第三章圓錐曲線的方程章末題型大總結(jié)（精講）（解析版）

第三章圓錐曲線的方程章末總結(jié)（精講）目錄第一部分：知識框架第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長問題重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題重點(diǎn)題型十二：圓錐曲線中的向量問題第一部分：知第一部分：知識框架第二部分：第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義1．設(shè)為定點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，則動點(diǎn)M的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】D因?yàn)?，所以動點(diǎn)M的軌跡是線段，故選：D2．若橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D由橢圓方程知：.根據(jù)橢圓的定義有.因?yàn)?，所?故選：D3．若動點(diǎn)滿足方程，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，當(dāng)a＝3和4時，點(diǎn)P軌跡分別為（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和兩條射線C．雙曲線一支和一條直線 D．雙曲線一支和一條射線【答案】D∵A(0,－4)，B（0，4），∴|AB|＝8，又|PA|－|PB|＝2a，∴當(dāng)a＝3時，|PA|－|PB|＝6＜8，由雙曲線定義可得點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的上支；當(dāng)a＝4時，|PA|－|PB|＝8，∴點(diǎn)P的軌跡為y軸上的以點(diǎn)B為端點(diǎn)的方向向上的射線；故選：D．5．動點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】D由已知，，所以點(diǎn)的軌跡是一條以為端點(diǎn)向軸正方向的射線.故選：D.6．若動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡應(yīng)為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．圓【答案】B動點(diǎn)滿足，可知：動點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線距離相等，其中定點(diǎn)不在定直線上.因此P點(diǎn)的軌跡應(yīng)為拋物線.故選：B.7．雙曲線上一點(diǎn)與它的一個焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)與另一個焦點(diǎn)的距離等于___________.【答案】17由雙曲線的方程可得實(shí)半軸長為，虛半軸長為，故.因?yàn)辄c(diǎn)與一個焦點(diǎn)的距離等于1，而，故點(diǎn)與該焦點(diǎn)同在軸的上方或下方，故點(diǎn)與另一個焦點(diǎn)的距離為，故答案為：.重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)殡p曲線的焦距為8，則2c＝8，所以c＝4，又雙曲線的離心率為，所以a＝2，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B．2．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，拋物線方程即，故，故選：C3．已知拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），若點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x【答案】D∵拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），∴，可得.又點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，∴，解得p＝2或p＝4.則該拋物線的方程為y2＝4x或y2＝8x.故選：D.二、解答題4．求以坐標(biāo)軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】.令橢圓方程為，所以，可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.5．（1）求以（-4，0），（4，0）為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的方程．【答案】【小問1】【小問2】（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又橢圓過點(diǎn)，將x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)焦距為2c，∴，解得，∴該雙曲線的方程為．6．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為，離心率為；(2)頂點(diǎn)間的距離為，漸近線方程為．【答案】(1)(2)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的方程為；焦點(diǎn)在軸上雙曲線的方程為(1)解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為1，因?yàn)樘撦S長為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線的方程為．(2)解：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)雙曲線的方程為1，因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)雙曲線的方程為1，因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為.7．根據(jù)下列條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，焦點(diǎn)在x軸上；(2)經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．【答案】(1)；(2).(1)因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，則設(shè)所求雙曲線的方程為，而雙曲線過點(diǎn)，則有，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)所求雙曲線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則設(shè)所求雙曲線的方程為，而此雙曲線過點(diǎn)，于是有，解得或（舍去），所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.8．回答下列各題.(1)求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)，且與有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)或(2)(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸或軸的負(fù)半軸，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以拋物線的方程為，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以拋物線的方程為，綜上所述，經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；(2)解：橢圓的焦點(diǎn)為，可設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入得：，整理得，解得或（舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.9．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在直線上.【答案】(1)拋物線方程或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.(2)拋物線的方程為或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.