華中師大《線性代數(shù)》練習(xí)測試題庫及答案4096

華中師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院《線性代數(shù)》練習(xí)測試題庫及答案一.選擇題0a000100a21、（B）000an100a0nA.(1)naaaB.(1)n1aaaC.aaa12n12n000012n0aa02、n階行列式（B）0aa00000n(n1)A.anB.(1)anC.(1)nan2123、（B）＝nn(n1)A.(1)nn!B.(1)C.(1)n1n!n!24、A是n階方陣，m,l是非負(fù)整數(shù)，以下說法不正確的是（C）A.(Am)lAmlB.AmAlAmlC.(AB)mAmBm.5、A、B分別為mn、st矩陣,ACB有意義的條件是（C）（C）A.C為mt矩陣；B.C為nt矩陣；C.C為ns矩陣6、下面不一定為方陣的是A.對稱矩陣.B.可逆矩陣.C.線性方程組的系數(shù)矩陣.127、的伴隨矩陣是（A）01121012C.A.B.012101A0（其中A、B為可逆矩陣）的逆矩陣是8、分塊矩陣（A）0B0B00A1B1A.B.C.0B00AA119、線性方程組AxbA.r(A)r(Ab)A的列數(shù)有唯一解的條件是（A）B.()().C.r(A)r(Ab)A的行數(shù)rArAbaxxx1123xaxxa10、線性方程組有唯一解的條件是（A）123xxaxa2123a1,2B.a1或a2.a1A.C.11、＝（2，1，3），＝（4，5，0），(4,2,6)則下面向量組線性無關(guān)的是（B）B.，C.，A.，，012、設(shè)A為正交矩陣，下面結(jié)論中錯誤的是A.AT也為正交矩陣.B.A-1也為正交矩陣.（C）C.總有A113、二次型fx,x,x,x,x22xx4xx3x2的矩陣為（C）1234112233110012011010202300204B、102A、C、430023000014、設(shè)r是實二次型f(x,x,,x)的秩，p是二次型的正慣性指數(shù)，q是二次型12n的負(fù)慣性指數(shù)，是二次型的符號差，那么（B）sA.rpq；15、下面二次型中正定的是（B）A.f(x,x,x)xxB.f(x,x,x)x22x2x3B.rpq；C.spq；21231212312C.f(x,x,x)x22x21231216、設(shè)A，B為n階方陣，滿足等式AB0，則必有（(A)A0或B0;(B)AB0；）（C）A0B0;(D)AB017、A和B均為n階矩陣，且(AB)2A22ABB2，則必有（(A)AE；(B)BE；（C）AB.ABBA。或。）(D)18、設(shè)A為mn矩陣，齊次方程組Ax0僅有零解的充要條件是（）(A)A的列向量線性無關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；（C）的行向量線性無關(guān)；AA(D)的行向量線性相關(guān).nA19、階矩陣為奇異矩陣的充要條件是（）nA(A)的秩小于；(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、判斷題1、若行列式主對角線上的元素全為2、A與B都是3×2矩陣，則A與B的乘積也是3、A是3×2矩陣，B是2×3矩陣，則4、A是mn矩陣，B是ns矩陣，則AB是ms矩陣0，則此行列式為3×2矩陣。0.（）（）A與B，B與A都可以相乘。（）。(）5、設(shè)A、B是同階(AB)A5B5（）方陣，則56、設(shè)A、B是同階由ABO，可得到AO或BO.（）方陣，則0A0A117、設(shè)A、B是同階可逆方陣，則（）B0B011024024308、設(shè)A，則4A.（）13010210210.（）01101A9、設(shè)，fxx1，則fA01110、行階梯形矩陣中非零行的個數(shù)就是它的秩.（）（）11、設(shè)n階矩陣A滿足A22A3E0，則秩A=n.如果向量組,,,線性相關(guān)，那么其中每一個向量都是其余向量的1212、n線性組合.（）（）13、如果A是正定矩陣，那么A1也是正定矩陣.（）14、二次型6x25x27x24xx4xx正定.123121415、特征多項式相同的矩陣相似.（）三、填空題1、按定義，5階行列式有120項，其中帶負(fù)號的有60項.2、(14532)5.3、(54321)10.1234、行列式D231=-18.312323150-113.5、行列式6120a06、行列式Db0c=0.0d0k127、2k10的必要充分條件是k-1且k31x13如果A=B，則x=3y=-2y08、設(shè)A,B20acac9、設(shè)A,B,則A+B=,bdbd35433562910、設(shè)A121,B211，則A+B=3101414A11則-A=1111、設(shè)252512、設(shè)A132336,B，且AXB，則X=02151311，則A21213A30113、設(shè)A01011210111.A321,B1014、則AB=5303315、設(shè)A＝51315391801221，AB，B＝0，則-3A＝04771116、設(shè)A＝5011503，AB＝412621-7，B＝2，則3A＝4271127431011110117、A321,B10則AB=,53BA=039634481218、設(shè)A＝123，B＝2，則BA246，AB8。