彈性力學(xué)之平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答講義

彈性力學(xué)課堂教學(xué)軟件

1《彈性力學(xué)課堂教學(xué)軟件》既是教師的多媒體教案（電子教案），又是學(xué)生計(jì)算機(jī)CAI教學(xué)教材。繪制的工程圖片形象、生動(dòng)、有效地幫助學(xué)生理解和記憶；圖文并茂，甩掉了粉筆加黑板的傳統(tǒng)教學(xué)模式，大大地增加了課堂教學(xué)的信息量，精簡(jiǎn)了學(xué)時(shí)，提高了教學(xué)質(zhì)量。它既解放了教師寫教案、畫圖、板書等煩瑣的工作，又減輕了學(xué)生課堂記筆記的負(fù)擔(dān)；既是教師必備的彈性力學(xué)教學(xué)工具，又是學(xué)生的必備電子教材。該軟件覆蓋了彈性力學(xué)課程的全部?jī)?nèi)容，并以廣泛使用徐芝綸編的《彈性力學(xué)》等教材為參考教材，全書共分為十二章：第一章緒論；第二章平面問(wèn)題的基本理論；第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答；第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答；第五章平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解答；第六章熱應(yīng)力問(wèn)題的基本解法；第七章有限差分法；第八章空間問(wèn)題；第九章扭轉(zhuǎn)；第十章變分法；第十一章彈性波；第十二章板問(wèn)題。任課教師可以根據(jù)自己的需要方便地增加、刪減或調(diào)整講課順序，可適用于各種學(xué)時(shí)《彈性力學(xué)》課程教學(xué)。內(nèi)容簡(jiǎn)介該軟件適合586以上的各種微機(jī)，中文windows95、windows98、windows2000、office97、office2000及以上各種版本，可光盤運(yùn)行，也可在硬盤運(yùn)行。地址：北京市朝陽(yáng)區(qū)芍藥居35號(hào)責(zé)任編輯：王秀杰煤炭工業(yè)音像出版社出版ISBN7-89996-201-3/O010234第一章緒論第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答第五章平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解答第六章熱應(yīng)力問(wèn)題的基本解法第二章平面問(wèn)題的基本理論使用說(shuō)明書5第八章空間問(wèn)題第十章變分法第十一章彈性波第十二章板問(wèn)題第九章扭轉(zhuǎn)第七章有限差分法模擬試題6第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答7第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答§3-1多項(xiàng)式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡(jiǎn)支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-5級(jí)數(shù)式解答§3-6簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷習(xí)題課18一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式§3-1多項(xiàng)式解答平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式1.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。29平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖3-1（a）。2.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問(wèn)題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）310平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖3-1（c）。三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。如圖3-2所示的矩形梁。（a）圖圖3-2411平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答具體解法如下:如圖3-2,取單位寬度的梁來(lái)考察,并命每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長(zhǎng)度]/[長(zhǎng)度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應(yīng)當(dāng)合成為力偶，而力偶的矩為，這就要求：前一式總能滿足，而后一式要求：代入式（a），得：5將式（a）中的代入，上列二式成為：12平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答因?yàn)榱航孛娴膽T矩是，所以上式可改寫為：結(jié)果與材料力學(xué)中完全相同。注意：對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于深度的梁，上面答案是有實(shí)用價(jià)值的；對(duì)于長(zhǎng)度與深度同等大小的所謂深梁，這個(gè)解答是沒(méi)有什么實(shí)用意義的。613§3-2位移分量的求出平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答以矩形梁的純彎曲問(wèn)題為例，說(shuō)明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。一、平面應(yīng)力的情況將應(yīng)力分量代入物理方程714平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答得形變分量：（a）再將式（a）代入幾何方程：得：前二式積分得：（b）（c）其中的和是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式815平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答得：等式左邊只是的函數(shù)，而等式右邊只是的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有：積分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常數(shù)、、須由約束條件求得。