(1)設(shè)所求的拋物線方程為或，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以或，所以或.所以所求的拋物線方程為或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是或.(2)令得，令得，所以拋物線的焦點(diǎn)為或.當(dāng)焦點(diǎn)為時，，所以，此時拋物線方程；焦點(diǎn)為時，，所以，此時拋物線方程為.所以所求的拋物線的方程為或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在同一平面內(nèi)運(yùn)動時，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．【答案】B若以為原點(diǎn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，則，若，故軌跡是以為焦點(diǎn)，焦距為4，長軸長為6的橢圓，且軌跡方程為，所以|PM|的最小值是.故選：B2．過雙曲線的右支上的一點(diǎn)P分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．故選：B3．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C由雙曲線的對稱性可得點(diǎn)Q在雙曲線的左支上，且，由可知，，∴.故選：C.4．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值為___________.【答案】##不妨設(shè)點(diǎn)為，，則，則設(shè)圓的圓心為，則坐標(biāo)為則的最小值，即為的最小值與圓的半徑之差.又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；故.故答案為：.5．已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【答案】[1,3]由題意，，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以的范圍?故答案為：.6．已知橢圓，點(diǎn)，為橢圓上一動點(diǎn)，則的最大值為____.【答案】設(shè)點(diǎn)，則，可得，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.故答案為：.7．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為___________.【答案】2設(shè)，則，即，于是得，而，則當(dāng)時，，所以雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為2.故答案為：28．已知圓C:，點(diǎn)在拋物線T：上運(yùn)動，過點(diǎn)引直線，與圓C相切，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為__________.【答案】如圖，連接CP，CQ，CM，依題意，，而，而，則CM垂直平分線段PQ，于是得四邊形MPCQ的面積為面積的2倍，從而得，即，設(shè)點(diǎn)，而，，則，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范圍為.故答案為：9．已知拋物線上距離點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是其頂點(diǎn)，則的取值范圍是_____________.【答案】設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為|AP|2=x2+（y﹣a）2=x2+y2﹣2ay+a2，∵x2=2y，∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），∴對稱軸為a﹣1，∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，∴a﹣1≤0解得a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1，故答案為：．10．拋物線E：與圓M：交于A，B兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個動點(diǎn)，平行于y軸的直線PN交拋物線于點(diǎn)N，則的周長的取值范圍是______.【答案】如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，PN交拋物線的準(zhǔn)線于H，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長，由，解得，∵，且∴PH的取值范圍為，∴，∴的周長的取值范圍為.故答案為：.重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題1．已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)O為圓心，b為半徑作圓O，若過點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B由題意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即橢圓的離心率為.故選：B.2．設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，若在直線（c為半焦距）上存在點(diǎn)P，使的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B如圖所示，橢圓，可得焦距，因?yàn)樵谥本€上存在點(diǎn)P，使的長度恰好為橢圓的焦距，可得，即，可得，即，解得又因?yàn)闄E圓的離心率，所以.故選：B.3．已知橢圓，點(diǎn)C在橢圓上，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，若圓C與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，且為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C不妨設(shè)在第一象限，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，則，又在橢圓上，則，所以圓M的半徑，因?yàn)闉橹苯侨切?，，即，化簡可得，即，解得．故選：C．4．圓上有四個點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C雙曲線的一條漸近線為，圓，圓心，半徑為5，因?yàn)閳AC上有四個點(diǎn)到的距離為2，所以圓心到的距離，即，而，所以，即．故選：C5．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)滿足，且，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】C因，則點(diǎn)是線段中點(diǎn)，由得，即AM垂直平分，則有，，而，則，又，令雙曲線的半焦距為c，在中，，，由余弦定理得：，即，化簡得，所以雙曲線的離心率是.故選：C6．（多選）設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選：AC7．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為______．【答案】設(shè)，，所以，，，所以，，．，則，即，解得，由，即，所以，，則，解得．因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.8．設(shè)雙曲線的焦距長為，直線過點(diǎn)、兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為___________.【答案】直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以，，解得或（舍去），所以.故答案：.9．已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為___________.【答案】設(shè)，，，則，兩式相減得，所以.因?yàn)?，，所?因?yàn)?，，所以，，?故答案為：．重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（）A．相交 B．相離 C．相切 D．不確定【答案】A由，則，則直線，恒過定點(diǎn)，由，則點(diǎn)，在橢圓1內(nèi)部，∴直線與橢圓相交．故選：A2．