2021年山東省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圖形的性質(zhì)(附答案解析)

2021年山東省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圖形的性質(zhì)一．選擇題（共10小題）1．（2021?濟(jì)寧）如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數(shù)為（）A．72° B．45° C．36° D．35°2．（2021?煙臺(tái)）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2021?棗莊）將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小為（）A．10° B．15° C．20° D．25°4．（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸5．（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝6，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）A．3 B．6 C．3 D．66．（2021?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）7．（2021?威海）如圖，在?ABCD中，AD＝3，CD＝2．連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，交BC于點(diǎn)F．若∠AFC＝2∠D，則四邊形ABEC的面積為（）A． B．2 C．6 D．28．（2021?棗莊）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)．以C為圓心，2為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π9．（2021?威海）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長(zhǎng)交AC，AD于點(diǎn)F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF?AC10．（2021?東營(yíng)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DBE＝30°，過(guò)點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①S△ABC＝；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H＝；③AE+CD＝DE；④當(dāng)AE＝CD時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④二．填空題（共10小題）11．（2021?威海）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，E．作直線DE，交BC于點(diǎn)M．分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，G．作直線FG，交BC于點(diǎn)N．連接AM，AN．若∠BAC＝α，則∠MAN＝．12．（2021?淄博）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示．若∠α＝30°，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是．13．（2021?煙臺(tái)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則sin∠ACB的值是．14．（2021?東營(yíng)）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為．15．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為．16．（2021?濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC≌△ADC．17．（2021?濟(jì)寧）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是．18．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．19．（2021?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，DE＝2，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABFD的面積為．20．（2021?棗莊）如圖，∠BOD＝45°，BO＝DO，點(diǎn)A在OB上，四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F．下列4個(gè)判斷：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若點(diǎn)G是線段OF的中點(diǎn)，則△AEG為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是．（填序號(hào)）三．解答題（共10小題）21．（2021?威海）如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E．弦BF交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線上，且PF＝PG．（1）求證：PF為⊙O切線；（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的長(zhǎng)．22．（2021?棗莊）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：DP∥BC；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．23．（2021?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO＝CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．24．（2021?煙臺(tái)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．25．（2021?煙臺(tái)）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．26．（2021?威海）（1）已知△ABC，△ADE如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如圖②擺放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．連接BE，CD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值．27．（2021?棗莊）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．28．（2021?泰安）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．（1）若AC＝EC，如圖1，求證：四邊形BECD為平行四邊形；（2）若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，如圖2，求證：△DGF是等腰直角三角形．29．（2021?淄博）已知：在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)F，連接AF，一條與AF垂直的直線l（垂足為點(diǎn)P）沿AF方向，從點(diǎn)A開始向下平移，交邊AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖1所示．求證：AE＝BF；（2）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)Q，連接FQ，如圖2所示．求∠AFQ的度數(shù)；（3）直線l繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G，如圖3所示．設(shè)AB＝2，BF＝x，DG＝y(tǒng)，求y與x之間的關(guān)系式．30．（2021?泰安）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝ED；（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．

2021年山東省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圖形的性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?濟(jì)寧）如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數(shù)為（）A．72° B．45° C．36° D．35°【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【分析】首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．【解答】解：根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，正五邊形ABCDE的內(nèi)角和＝180°×（5﹣2）＝540°，則∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形內(nèi)角和公式，熟記正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021?煙臺(tái)）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】三角形；運(yùn)算能力．【分析】由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，…OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題基礎(chǔ)．3．（2021?棗莊）將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】常規(guī)題型；線段、角、相交線與平行線．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝40°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得答案．【解答】解：由題意知DE∥AF，∴∠AFD＝∠CDE＝40°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同位角相等與三角形外角的性質(zhì)．4．（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)常識(shí)；勾股定理的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB＝6可求出AE的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程直接可得2x的值，即為圓的直徑．【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡(jiǎn)得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．答：直徑CD的長(zhǎng)為26寸，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．5．