（d）916平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答（一）簡(jiǎn)支梁如圖3-3（a），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），就得到簡(jiǎn)支梁的位移分量：梁軸的撓度方程：圖3-3（a）（b）1017平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答（二）懸臂梁如圖3-3（b），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：梁軸的撓度方程：二、平面應(yīng)變的情況只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的換為，換為即可。1118§3-3簡(jiǎn)支梁受均布載荷平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答設(shè)有矩形截面的簡(jiǎn)支梁，深度為，長(zhǎng)度為，受均布載荷，體力不計(jì)，由兩端的反力維持平衡。如圖3-4所示。取單位寬度的梁來(lái)考慮，可視為平面應(yīng)力問(wèn)題。圖3-4用半逆解法。假設(shè)只是的函數(shù)：則：對(duì)積分，得：解之，得：其中，、是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。（a）（b）1219平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對(duì)求四階導(dǎo)數(shù)：將以上結(jié)果代入相容方程，得：相容條件要求此二次方程有無(wú)數(shù)的根(全梁內(nèi)的值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。即：1320平面削問(wèn)題紹的直梳角坐曾標(biāo)解耍答前面兩個(gè)方程要求：第三個(gè)方程要求：（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：（f）（g）（h）1421平面窄問(wèn)題侄的直悔角坐米標(biāo)解隙答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù)、…等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。因?yàn)槊媸橇汉秃奢d的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于yz面。這樣，和應(yīng)當(dāng)是的偶函數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見(jiàn)：將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，三個(gè)應(yīng)力分量變?yōu)椋荷鲜街泄灿辛鶄€(gè)待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（i）1522平面筆問(wèn)題悔的直乓角坐句標(biāo)解母答整理，紐奉得：由于這四個(gè)方程是獨(dú)立的，互不矛盾的，而且只包含四個(gè)未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（i），得：（k）（l）（j）1623平面問(wèn)再題的直疑角坐標(biāo)窄解答（二）考察左右兩邊的邊界條件由于對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：（m）（n）將式（j）代入式（m），得： 積分，得：將式（j）代入式（n），得： 積分，得：1724平面堡問(wèn)題依的直銳角坐火標(biāo)解音答將式（l）代入，上式成為：另一方面，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：將和代入式（j），得：（p）將式（p）、（k）、（l）整理，得應(yīng)力分量：（q）1825平面更問(wèn)題完的直愉角坐捷標(biāo)解壺答式（q）可以改寫為：各應(yīng)桌力分武量沿氧鉛直末方向暮的變努化大挖致如勺圖3-胳5所示。在的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項(xiàng)是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)。對(duì)于通常的淺梁，修正項(xiàng)很小，可以不計(jì)。對(duì)于較深的梁，則需注意修正項(xiàng)。的最大絕對(duì)值是，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，一般不考慮這個(gè)應(yīng)力分量。和材料力學(xué)里完全一樣。19圖3-526§3-顏4楔形體悶受重力揉和液體罩壓力平面問(wèn)彼題的直黨角坐標(biāo)惕解答設(shè)有楔形體,如圖3-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直面成角，下端無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。問(wèn)題：20圖圖圖圖3-6（a）（b）27平面問(wèn)弦題的直首角坐標(biāo)總解答取坐標(biāo)軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（二）邊界條件左面（）應(yīng)力邊界條件：這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量在該問(wèn)題中，體力分量，所以應(yīng)力分量的表達(dá)式為：（a）2128平面問(wèn)單題的直模角坐標(biāo)聰解答右面（），，應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：2229平面問(wèn)陵題的直咐角坐標(biāo)診解答代入式（c），得：將這些系數(shù)代入式（b），得：各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖3-6b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無(wú)限長(zhǎng)的。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這里不是一個(gè)平面問(wèn)題。2.對(duì)于壩身底部來(lái)說(shuō)，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。2330平面問(wèn)要題的直性角坐標(biāo)旱解答§3拿-5級(jí)數(shù)式施解答用逆解法。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（a）其中是任意常數(shù)，它的因次是[長(zhǎng)度]-1，而是的任意函數(shù)。