若直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點(diǎn)，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點(diǎn)，此時，當(dāng)直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，此時，則當(dāng)時，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，綜上，滿足題意得的范圍是或．故選：D．3．過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線的條數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B當(dāng)不存在時，直線不滿足條件；設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，當(dāng)時，即，當(dāng)時，方程無解，不符合題意，當(dāng)時，方程只有一解，滿足條件；當(dāng)時，，即解得：或（舍去），綜上可知，滿足條件的有或，共2條直線.故選：B4．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)方程的兩根為，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則滿足，解得，又由，解得,所以的取值范圍是.故選：D.5．關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是___________．【答案】表示過點(diǎn)的直線，兩邊平方并化簡得，所以表示橢圓的上半部分.，由兩邊平方得，，令，或（舍去）.所以的取值范圍是.故答案為：6．若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______【答案】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且直線與橢圓總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部，即解得，綜上，故答案為：7．直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故由，得，則對恒成立，即對恒成立．因?yàn)?，所以對恒成立，故，即．又因?yàn)?，所以?．已知雙曲線及直線.若直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】聯(lián)立，得，由題意，知，解得，且.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題1．已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)、，則，由已知得，兩式作差得，所以，，即直線的斜率為，故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B.2．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B依題意，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)這條弦的兩個端點(diǎn)，由得：，又，于是得弦AB所在直線斜率，方程為：，即，所以這條弦所在的直線方程是.故選：B3．直線與雙曲線的同一支相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D設(shè)、，線段的中點(diǎn)，由已知，兩點(diǎn)在雙曲線上，所以x122-點(diǎn)在直線上，所以，代入上式可得，故直線的斜率為.故選：D.4．直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D設(shè)，，因點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，，兩式相減得：，因P為AB中點(diǎn)，則，，于是得＝1，即直線l的斜率為1，此時，直線l的方程為：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以直線l的斜率為1.故選：D5．已知點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的值為A． B． C． D．【答案】C設(shè)則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得兩式相減可得，則直線的斜率直線的方程為即聯(lián)立方程可得故選C．6．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是______________【答案】設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，將兩式相減得：，整理得：，根據(jù)點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，可知，，即直線斜率是，故答案為：7．已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，則直線的斜率__________．【答案】設(shè)，因?yàn)?，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?8．已知雙曲線方程為，求以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程.【答案】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為，，則，，根據(jù)對稱性知，由，在雙曲線上，則有，，兩式相減得，，過點(diǎn)且斜率的直線方程為，即，由消去y并整理得：，，從而得直線與雙曲線相交，所以以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程為.重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長問題1．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，.弦長|MN|.故選：D.2．已知橢圓x2+4y2＝16，直線l過點(diǎn)其左焦點(diǎn)F1，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的斜率是1，則弦長|AB|＝__．【答案】##橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，其中a＝4，b＝2，則c2，，又由直線的斜率為1，則直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立可得：弦長|AB|；故答案為：3．設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦的長度．【答案】(1)(2)(1)解：將點(diǎn)代入橢圓的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以橢圓C的方程為．(2)解：過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，聯(lián)立方程，消去得，得，．由弦長公式4．給定橢圓，稱圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C、D兩點(diǎn)，．①請將用含有k的關(guān)系式表示（不需給出k的范圍）；②求弦長的最大值．【答案】(1)(2)；(1)由題可知，，，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)①由（1）可求“伴隨圓”為：，因?yàn)椋詧A心到直線距離為，由圓心到直線距離公式得，解得；②聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由得，由得，，設(shè)，則，由弦長公式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故5．已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，離心率，虛軸長為.(1)求的方程；(2)過右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于?兩點(diǎn)，求.【答案】(1)；(2).(1)由題意可得：，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)由（1）知：，所以，可得直線的方程為：，設(shè)，，由可得：，所以，，所以，所以弦長.6．