（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝6，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）A．3 B．6 C．3 D．6【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】由三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，PD+PE的最小值為DE的長(zhǎng)，由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，由銳角三角函數(shù)可求∠ABO＝60°，可證△ABD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AB，即可求解．【解答】解：如圖，連接DE，在△DPE中，DP+PE≥DE，∴當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，PD+PE的最小值為DE的長(zhǎng)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，∵sin∠ABD＝，∴＝，∴DE＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，利用銳角三角函數(shù)求出∠ABD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2021?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出OB，OA的長(zhǎng)，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABC＝60°解答．7．（2021?威海）如圖，在?ABCD中，AD＝3，CD＝2．連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，交BC于點(diǎn)F．若∠AFC＝2∠D，則四邊形ABEC的面積為（）A． B．2 C．6 D．2【考點(diǎn)】三角形的面積；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】先證明四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)∠AFC＝2∠D，可得∠AFC＝2∠ABC，可得∠ABF＝∠FAB，所以FA＝FB，可得平行四邊形ABEC是矩形，再根據(jù)勾股定理可得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得矩形的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∠D＝∠ABC，∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴FA＝FE，F(xiàn)B＝FC，∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC，∵∠AFC＝∠ABF+∠FAB，∴∠ABF＝∠FAB，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴平行四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2．根據(jù)勾股定理，得AC＝＝，∴矩形ABEC的面積為：AB?AC＝2×＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明ABEC是矩形．8．（2021?棗莊）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)．以C為圓心，2為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；運(yùn)算能力．【分析】連接BD，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形CBD減去直角三角形CBD的面積之差．【解答】解：連接BD，EF，如圖，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：EF，BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴陰影部分的面積等于弓形BD的面積．∴S陰影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵．9．（2021?威海）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長(zhǎng)交AC，AD于點(diǎn)F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF?AC【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；黃金分割．【專題】三角形；圖形的相似；推理能力．【分析】根據(jù)題意得出∠DAC＝∠EAB，用邊角邊定理證明△DAC≌△EAB，從而得出∠ADC＝∠AEB；根據(jù)平分線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系：∠DCA＝∠EBA＝36°＝∠CAB＝36°，再根據(jù)平行線的判定可得出CD∥AB；先假設(shè)DE＝GE，根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和推出各角之間的關(guān)系，得到∠AEG≠∠EAB+∠ABE與三角形的外角性質(zhì)產(chǎn)生矛盾，從而推出假設(shè)不成立；【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中有：，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故A選項(xiàng)不符合題意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，∴CD∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故B選項(xiàng)不符合題意；③假設(shè)DE＝GE，則∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一個(gè)外角，∴∠AEG＝∠EAB+∠ABE而事實(shí)上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，∴假設(shè)不成立，故C選項(xiàng)符合題意；④∵∠FAB＝∠FBA＝36°，∴∠AFB＝180°﹣2×36°＝108°，∴在△AFB中有═，∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，∴∠BFC＝72°，∴在△BFC中有：＝，∴＝，即BF2＝AB?CF，∵AB＝AC，∴BF2＝AC?CF，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及黃金分割，此類型題目不僅要數(shù)形結(jié)合還需注意與結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中的內(nèi)容，可采用排除法、代入法等進(jìn)行求解．10．（2021?東營(yíng)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DBE＝30°，過(guò)點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①S△ABC＝；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H＝；③AE+CD＝DE；④當(dāng)AE＝CD時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．【分析】①利用三角形的面積公式計(jì)算即可；②依題意畫出圖形，利用等邊三角形和平行線的性質(zhì)求出FH即可；③將△CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABN，由“SAS”可證△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的關(guān)系，可判斷③；④先證△AGE，△DCH都是等邊三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．【解答】解：①過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，如圖1：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，AP⊥BC，∴BP＝BC＝，∴AP＝，∴．故①正確；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，H，D，C三點(diǎn)重合，如圖2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，∴BE是∠ABC的平分線，∵AB＝BC，∴AE＝EC＝AC＝，∵CF∥AB，∴∠FCA＝∠A＝60°，∵GF∥BC，∴∠FEC＝∠ACB＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，∴△EFC為等邊三角形，∴FC＝EC＝，即FH＝．故②正確；③如圖3，將△CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABN，連接NE，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，∵∠DBE＝30°，∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，∴∠EBN＝∠DBE＝30°，又∵BD＝BN，BE＝BE，∴△DBE≌△NBE（SAS），∴DE＝NE，∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，∵NP2+PE2＝NE2，∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，∴AE2+CD2+AE?CD＝DE2，故③錯(cuò)誤；∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵GF∥BH，BG∥HF，∴四邊形BHFG是平行四邊形，∵GF∥BH，BG∥HF，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，∴△AGE，△DCH都是等邊三角形，∴AG＝AE，CH＝CD，∵AE＝CD，∴AG＝CH，∴BH＝BG，∴?BHFG是菱形，故④正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形，找出AE，CD，DE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）11．（2021?威海）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，E．作直線DE，交BC于點(diǎn)M．分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，G．作直線FG，交BC于點(diǎn)N．連接AM，AN．若∠BAC＝α，則∠MAN＝2α﹣180°．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【專題】作圖題；推理能力．【分析】利用基本作圖得到DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，則MA＝MB，NA＝NC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和用α表示∠MAN．