

4.(遼寧卷)6.若log”匕三<0,則a的取值范圍是(C)

1+a

A.(1-rto)B.(L+x)C.(11)D.(0.A)

5.(遼寧卷)在R上定義運(yùn)管@:x③J=—若不等式(x-a)&(x+a)<l對(duì)

任意實(shí)數(shù)x成立，則(C)

[33]

A.-1<a<1B.0<a<2C.--<a<—D.——<a<—

6.（全國(guó)卷I）設(shè)0<a<l,函數(shù)/（x）=log“（a2-'-2優(yōu)一2）,則使/（x）<0的x的取值

范圍是（B）

(A)(一8,0)(B)(0,+8)(C)(-oo,log?3)(D)(log.3,+8)

7.(山東卷)0<a<l,下列不等式一定成立的是(A)

(A)|logu+a)(l-a)|+|log(1_(I)(l+a)|>2(B)|log(1+a)(l-a)|<|log(1_a)(l+a)|

(C)|log(l+a)(l-a)+10g(l-a)(l+a)|<|10g(l+a)(l-。)|+gg(+?)|

(D)|log(I+<l)(l-a)-log(I.a)(l+a)\<|log(l+u)(l-a)|-|log(1.a)(l+a)\

8.(天津卷)9.設(shè)廣U)是函數(shù)/(x)=；(優(yōu)-/,)伍>1)的反函數(shù)，則使/T(X)>1

成立的x的取值范圍為(A)

a2-1a2-1a2-1

A.B.(-00,——)c.,a)D.口,十回

2a2a2a

9.(天津卷)已知log16Vlog]avlog,c,則

222

A.2b>2">2cB.2a>2b>2cC.2c>2b>2*D.2c>2a>2b

\\x-2\<2

10.（重慶卷）不等式組《'的解集為（C）

log2（X-1）>1

（A）（0,V3）;（B）（右,2）；（0（V3.4）;（D）（2,4）。

11.（江西卷）已知實(shí)數(shù)a、6滿足等式（W『=d）、下列五個(gè)關(guān)系式：

①0vb<a②”次。③03b④⑤戶(hù)匕

其中不可能成立的關(guān)系式有（B）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

埴空題：

7.（全國(guó)卷I）（13）若正整數(shù)m滿足10-vZShvlO"5,則m=⑤.

Qg2V0.3010）

解答題：

1（湖北卷）22.（本小題滿分14分）

己知不等式2+-+-?-+->-[log2〃],其中〃為大于2的整數(shù)，[log,n]表示不超

23n2

過(guò)log?”的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)為正，且滿足

77/7

4=貼>0）,/W-“=2,3,4,…

2b

(I)證明an<,“=3,4,5,…

2+用og?n]

（II）猜測(cè)數(shù)列｛a“｝是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；

（III）試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)〃〉N時(shí)、對(duì)任意力0,都有

"5

解：（I）證法1：?.?當(dāng)（22時(shí),0<a,W/八,；.-!-.〃+=J_+,,

〃+a,ia?na,,_｝an_｝n

即^-----—

a.〃

于是有J__L〉_LJ__L>1J__L〉_L

—c，-一

a?Q]2a?a?3dn。〃一1九

所有不等式兩邊相加可得------->---1-------F???d.

an423n

由已知不等式知，當(dāng)n23時(shí)有，-——->-[log,?].

a.%2

」+為%〃]=2+2],/<2b

2

anb22b"2+/?[log2/7]

證法2：設(shè)/(〃)=：+1+…+工，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式

23n

%<-----------.w=3.4.5.???.

n1+f(n)b'…

+3,3b

⑴當(dāng)n=3時(shí),

3+%3+]3-季+1】+“3)6

生2al

知不等式成立.

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k>3)時(shí)，不等式成立，即怎<---------

1+JW

(左+1)。七_(dá)k+1k+1

工而k四工…

q.b

*+1)6_________b_b

6+1)+伏+1)/(左?+b=]+b(幻+J)6=]+f&+

k+1

即當(dāng)n=k-l時(shí)，不等式也成立.