直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，求弦的長．【答案】直線代入拋物線，整理可得，設(shè)，，由AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以4得：k＝-1或2，當(dāng)k＝-1時，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，不合題意，當(dāng)k＝2時，|AB|．綜上，弦的長為.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦長．【答案】(1)(2)(1)解：在拋物線上，且，，則，故拋物線的方程為；(2)解：聯(lián)立，可得．設(shè)，，，，則，，．8．已知雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，且一個焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)(1)由雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，，又拋物線：的焦點(diǎn)為，則，由已知可得：，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線l的斜率為1，直線l的方程為，設(shè)，，由得：，，．重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題1．已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．【答案】(1)(2)6(1)由題意可得，所以動點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；(2)由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．2．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其長半軸長為2.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)解：由已知得，∴橢圓C的方程為∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得∴橢圓C的方程為(2)解：由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，由，消去得，∴，，，∵為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，∴，直線的方程為，即令，則∴，∴的面積，令，則，∴，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，∴，∴的面積的取值范圍是3．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第二象限，，求△的面積．【答案】(1)(2)(1)解:∵橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，∴設(shè)橢圓的方程為，，，．，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解：在△中，由余弦定理得，即，，，．4．已知P是圓O：上一動點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足.(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積.【答案】(1)(2)(1)設(shè)，，，因?yàn)樗詮亩?，代入得即為所?(2)由，得，所以，,所以過且斜率為的直線的方程為，聯(lián)立消去x，得，顯然，設(shè)，，則，∴，∵A是橢圓E的右頂點(diǎn)，∴，∴△AMN的面積.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)雙曲線C1以橢圓C2：1長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C2的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過（0，1）的直線l與C1的右支相切，且與C2交于點(diǎn)M，N，求OMN的面積．【答案】(1)(2)(1)解：由題意得雙曲線a＝1，c＝2，則b2＝c2﹣a2＝3，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)設(shè)過（0，1）的直線l的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0，因?yàn)橹本€與雙曲線相切，所以Δ＝4k2+16（3﹣k2）＝0，解得k＝±2，因?yàn)橹本€l與雙曲線右支相切，所以l方程為：y＝﹣2x+1，聯(lián)立，可得19x2﹣16x﹣8＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，x1x2，則|MN||x1﹣x2|?，又原點(diǎn)O到直線l的距離d，所以O(shè)MN的面積Sd?|MN|．6．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是，所以，即因?yàn)榻咕酁?，所以，即因?yàn)?，所以，所以雙曲線的方程為(2)解：由題知雙曲線的右焦點(diǎn)為，故設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程得，設(shè)，，所以，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，所以，即且，所以，解得：且因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以所以，點(diǎn)到直線的方程為距離為，所以面積為，令，則，所以，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以，所以.所以面積的取值范圍為7．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，并且經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）．(1)求拋物線C的方程；(2)過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)2(1)把點(diǎn)A（1，﹣2）代入拋物線C：，可得，解得p＝2，所以拋物線C的方程為C：；(2)拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線l方程為y=x，聯(lián)立，解得或．不妨設(shè)M（0，0），N（4，4）．則△FMN的面積為，所以所求△FMN的面積為2．8．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F與拋物線E：的焦點(diǎn)相同，曲線C的離心率為，為E上一點(diǎn)且．(1)求曲線C和曲線E的方程；(2)若直線l：交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，1交y軸于點(diǎn)R．求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】(1)C：，E：(2)(1)，橢圓C：又，橢圓C：拋物線E：．(2)設(shè)，聯(lián)立由，且，，原點(diǎn)O到直線l距離，，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，此時面積最大為．9．已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過作，垂足為，已知.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若，求的面積.【答案】(1)(2)(1)由題可知準(zhǔn)線的方程為.因?yàn)椋?又，所以，故的方程為.(2)由（1）可知.因?yàn)椋灾本€的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組整理得，則，故.點(diǎn)到直線的距離，則的面積.10．已知拋物線E：（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若過焦點(diǎn)F的動直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作拋物線的切線、，且、的交點(diǎn)為Q，、與y軸的交點(diǎn)分別為M、N．