【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝∠BAC﹣∠MAB﹣∠NAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C），∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∴∠MAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC﹣180°＝2α﹣180°．故答案為2α﹣180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：利用基本作圖判斷DE、GF分別垂直平分AB和AC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．12．（2021?淄博）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示．若∠α＝30°，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm．【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．【分析】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，利用勾股定理求出A'C的長(zhǎng)度，即求得點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值．【解答】解：如圖，作DE⊥BC于E，把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等邊三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，即點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm，故答案為6cm．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)知識(shí)、三角形全等、特殊角直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)知識(shí)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2021?煙臺(tái)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則sin∠ACB的值是．【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外接圓與外心；解直角三角形．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【分析】連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、圓周角定理、解直角三角形，正確作出輔助線、根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB是解題的關(guān)鍵．14．（2021?東營(yíng)）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，則扇形BEF的面積為．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算．【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠BEF，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝20°，又∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝BC＝2，∵BE＝EF，∴EF＝EC＝2，∴∠EFC＝∠ACB＝20°，∴∠BEF＝40°，∴扇形BEF的面積＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．15．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為12：15：10．【考點(diǎn)】三角形的面積．【專題】三角形；幾何直觀．【分析】根據(jù)三角形三條高線交于一點(diǎn)，可得BF⊥AC，再根據(jù)三角形面積是一定的，即可得到CE：AD：BF值．【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，∴BF⊥AC，∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF，∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF，∴CE：AD：BF＝12：15：10．故答案為：12：15：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式，難點(diǎn)是得到BF⊥AC．16．（2021?濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件AD＝AB（答案不唯一），使△ABC≌△ADC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【分析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是AD＝AB，理由是：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案為：AD＝AB（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．17．（2021?濟(jì)寧）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是﹣．【考點(diǎn)】勾股定理；扇形面積的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長(zhǎng)、∠DOB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△COD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．【解答】解，連接OD，過(guò)D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴陰影部分的面積是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為﹣1．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】動(dòng)點(diǎn)型；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT．首先利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGD＝90°，求出GT＝1，BT＝，根據(jù)BG≥BT﹣GT，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，∵BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，求出GT，BT是解題的關(guān)鍵．19．（2021?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，DE＝2，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABFD的面積為8．【考點(diǎn)】三角形的面積；三角形中位線定理．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】由三角形的中位線定理證得DE∥AB，AB＝2DE＝4，進(jìn)而證得四邊形ABFD是平行四邊形，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求出四邊形ABFD的面積．【解答】解：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，即DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∵AB⊥BE，∴S平行四邊形ABFD＝AB?BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四邊形ABFD＝4×2＝8，故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的面積公式，根據(jù)三角形中位線定理證得DF∥AB，進(jìn)而證得四邊形ABFD是平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2021?棗莊）如圖，∠BOD＝45°，BO＝DO，點(diǎn)A在OB上，四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F．下列4個(gè)判斷：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若點(diǎn)G是線段OF的中點(diǎn)，則△AEG為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是①③④．（填序號(hào)）【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】推理填空題；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD為直角，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可判斷①的正誤；根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ADB＝22.5°，便可判斷②的正誤；連接BF，由線段的垂直平分線得BF＝DF，證明△AOF≌△ABD，得AF＝AB，進(jìn)而便可判斷③的正誤；由直角三角形斜邊上的中線定理得AG＝OG，進(jìn)而求得∠AGE＝45°，由矩形性質(zhì)得ED＝EA，進(jìn)而得∠EAD＝22.5°，再得∠EAG＝90°，便可判斷④的正誤．【解答】解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正確；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②錯(cuò)誤；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，連接BF，如圖1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正確；④根據(jù)題意作出圖形，如圖2，∵G是OF的中點(diǎn)，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四邊形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG為等腰直角三角形，故④正確；∴判斷正確的是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記這些圖形的性質(zhì)．三．解答題（共10小題）21．（2021?威海）如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E．弦BF交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線上，且PF＝PG．