由(i)、(ii)知，a?<------------,〃=3,4,5,….

1+/W

11

又由已知不等式得an<——--------=-----------——,n=3,4,5,….

l+1[log2H]/72+叩。g2〃]

(II)有極限,且lim%=0.

(III)???

2+/?[log2n][log2n][log2n]5

10

則有l(wèi)og2n>[log2n]>10,nn>2=1024,

故取N=1024,可使當(dāng)n>N時(shí)，都有a“<L

"5

[2004高考試題】

1.(2004年遼寧卷)對(duì)于0<。<1,給出下列四個(gè)不等式

①log.(1+a)<log?(1+-)②log?(1+a)>log?(1+-)

aa

i+li

③?al+<,>al++°

其中成立的是(D)

A.①與③B.①與④C.②與③D.②與④

2.(2004年浙江卷)設(shè)z=x-y，式中變量x和y滿足條件]:。則z的最小值為

(A)

(A)l(B)-l(C)3(D)-3

3.(2004年重慶卷)不等式x+二一>2的解集是(A)

x+1

A.(-L0)U(L+x)B.(-8L1)U((M)

C.(-L0)U(0.l)D.(-x:-l)U(l:+x)

4.(2004年天津卷)不等式上」22的解集為(A)

x

A.[-1,0)B.[-1,+8)

C.(-OO,-1]D.(-OO,-1]U(0,+8)

5.(2004年重慶卷)一元二次方程ar2+2x+l=0,(aH0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充

分不必要條件是：(C)

A.a<0B.a>0C.a<—1D.a>1

6.(2004年重慶卷)若｛6J是等差數(shù)列，首項(xiàng)q>0,%)03+。2004>°，。2003々2004<0，

則使前n項(xiàng)和5“>0成立的最大自然數(shù)n是：(B)

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.(2004年北京卷)已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中不一定成

立的是(C)

A.B.C.D.ac（a-c）<0

8.（2004年湖北卷）函數(shù)/"）=/+]08“（工+1）在[0刀上的最大值和最小值之和為a,

則a的值為（B）

A.-B.-C.2D.4

42

9.（2004年湖北卷）若一<,<0,則下列不等式①<。。；②|a。③a</?；

ab

b（i

④巳+?>2中，正確的不等式有（B）

ab

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（2004年湖南卷）設(shè)集合U={（xv）|xe2tys2?）:J={（xy）\2x-y-m>0},

5={（xj）|x-jf40}，那么點(diǎn)P（2,3）waD（G.3）的充要條件是（A）

A.m>-L?<5B.w<-1/7<5

C.w>—Lw>5D.w<-Ln>5

11.（2004年湖南卷）設(shè)a>Qtb>0：則以下不等式中不怛反立的是（B）

A.（a+6）（-+-）>4B.a3+i3>2ab2

C.2a+2bD.Ja-b2

12.（2004年福建卷）命題p：若a、beR,貝ij|a|+|b|>l是|a+b|>l的充分而不必要條件；

命題q：函數(shù)y=X-11-2的定義域是（—8,—1]U[3,+8）.則（D）

A."P或q”為假B.“p且q”為真

C.p真q假D.p假q真

222

13.（2004年全國(guó)卷I）a+?=1廳+c=29C+?=2,則必+Ac+c。的最小值為

（B）

A.V3——B.——y/3C.———V3D.—+V3

2222

14.（2004年全國(guó)卷IH）不等式必卬辿<0的解集為（A）

九一3

A.{%|xV-2,或0<x<3}B.{x|-2<x<2,或無(wú)>3}

C.{刀|犬<一2,或x>0}D.{x|x<0,或％<3}

(x+l)2,x<l

15.(2004年全國(guó)卷IV)設(shè)函數(shù)./'(%)=/，，貝II使得/(x)21的自變量x

4-ylX-l,X>1

的取值范圍為(A)

A.(-co,-2]U[0,10]B.(-oo-2]U[0,l]

C.(-oo,-2]U[l,10]D.[-2,0]U[1,10]

16.(2004年全國(guó)卷IV)不等式1<卜+1]<3的解集為(D)

A.(0,2)B.(-2,0)U(2,4)C.(-4,0)D.(-4-2)U(0,2)

17.(2004年全國(guó)卷I)不等式A-2>.v的解集是_｛丫.它一1｝.