求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2，由拋物線的定義知解得(2)由上問可知，拋物線方程E：設(shè)，，（，），設(shè)l：，聯(lián)立，得，判別式，故R，設(shè)：聯(lián)立方程組，消x得，所以所以則：，即，令，得，同理：，，聯(lián)立，得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，∴∴面積的取值范圍是．重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題1．已知橢圓的短軸長為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析(1)解：依題意、，又，解得，，所以橢圓方程為，離心率；(2)解：由（1）可知，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，設(shè)，，所以，；因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以；即所以，即，所以，即，所以或，當(dāng)時，直線：，恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不過A點(diǎn)，所以舍去；當(dāng)時，直線：，恒過定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線，，，則，且，解得或（舍去）；綜上可得直線恒過定點(diǎn).2．已知橢圓：的焦距為，圓：經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓與圓的方程；(2)若直線：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，其中，問：是否為定值?若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．【答案】(1)橢圓C：，圓O：(2)為定值，且該定值為0(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c，根據(jù)題意得又∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得∴橢圓C的方程為，圓O的方程為.(2)設(shè)聯(lián)立l與橢圓方程，化簡整理得則∵∴綜上所述，為定值，且該定值為0.3．已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓B：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線BP交于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；(2)過點(diǎn)A的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上且使得對任意直線l，OE都平分．求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(1)由題意知，，所以，由橢圓定義知點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓C：，其中，，即，，則，所以點(diǎn)Q的軌跡方程C為．(2)設(shè)，當(dāng)l與x軸垂直時，恒成立，當(dāng)l與x軸不垂直時，因?yàn)镺E都平分，即，所以，設(shè)，，直線l的斜率為，則直線l的方程為，又，，所以，又，，所以，即，聯(lián)立方程組消去y，得，，所以，，代入上式可得，即點(diǎn)．4．已知離心率為的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)、在軸上，雙曲線的右支上一點(diǎn)使且的面積為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與雙曲線相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過雙曲線的右頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析，.(1)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：解得，∵且的面積為1，∴，，∴∴，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)證明：設(shè)，，聯(lián)立與雙曲線得，，即，則，又，∵以為直徑的圓過雙曲線的右頂點(diǎn)∴，即，∴，∴，化簡，得，即∴，，且均滿足，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾．當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．5．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓M：(x+4)2+y2＝1上點(diǎn)的距離的最大值為1．(1)求p；(2)已知直線l：y＝kx+4與C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作平行于y軸的直線BD交直線l'：y＝﹣4于點(diǎn)D．問：直線AD是否過y軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．【答案】(1)p＝2(2)直線AD恒過y軸上的一定點(diǎn)(0，0)(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(0，)，圓M：(x+4)2+y2＝1可得圓心M(﹣4，0)，半徑r＝1，F(xiàn)到圓M的最大距離為：|FM|+r1，由題意可得11，p＞0，解得：p＝2；(2)由(1)得拋物線的方程為：x2＝4y，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，由題意可得D(x2，﹣4)，所以直線AD的方程為：y+4(x﹣x2)x，令x＝0，可得y0，所以直線AD恒過y軸上的一定點(diǎn)(0，0)．6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1．(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；(3)若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線l過定點(diǎn)．【答案】(1)y2＝8x(2)（2，4）或（2，-4）(3)證明見解析(1)（1）拋物線的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為，即，則，解得p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x，(2)設(shè)P（x0，y0），由拋物線的定義可知，即，解得x0＝2，將x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐標(biāo)為（2，4）或（2，-4）．(3)由題意知直線l不能與x軸平行，故方程可設(shè)為x＝my+n（n≠0），與拋物線聯(lián)立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），則y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，所以，所以x1x2+y1y2＝0，又，所以，即，亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0，解得n＝8，所以直線方程為x＝my+8，易得直線l過定點(diǎn)（8，0）．重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題1．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由.【答案】(1)(2)存在點(diǎn)，使得為定值.(1)設(shè)，易得，直線的斜率為，直線的斜率為，則，整理得，則曲線E方程為；(2)當(dāng)直線的斜率為不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)聯(lián)立方程組，消可得，設(shè)，，可得，，所以.要使上式為定值，則，解得，此時當(dāng)直線的斜率為0時，，，此時，也符合.所以，存在點(diǎn)，使得為定值.2．已知定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：直線，的斜率之積為．(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)的軌跡為．直線過拋物線的焦點(diǎn)且與相交于不同的兩點(diǎn)，．