將式（a）代入相容方程，得：（b）解之，得：其中、、、都是任意常數(shù)。得到應(yīng)力函數(shù)的一個(gè)解答：假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：同樣可以得出應(yīng)力函數(shù)的另一個(gè)解答：（c）2431平面問(wèn)真題的直池角坐標(biāo)肝解答仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級(jí)數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)：相應(yīng)的應(yīng)力分量：將式（c）與（d）疊加百，得當(dāng)：其中、、、也都是任意常數(shù)。（d）2532平面束問(wèn)題什的直貸角坐改標(biāo)解椒答2633平面問(wèn)們題的直夫角坐標(biāo)擁解答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù)、、、、、、、、、或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應(yīng)力分量表達(dá)式，使其滿足某個(gè)問(wèn)題的邊界條件，就得出該問(wèn)題的解答。2734§3-床6簡(jiǎn)支憤梁受筋任意忘橫向營(yíng)載荷平面問(wèn)氧題的直酒角坐標(biāo)墨解答問(wèn)題：

設(shè)簡(jiǎn)支梁的跨度為，高度為，坐標(biāo)軸如圖3-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為及，左右兩端的反力分別為及。圖3-72835平面衫問(wèn)題炮的直匹角坐柳標(biāo)解聰答為了滿足邊界條件（c），取：),…3,2,1(==mlmmpa上下兩邊正應(yīng)力的邊界條件：上下兩邊剪應(yīng)力的邊界條件：左右兩端正應(yīng)力的邊界條件：左右兩端剪應(yīng)力的邊界條件：（a）（b）（c）（d）2936平面問(wèn)辣題的直任角坐標(biāo)款解答應(yīng)力分宣量簡(jiǎn)化目為：（1）3037平面廟問(wèn)題陪的直片角坐殲標(biāo)解狹答代入邊胳界條件儲(chǔ)（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù)、、、的方程。（e）（f）（g）（h）3138平面在問(wèn)題熱的直灣角坐搏標(biāo)解東答由式（e）、（f），得：（i）（j）按照傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法則，有：與式（g）對(duì)比，得：從而，得：（k）3239平面問(wèn)仗題的直責(zé)角坐標(biāo)妹解答同樣由式（h），得：（）求出式（k）及式（）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系數(shù)、、、，從而由公式（1）求得應(yīng)力分量。求出應(yīng)力分量后，可由式（d）求得反力及，并利用兩個(gè)反力與荷載的平衡作為校核之用。結(jié)論：1.用級(jí)數(shù)求解平面問(wèn)題時(shí)，計(jì)算工作量很大。2.由于梁的兩端的應(yīng)力邊界條件不能精確滿足，因而應(yīng)力的解答只適用于距兩端較遠(yuǎn)之處；對(duì)于跨度與高度同等大小的梁，這種解答是沒(méi)有用處的。3340平面問(wèn)睬題的直餐角坐標(biāo)蝴解答§3-領(lǐng)7《平面問(wèn)霉題的直仆角坐標(biāo)笛解答》習(xí)題怠課[練習(xí)1]設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，如圖1，試求應(yīng)力分量。解：1.采用半逆解法，設(shè)。導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程：34圖1o41平面問(wèn)荒題的直斜角坐標(biāo)柏解答取任意值時(shí)，上式都應(yīng)成立，因而有：式中，中略去了常數(shù)項(xiàng)，中略去了的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)力無(wú)影響。（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：（2）3542平面問(wèn)液題的直約角坐標(biāo)暑解答3.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：（3）不能精確滿足，只能近似滿足：由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：（4）3643平面茄問(wèn)題臘的直悔角坐培標(biāo)解獅答（1）候中的陰不能呆略去，肚因?yàn)閼?yīng)對(duì)暴剪應(yīng)力貓有影響嫩。（2）在庫(kù)上端怕部，沖首先害應(yīng)使醬應(yīng)力哥分量鼻精確逗滿足公邊界未條件鑒，如療不能衛(wèi)，則則可運(yùn)旋用圣訓(xùn)維南漠原理禾放松帖滿足仰。本慚題濤能干精確乏滿足艇，因駛此，廊在此掀處是撿精確慘解，其而宋在途上端左部是秘近似梯解。（3）若設(shè)油，則減導(dǎo)出的憶應(yīng)力函笛數(shù)陸和應(yīng)力岔分量為紀(jì)：4.分析：（5）（6）（7）3744平面彼問(wèn)題穩(wěn)的直寺角坐呢標(biāo)解晉答常數(shù)確舉定后代彎入式（7），所朱得結(jié)果碧與式（5）相祖同。[練習(xí)2]如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：不難驗(yàn)證其滿足。所以應(yīng)力分量為：3845平面例問(wèn)題魯?shù)闹惫战亲A標(biāo)解逝答2.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：上邊界：斜面：解得：3946平面問(wèn)諸題的直聰角坐標(biāo)徹解答3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來(lái)求解上邊界受線形載荷作用的問(wèn)題，見(jiàn)圖2（b）。40[練習(xí)3]如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足 ，問(wèn) 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將做代入健相容志條件芬，得裝：滿足譽(yù)雙調(diào)陳和方夠程，藝因此脖，可染作為萌應(yīng)力梢函數(shù)劃。將睛代木入相蜂容條念件得47 也能作為應(yīng)力函數(shù)。把 代入相容條件，得：所以，也可作為應(yīng)力函數(shù)。[練習(xí)4]圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。平面問(wèn)磁