18.(2004年浙江卷)已知/(x)=｛書(shū)則不等式x+(x+2)./(x+2)<5的解集是

(*]一

19.(2004年北京卷)在函數(shù)f(x)=ax：+bx+c中，若a,b,c成等比數(shù)列且/(0)=-4,

則f(x)有最大值(埴?大展“小)且該值為-3.

20.(2004年全國(guó)卷IV)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800〃/的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿

左.右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1〃?寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3加寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊

長(zhǎng)各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

本小題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的

能力.

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am,后側(cè)邊長(zhǎng)為bm,則ab=800.

蔬菜的種植面積S=(a-4)(/?-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2h).

所以SW808—4缶1=648(機(jī)2).

當(dāng)a=2b,BPa=40(m),Z?=20(加)吐S最大值=648(〃尸).

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m,后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植

面積為648m；

2L(2004年全國(guó)卷IY)己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S“=2%+(-

(1)寫(xiě)出數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)。］,“2，。3；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1117

(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)〃？>4,有「-+」-+-+」—<」.

%?5冊(cè)8

本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及不等式的證明.考查靈活運(yùn)用

數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

(I)解：由%=$=2/一1,得41=1.

由a1+生=S：=2al+(T)<得生=0

由a1+生+a；=S3-2a3+(—得a：—2.

(II)解：當(dāng)”之2時(shí)，有

a“=S”￡—+2x(-1)、4=2磔+2x(-1產(chǎn)，

=2a+9...a：=-2.

所以a,=215-1aj+2^x(-1)+2>>2x(-1):+.-?+2x(-1)

=2M+(-1)"［(-2嚴(yán)+(-2產(chǎn)+-+(-2)］

汨-2”(-2嚴(yán)］

=2-(-1)-----；-----

3

=52一+(-1嚴(yán)］.

3

經(jīng)驗(yàn)證公也滿足上式，所以a,=

3

(III)證明：由通項(xiàng)公式得%=2.

當(dāng)〃23且n為奇數(shù)時(shí),

??風(fēng)向22-2+12'1-1

32"T+2"<

=-x—

222"-3+2"-1_2"-2_]

/?-!_|_2n-2

32=j(-1

<—x—

222,1-3n-2

當(dāng)相>4且機(jī)為偶數(shù)時(shí)，—+—+?-?+—

4%a,n

1311137

倉(cāng)J\

-+-f!<-+-=-

224(1-r4/288

、1，(口乂天皿nL11111117

當(dāng)利>4.LL/n為奇數(shù)時(shí)，---1---1-…4-----<----1----F,??4-----1------<一.

%%am。4。5%冊(cè)+18

1117

所以對(duì)任意整數(shù)m>4,有---1----F,,-H----<—.

a4a5am8

22.(2004年江蘇卷)已知函數(shù)f(x)(xeR)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x”x?都有

2

k(x,-x2)<(x,-x2)[f(xi)-f(x2)]

和|/(X|)-/(*2)|4|a-*21，其中入是大于0的常數(shù).

設(shè)實(shí)數(shù)ao,a,b滿足/(iz0)=0^Ab=

(I)證明入41,并且不存在瓦X劭，使得/優(yōu))=0；

(II)證明(6—40)2W(1—入~)("—“0)2；

(皿證明"(切2《(1_入2)"3)]2

本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力滿

分14分.