在軸上是否存在一個定點(diǎn)，使得的值為定值？若存在，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)1；(2)存在一個定點(diǎn).(1)設(shè)，因?yàn)橹本€，的斜率之積為．所以，整理得方程為1.即動點(diǎn)的軌跡方程為1.(2)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，設(shè)，則，，，故，令，則,所以，解得m，此時；當(dāng)直線與軸垂直時，的方程為，代入橢圓方程解得，所以；綜上所述：在軸上存在一個定點(diǎn)，使得為定值．3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.動直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與軸交于點(diǎn)，的面積分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值，定值為1(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓的對稱性，點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為也在橢圓上，再由點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為可得，即，又橢圓的離心率，所以，可得，所以橢圓的方程為：；(2)解：為定值，且定值為1，證明如下：設(shè)，則，聯(lián)立，整理可得：，則，直線的方程為：，令，可得；所以當(dāng)變化時直線與軸交于定點(diǎn)，所以，即為定值，且定值為.4．已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)見解析.(1)虛軸長為4，，即，直線為雙曲線的一條漸近線，，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由題意知，，，由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．5．已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過右焦點(diǎn)且斜率不為的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求【答案】（1）；（2）（1）由題意可得：解得：，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2），所以，設(shè)直線：，，，由可得：，所以，，，所以.6．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)、在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】(1)(2)證明見解析(1)解：由拋物線定義，得，由題意得，，解得所以拋物線的方程為．(2)證明：①直線斜率不存在時，可設(shè)，，，，，又，，，解得，，為垂足，，故存在定點(diǎn)，使得為定值，②直線斜率存在時，設(shè)直線，解得，設(shè)，，，，則，，因?yàn)?，所以，得，所以，得，即，?dāng)時，過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，直線過點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故當(dāng)為的中點(diǎn)時，定值．7．已知曲線E上的點(diǎn)到的距離比它到直線的距離小1.(1)求曲線E的方程；(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB，PC的斜率分別為，，，求證：為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，.(1)由題設(shè)，令曲線E上的點(diǎn)為，則，當(dāng)時，，整理得且，滿足前提；當(dāng)時，，整理得且，不滿足前提；所以曲線E的方程為.(2)由題設(shè)，直線l的斜率必存在且不為0，設(shè)，則，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，又，，且，，，則，故為定值.重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率，且過點(diǎn)，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），試證直線MA與直線NB的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.(1)由題意知，，化簡得，解得，故橢圓的方程為；(2)設(shè)過點(diǎn)G的直線方程為，，消去x，得，，設(shè)，則，所以又，得，所以直線AM的方程為，直線BN的方程為，兩式相除，得，即，又，即，解得，即直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，所以直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.2．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，且橢圓的焦距為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于，（其橫坐標(biāo)）兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，試問點(diǎn)是否在定直線上？若在，請給予證明，并求出定直線方程；若不在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，證明見解析，點(diǎn)在定直線(1)由題意可得，，設(shè)，則，，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則.因?yàn)?，且，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，.由（1）可知，，則直線的方程為，直線的方程為，從而，即，解得：.故點(diǎn)在定直線上.3．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）或；（2）證明見解析.解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線聯(lián)立方程組，，可得，則，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直線的方程為或．（2）直線的方程為，直線的方程為，直線與的交點(diǎn)為，故，即，進(jìn)而得到，又，故，解得故點(diǎn)在定直線上．4．如圖所示，P（在函數(shù)的左邊）與Q（在函數(shù)的右邊）分別為函數(shù)的兩個點(diǎn)，F(xiàn)為該拋物線的焦點(diǎn)．（1）若P的坐標(biāo)為（-2，t），連接PF交拋物線另一點(diǎn)于H點(diǎn)，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）記PQ直線為m，其在y軸上的截距為6，過P作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于M點(diǎn)，連接QF，若QF恰好經(jīng)過M點(diǎn)，求直線m的方程．【答案】（1）（2，1）；（2）．（1）∵P位于拋物線上，故P的坐標(biāo)為（-2，1）-又∵F為拋物線的焦點(diǎn)，得2p=4，解得故F：（0，1）則過PF的直線為y=1根據(jù)拋物線的對稱性，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）-（2）由（1）可知，拋物線的準(zhǔn)線方程應(yīng)當(dāng)為y=-1令P：）；Q：設(shè)過PQ的直線m為，將其代入拋物線得，故因?yàn)镻為切點(diǎn)，故其切線方程為,根據(jù)化簡得當(dāng)y=-1時，得，得故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為則MQ直線方程為，其過點(diǎn)（0，1），故有，化簡得得，化簡得得，故，（舍）故解得4k=2，得k=，直線m的方程為5．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.（1）由題意，得，則，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)，，，直線的方程為.由得，，.由，，得，，故，化簡得.又，故，化簡得，即，則或.當(dāng)點(diǎn)在定直線上時，直線與拋物