000019、設(shè)A是3階矩陣，且A4,，則A*16.20、E1.n2E2n.E1nnnd121、設(shè)Dd2，D是可逆矩陣的條件是ddd012ndn22、設(shè)A31356203,A第在2列加上第1列的3倍，在第3列上加上第4列的2倍B,則B=0403B1020111A11123、a0,010101所作的初等變換是將A的第1a表示對矩陣列的1a倍加到第2列.12324、(2,1,1,4),(4,2,0,7),(2,1,1,3),則秩,,2.1232xx4x01234xaxx4有唯一解的充要條件為a2.25、線性方程組1232xx3x11232xx4x2x2x61234x2x8x4的解為26、線性方程組.21x21232xx5x43123xxa1100001100121xxa23227、線性方程組xxa的系數(shù)矩陣為00110，此方343xxa0001145410001xxa515程組有解的必要充分條件為aaaaa1.1234512328、(2,1,1,4),(4,2,4,5),(2,1,5,1),則秩,,2.12329、方陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).(,,,)經(jīng)過可逆線性變換xCy化為二次型30、設(shè)二次型fxxyBy，那么矩陣B=CAC.xxAx12n31、若4階矩陣A的行列式A5，A32、A為nn階矩陣，且A2A2E0，則(A2E)1是A的伴隨矩陣，則A=。。121x1123a2x321a2x4無解，則a33、已知方程組3f(x,x,x)2x23x2tx22xx2xxt34、二次型圍是13是正定的，則的取值范12312312四、計算題11111、計算n階行列式Dxxxx1234xxxx21222324xxxx41424344答案：D(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xxxx)121314232434123451112、計算151111511115811111111111答案：解85111511040051288815111510040811511150004xy00xy00003、計算n階行列式D00x00.000xyy000x答案：解按第1列展開得Dxn(1)yn1n124、按定義求D的值。n1答案：D1a1nnn!rnn121aa21n2n1n101000200005、按定義求D的值。0000n1n00001答案：D1a1nnn!rnn121aa21n2n1n1a111111a6、求n階行列式D11an111a答案：Dn1aa1n1n12347、求D234134124123答案：D=3601018、行列式A120的余子式M,M,M13u12132答案：M204，M102,M125321213111213aa00120b009、計算行列式200cc3400d03答案：將行列式按第1列展開b002ccabcd412d0原行列式a10ccab33412430d03343710、計算行列式126425306427343125答案：將此行列式第2行加到第3行，就變成一個范德蒙行列式。原行列式114317111143715525423272537454735357169492642734312543337353139481210368annana1nann1a1an1n111、計算行列式an2a2aa12a1an111答案：這不是一個范德蒙行列式，但如果將首行與末行對換，第二行與倒數(shù)第2n行對換，…，就得到范德蒙行列式，當(dāng)n為偶數(shù)時，對換交數(shù)為，當(dāng)n為奇數(shù)2n1次，時，對換次數(shù)為綜合有：2111aa1ana1anjinn1a22nn121原行列式1221jin1a1anan111nnana1annn765432978943D74970012、計算行列式536100005600006800答案：按5，6列展開得：74975361D321561243005600687456468第二個行列式按1,2行展開11531121212113、A310是否可逆？若可逆，求A1102答案；因為A90，所以A可逆。241999A11A19A211A3335129992101314、求矩陣A31的逆矩陣.221671121A1342答案：541220001200015、矩陣A00800是否可逆？若可逆，求它的逆。0003000011A1可將A寫成AA2A3其中A22,A8,A30，A20,A80,A30,所以A12123123可逆。