:

證明：⑴任取項(xiàng),與u凡天工程則由z(xj-x;)<(Xi-x;)[/(x1)-/(?a)]

和/項(xiàng)-W1②

Z

可知Z(XI-X2)<(X1-XjX/Cx^-yCx,)]^X1-X2\-\/(X1)-/(X,)|<^!-X：『，

從而Z<1.假設(shè)有b0H45使得/(4)=0,則由①式知

o<如o-幼：幺%-4)[/Q)-/也)]=o矛盾

.?.不存在4工4”使得/(4)=0.

(II)由6="一"(。)③

2222

可知(b-a0)=[a-a0-"⑷了=(a-a0)-22(a-a0)f(a)+A[f(a)]

④

由/(。0)=0和①式,得他一。0)/(。)=(。-。0)"伍)一/伍0)]?”"。0)2

⑤

由/(%)=0和②式知，"(a)]2="(a)-/(%)『《伍-『)2⑥

由⑤、⑥代入④式，得仍一劭/W(a-%)2-2矛(a-%)?+矛僅一%)2

22

=(1-A)(a-a0)

(III)由③式可知=[/(i)-/(a)+/(?)]:

="S)-AM+2/(a)[/(i)-/(a)]+[/(a)]2

<(i-a):-2—[/(6)-/(a)]+[/(a)]2(用②式)

z

=萬(wàn)"⑷『一2e-a)"(6)—f(a)]+"(a)『

x

<z2[/(a):--z-(h-a):+[/(a)]:(用①式)

A

=廣丁(a)f-21V(?)f-WGf

=(1-Z-)[f(a)f

23.(2004年湖南卷)如圖，直線4:y=依+l-k(ZH0,ZH±；)與/2：>=+；相交于

點(diǎn)P.直線上與x軸交于點(diǎn)P”過(guò)點(diǎn)R作x軸的垂線交直線小于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作y軸的垂線交

直線上于點(diǎn)Pz,過(guò)點(diǎn)Pz作x軸的垂線交直線A于點(diǎn)@,…，這樣一直作下去，可得到一系列

點(diǎn)Pi、Qi>P2>Qz,…，點(diǎn)Pn(n=l,2,―)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛x“｝.

(I)證明居M-l=](x,,-l),〃eN*；

2K

(II)求數(shù)列｛x“｝的通項(xiàng)公式；

22

(III)比較2|PP?|與4公|PR|+5的大小.

(I)證明：設(shè)點(diǎn)P”的坐標(biāo)是(x“，y”)，由已知條件得

點(diǎn)Q“、Pn+l的坐標(biāo)分別是:

,11、，11、

(X“，5X“+/)，(X"+l'5x“+5)，

由Pn+i在直線Z上,得一x4—=kx.+1—k.

22

所以：(％T)=Z(X"+iT)，即居+i-1=二(乙-l)，〃eN*.

22k

(II)解：由題設(shè)知用=1一L七一1=一,。0,又由(I)知x?+1-l=—U?-l).

%氏2,k

所以數(shù)列｛x“-1｝是首項(xiàng)為玉-1,公比為1-的等比數(shù)列.

2k

從而x“-l=-：x(1)"T,即招=I_2X(1)",〃WN*.

K2k2k

fy=kx+l-k：

(III)解：由11得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(b1).

卜=二+歹

所以2【理『=2(4—1)2+2(K+1-k—1)，=8X(二產(chǎn)+2(3):一，

2k2k

4k2尸耳+5=U:[(1---1):+(0-l):]+5=4fr:+9.

k

⑴當(dāng)[月＞3即左＜一:或上＞W(wǎng)時(shí)，4好PPx1：+5＞1-9=10.

而此時(shí)04工＜1：所以21尸衛(wèi).『＜8x1+2=10故2尸E|：＜4二|產(chǎn)式『+5.

2k

22

(ii)當(dāng)0＜|幻＜3即無(wú)e(一、,0)u(0」)時(shí),4kPPXI+5＜1-9=10.

zz2

而此時(shí)」＞L所也I尸匕『＞8x1+2=10故2PP?\＞4k\PP1+5.

2k

24.(2004年福建卷)某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)

能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今

年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，

第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為