（1）求證：PF為⊙O切線；（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【分析】（1）連接OF，由CD⊥AB，PF＝PG，OF＝OB得到∠PFG+∠OFB＝90°，即可證明；（2）連接AF，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥FG，垂足為M，由OB＝10，BF＝16，求得AF的長(zhǎng)度，繼而利用三角函數(shù)求得tanB＝，cosB＝，求出GE，GB，再利用△PFM∽△BGE，即可求出PF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OF，∵PF＝PG，∴∠PFG＝∠PGF，∵∠BGE＝∠PGF，∴∠PFG＝∠BGE，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠OBF，∵CD⊥AB，∴∠BGE+∠OBF＝90°，∴∠PFG+∠OFB＝90°，∵OF是⊙O半徑，∴PF為⊙O切線；（2）解：連接AF，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥FG，垂足為M，∵AB是⊙O直徑，∴∠AFB＝90°，∴AB2＝AF2+BF2，∵OB＝10，∴AB＝20，∵BF＝16，∴AF＝12，在Rt△ABF中，tanB＝，cosB＝，在Rt△BEG中，，，∴GE＝6，GB＝10，∵BF＝16，∴FG＝6，∵PM⊥FG，PF＝PG，∴MG＝FG＝3，∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°，∴△PFM∽△BGE，∴，即，解得：PF＝5，∴PF的長(zhǎng)為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定方法，利用等角之間的轉(zhuǎn)化，能夠求得半徑與直線的垂直是證明切線的關(guān)鍵，能夠靈活應(yīng)用三角函數(shù)和三角形相似是解決線段長(zhǎng)度的關(guān)鍵．22．（2021?棗莊）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：DP∥BC；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；幾何直觀；推理能力．【分析】（1）連接OD，由∠BAC是直徑所對(duì)的圓周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分線，可得∠BAD＝45°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，可得∠BOD＝90°，再由切線DP⊥OD，可證DP∥BC；（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所對(duì)圓周角相等，得∠ACB＝∠ADB，進(jìn)而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可證明△ABD∽△DCP；（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．【解答】解：（1）連接OD，∵DP是⊙O的切線，∴DO⊥DP，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵BC是圓的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∴OD⊥BC，∴DP∥BC；（2）∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∴∠CDP＝45°，∴△ABD∽△DCP；（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，∵△ABD∽△DCP，∴＝，∴＝，∴CP＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握切線的性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，準(zhǔn)確找到角之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2021?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO＝CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）證△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得OB⊥AC，則平行四邊形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，則DE＝6，即可求解．【解答】（1）證明：在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA），∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四邊形AECD是菱形，∵AC＝8，∴CO＝AC＝4，在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴DE＝2OD＝6，∴菱形AECD的面積＝AC×DE＝×8×6＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．24．（2021?煙臺(tái)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【分析】（1）①以A為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長(zhǎng)度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；（2）根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)推出角之間的關(guān)系，再根據(jù)平行線的判定得出OD∥AC，從而得出OD⊥BC即可；（3）根據(jù)題意得到線段之間的關(guān)系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長(zhǎng)度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；③如圖，⊙O與AB交于點(diǎn)M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點(diǎn)O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切線．（3）根據(jù)題意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD與Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽R(shí)t△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半徑為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合運(yùn)用，將圓的相關(guān)性質(zhì)與角平分線及垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合一起，要充分的數(shù)形結(jié)合，找到圖中相等的角、線段或者相似三角形，從而進(jìn)行求解．25．（2021?煙臺(tái)）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM，位置關(guān)系是DE⊥AM；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，證明△DAE≌△BAF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH，證明△AMB≌△HMF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，證明△EAD≌△AFH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝AH，則可得出答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中點(diǎn)，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案為DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，證明如下：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH，∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM．線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．26．（2021?威海）（1）已知△ABC，△ADE如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如圖②擺放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．連接BE，CD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【分析】（1）連接EC，根據(jù)題意易推出∠BAD＝∠CAE，從而證明△BAD≌△CAE，得到AF∥CE，再利用平行線分線段成比例的性質(zhì)求解即可．（2）作相關(guān)輔助線構(gòu)造直角三角形△DGM和△CGN，先由角之間的互余關(guān)系推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)等角的正弦值相等得出邊之間的關(guān)系DM＝CN，從而證明△DGM≌△CGN，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，∴AB＝AC，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中有：，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，則CE⊥BD，∵AF⊥BD，∴AF∥CE，BF＝FC，∴＝＝1，∴BG＝EG．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AG，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AG，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝a，AC＝b，∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，∴∠1＝∠2，∴sin∠1＝sin∠2，∴＝，即＝＝＝，同理可證∠3＝∠4，＝＝，∴＝，∴DM＝CN，在△DGM和△CGN中，有：，∴△DGM≌△CGN（AAS），∴DG＝CG，∴＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及含30度角的直角三角形，可以從目標(biāo)線段出發(fā)去作輔助線，通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形或全等三角形，利用其性質(zhì)進(jìn)行求解．27．（2021?棗莊）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】（1）連接AC、BD，根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）如圖3，連接CG、BE，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可．【解答】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：如圖2，連接AC、BD，∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如圖1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如圖3，連接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題為四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．28．（2021?泰安）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．（1）若AC＝EC，