1110131經(jīng)計算A11,A1,A1181232131100011000200A11001所以A1A1281A130000300011332x5x16、用公式法解方程組5xx171212答案；x3,x212＋xxxx51234x2xx4x217、解方程組12342x3xx5x212343xx2x11x012341x1x＝2答案:2x＝33x＝1418、解線性方程組xxxx2512342x4xxx412343x6xxx121234答案:對線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換121151211512002A2411400336001133611120011300003方程組無解。25x12x4xxx4xxx23419、解線性方程組12343x6xx2x121234答案：對線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換121151211512003A241140033600101(3)(1)(2)(2)2(1)36121200011001232xx132x1對應(yīng)的線性方程組為3x1432kx132kxkk11解得，其中k為任意常數(shù),解或表示為，其中k為任意常數(shù)。2x13x1430811220、知A316,B134，，求解XY，使得AX=BYA=B205205答案：50811211550214XA1B31613410040,YBA14232054219200312030071421、按矩陣秩的定義求A28418的秩。3121132431140，但所有三階子式全部為零，所以秩A=2。答案：A有二階子式2xx5xx3xx812346x9422、根據(jù)克蘭姆法則求解線性方程組122xx2x5234x4x7x6x01234答案：27,81,108,27,27，再根據(jù)克蘭姆法則求1234得x＝3，x＝-4，x＝-1，x＝11234xx023、為何值時齊次線性方程組有非零解12xx0121210，所以，這答案：方程組有非零解，必有系數(shù)行列式D111或時xx2012x3x024、解線性方程組235x03答案：只有唯一的零解。112325、設(shè)Ab,,62241）求Ax=0的基礎(chǔ)解系；2）求Axb的一個特解，并寫出解集；12AAx0答案：1）秩1,1,0的基礎(chǔ)解系10213xx2x3得的一個特解0,Axb的解集為02）由Axb1231231S0k1k0|k,kP1121120026、求矩陣A31的全部特征值和特征向量.51答案：IA02，的根為，241111解(4IA)x0得對應(yīng)于4(c0)是對應(yīng)于的特征向量是，所以c1114的全部特征向量.1的特征向量是，所以5512解(2IA)x0得對應(yīng)于2(c0)是對應(yīng)c22的全部特征向量.于46027、求矩陣A350的全部特征值和特征向量。361答案：全部特征值為-2，1（二重），1對應(yīng)于-2的全部特征向量為1,(c0),對應(yīng)于1的全部特征向量為c1201c1c0,(c,,c不全為2零.）121056328、求矩陣A101的全部特征值和特征向量.121答案：IA0的根為1232，解(2IA)x0得兩個線性無關(guān)的特21征向量1和0，0121因此對應(yīng)于2的全部特征向量為.c1c210（cc不全為0）1231,201129、設(shè)X1AX511211答案：AX51,則X511X111211230、設(shè)實二次型f(x,x,x,x)2xx6xx6xx2xx，412341213243（1）寫出該二次型的矩陣；（2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出變換的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形。答案：解（1）0130x11003xf(x,x,x,x)(x,x,x,x),23001x0310x1234123434該二次型的矩陣為013010033001A.0310（2）|A|(24)(216),4A的特征值2,2,4,4.123解線性方程組(EA)x0,(i1,2,3,4)，得基礎(chǔ)解系i111111111234,,1,.11111111234它們兩兩正交，再將它們單位化為,,,，令T(,,,),則123411111111T1,211111111xTy224y4y.原二次型經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形yy12341x111111x131、計算行列式D1111y111y132、計算n階行列式x3xxn12xx3x2Dn1nx1xx32n200A032，求一個正交矩陣33、設(shè)P使得PAP為對角矩陣。1023xxx0123x2xax0與方程組x2xxa1有公共解。34、已知方程組123123x4xa2x0123求a的值。四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知，，是它的三個解向12335、設(shè)量，且23121，343254求該方程組的通解。五、證明題a0b00xy0adbcxwzy1、證明c0d00z0w答案：按行列式將1，3行展開得a0b00x0yab11313xyabxy右邊zwcdzwc0d0cd0z0waaa012n0b1100b21nnabii2、求證011j1001bn答案：把第2行乘a全部加到a，第3行乘a，……，第n+1行乘12n第1行，再按第1行展開，可證。n階方陣，證明AEEAA2AAkEk13、設(shè)是A答案：AEEAA2Ak1AEAA2Ak1EEAA2Ak1AA2A3Ak1AkEAA2Ak1AkE4、證明：如果向量組（A）可由向量組（B）線性表示，那么（A）的秩不超過（B）的秩.答案：證明向量組（A）的最大無關(guān)組可由向量組（A）可由向量組（B）線性表示；又向量組（B）可由向量組（A）的最大無關(guān)組可由向量組（B）的A）的秩不超過（B）的秩A）線性表示；由已知，B）的最向量組（大無關(guān)組線性表示，由傳遞性，向量組（最大無關(guān)組線性表示，所以（.5、設(shè)向量組,,,線性無關(guān)，可由,,,線性表出，試證明由12n12n,,,表出的組合式是唯一的。12nnk'則nn答案：證明設(shè)kkk又設(shè)k'k'n11221122(kk')(kk')(kk')0111222nnn由于,,,線性無關(guān)，故'(1,2,,)，即由,,,表出的kkin12nii12n組合式是唯一的。6、設(shè)A為n階方陣，且A+秩（AA，試證：秩A—E）=n。2答案；證明：由定理14秩（Ａ）＋秩（Ａ－Ｅ）＝秩Ａ＋秩（Ｅ－Ａ）≥秩（Ａ＋Ｅ－Ａ）＝秩Ｅ＝ｎ由問題２結(jié)論。由Ａ（Ａ－Ｅ）＝０，有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）≤ｎ綜合有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ,,7、設(shè),,線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)。3答案；證明：設(shè)kkk0123即kkkkk013122因a,,線性無關(guān)，故kk0,kk0,kk0131223所以kkk01232348、若向量組,,線性相關(guān)，向量組,,線性無關(guān)。證明：12323(1)能有,線性表出；1123(2)不能由,,線性表出。49、設(shè)是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且f(A)(EA)(EA)。AnEnAE1證明(Ef(A))(EA)2E；（1）（2）f(f(A))A。華中師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院《線性代數(shù)》練習(xí)測試題庫參考答案一.選擇題1、B；2、B；3、B；4、C；5、C；6、C；7、A；8、A；9、A；10、A；11、B；12、C；13、C；14、B；15、B。16、C17、D18、A19、A二、判斷題1、；2、；7、；3、；8、；4、；5、；6、；9、；10、；14、；15、。11、；12、；13、；三、填空題1、120，60；2、5；3、10；4、-18；5、-113；ac6、0；7、k-1且k3；8、3，-2；9、；,bd1436；1362910、；11、310；12、112512131113、，；14、；53010115391815034；-715、＝，；16、，AB＝3A＝12621012217743481211；18、246，8；19、16；17、101,5396300020、1，，；22、B0403；；21、1nddd010202n12n23、將A的第1列的1a倍加到第2列；24、2；25、a2；11000011000011026xx26、21；27、，1；aaaaax2312345000111000128、2；29、線性無關(guān)；30、。CAC31、-125;、；3233、-1；、t3。3425四、計算題1、D(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xxxx)1213142324341234811111111111851181511804005122、解8151811511511115004000043、解按第1列展開得Dxn(1)n1yn124、D21aa1n2n1rnn111annn!n!n1125、D21aa1n2n1rnn1ann1n11n16、Dn1aa1n7、D=36020102,M12513138、，11M4M1232129、將行列式按第1列展開b002ccabcd34原行列式a0ccab12d013412430d03310、將此行列式第2行加到第3行，就變成一個范德蒙行列式。原行列式11431711114371552542327253745473535716949264273431254333735313948121036811、這不是一個范德蒙行列式，但如果將首行與末行對換，第二行2行對換，就得到范德蒙行列式，當(dāng)n為偶數(shù)時，對換與倒數(shù)第…，nn1交數(shù)為，當(dāng)n為奇數(shù)時，對換次數(shù)為次，綜合有：22111aa1ana1anjia222原行列式1nn11nn1221jin1a1anan111nnana1annn12、按5，6列展開得：74975361D3215612430056006874564第二個行列式按1,2行展開1153112126813、因為A90，所以A可逆。241999A11AA1211A931335299912114、A3421415A115、可將A寫成AA2A32230其中，,A1,A8,AA20,A80,A30121112323所以A可逆。11101經(jīng)計算3A11,A1,A111812321311000110002A1100001所以A1A12813A13000010001316、17、x3,x2121x1x＝22x＝33x＝1418、對線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換121151211512002A2411400336001130011300003361112方程組無解。19、對線性方程組的增廣矩陣A作行的初等變換121151211512003A241140033600101(3)(1)(2)(2)2(1)36121200123xx23x112對應(yīng)的線性方程組為3x14x32k32k1xkk解得，其中k為任意常數(shù),解或表示為，其中k2x113x114為任意常數(shù)。20、50811211550214XA1B31613410040,YBA142320542192003120321、A有二階子式24140，但所有三階子式全部為零，31所以秩A=2。22、，再根據(jù)克蘭姆法則求27,81,108,27,271234得x＝3，x＝-4，x＝-1，x＝11234123、方程組有非零解，必有系數(shù)行列式，所以，210D1這時1或124、只有唯一的零解。12125、1）秩A1,Ax0的基礎(chǔ)解系21,01032）由得的一個特解1的解集為xx2x3Axb0,Axb1230231S0k1k0|k,kP1121120026、IA0的根為4，2，1211解(4IA)x0得對應(yīng)于的特征向量是，所以c4(c0)111是對應(yīng)于4的全部特征向量.115解(2IA)x0得對應(yīng)于2的特征向量是2，所以15是對應(yīng)于2的全部特征向量.c(c0)227、全部特征值為-2，1（二重），1對應(yīng)于-2的全部特征向量為對應(yīng)于1的全部特征c1,(c0),120向量為不全為零.）c1c0,(c,,c21211028、IA0的根為，解(2IA)x0得兩個線性無關(guān)212321，的特征向量1和00121的全部特征向量為.c1c0因此對應(yīng)于21231210（cc不全為0）1,229、AX11AX則51,X511X111211230、解（1）0130x11003xf(x,x,x,x)(x,x,x,x),23001x0310x1234123434該二次型的矩陣為013010033001A.0310（2）|A|(24)(216),A的特征值2,2,4,4.4123解線性方程組，得基礎(chǔ)解系(EA)x0,(i1,2,3,4)i11111111,4,,1.1111231111它們兩兩正交，再將它們單位化為，令,,,1234則T(,,,),123411111111T1,211111111原二次型經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形xTy2y2y4y4y.1234xx0031、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：D11x1100yy1111yx000第二列減第一列，第四列減第三列得：D1x1000y0101yx10按第一行展開得0Dxy001y按第三列展開得Dxy1x0yx2y2。32、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子x3，再通過行列nii1式的變換化為上三角形行列式1xx2n1x3xDx3n2nnii11xx32n1xx2n0303n1x3x3nn003iii1i133、解：（1）由EA0得A的特征值為1，2，5。1230（2）1的特征向量為，111112的特征向量為，022005的特征向量為。1331（3）因為特征值不相等，則,,正交。12301011（4）將,,單位化得p，，pp011212312231010101（5）取Pp,p,p100123221122100（6）PAP020100534、解：該非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次方程組為AxbAx0因R(A)3，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個非零解構(gòu)成，即任何一個非零解都是它的基礎(chǔ)解系。另一方面，記向量2()，則123AA(2)2AA