中考數(shù)學(xué)壓軸題分類思想

用心愛心專心中考數(shù)學(xué)壓軸題分類思想一、耐心填一填——一錘定音1.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切,點D在圓C內(nèi),點B在圓C外,那么圓A的半徑r的取值范圍是__________________.解析:分⊙A與⊙C內(nèi)切、外切兩種情況.答案:1<r<8或18<r<252.在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC分別是3和2,則∠BAC的度數(shù)為__________________.解析:(1)∠BAC=∠CAD-∠BAD=45°-30°=15°.(2)∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°.答案:15°或75°3.直角三角形三邊之長為5、4、m,則此三角形斜邊上的高為_____________.解析:5和m都有可能為斜邊.答案:4.若正方形四個頂點分別在直角三角形三條邊上,直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長為____________cm.解析:分以下兩種情況討論.答案:5.一個等腰三角形的周長為14cm,且一邊長是4cm,則它的腰長是_______________.解析:一邊長為4cm,可能為腰也可能為底.答案:4cm或5cm6.已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分,則底邊長為____________.答案：9或57.要做兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6,另一個三角形框架的一邊長為2,欲使這兩個三角形相似,三角形框架的另兩邊長可以是_______________.解析:與2對應(yīng)的邊中,4、5、6均有可能.答案:8.用一張邊長分別為10cm、8cm的矩形紙片做圓柱的側(cè)面,所得圓柱的底面半徑為_________________(結(jié)果可帶π).解析:10cm、8cm均有可能為圓柱的高.答案:二、精心選一選——慧眼識金9.如圖1-3-2,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,P是弦AB上一點,若OP的長為整數(shù),則滿足條件的點P有()圖1-3-2A.2個B.3個C.4個D.5個答案：D10.在同一個平面內(nèi),四條直線的交點個數(shù)不能是()A.2B.3C.4答案：A11.P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點,過點P作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,滿足這樣條件的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條解析:如圖.答案:C12.如圖1-3-3,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點,AD=12.在AB上取一點E,使A、D、E三點組成的三角形與△ABC相似,則AE的長為()圖1-3-3A.16B.14C.16或14D.16解析:(1).∴P2的坐標(biāo)為(6-,0).③當(dāng)P3為AB的中點時,P3B=P3C,△BCP3∴P3的坐標(biāo)為(4,0).④當(dāng)BP4=BC時(P4在B點的右側(cè)),△BCP4為等腰三角形.∴P4的坐標(biāo)為(6+,0).∴在x軸上存在點P,使△BCP為等腰三角形,符合條件的點P的坐標(biāo)為(0,0),(6-,0)(4,0),(6+,0).19.(2006上海中考,25)已知點P在線段AB上,點O在線段AB延長線上.以點O為圓心,OP為半徑作圓,點C是圓O上的一點.圖1-3-5(1)如圖1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO.求證:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常數(shù),且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中項.當(dāng)點C在圓O上運動時,求AC∶BC的值(結(jié)果用含m的式子表示);(3)在(2)的條件下,討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系,并寫出相應(yīng)m的取值范圍.(1)證明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴.∵PO=CO,∴.∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO.(2)解:設(shè)OP=x,則OB=x-1,OA=x+m,∵OP是OA、OB的比例中項,∴x2=(x-1)(x+m),得x=,即OP=.∴OB=.∵OP是OA、OB的比例中項,即.∵OP=OC,∴.設(shè)圓O與線段AB的延長線相交于點Q,當(dāng)點C與點P、點Q不重合時,∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.∴;當(dāng)點C與點P或點Q重合時,可得=m,∴當(dāng)點C在圓O上運動時,AC∶BC=m.(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),AC+BC=(m+1)BC,圓B和圓C的圓心距d=BC,顯然BC<(m+1)BC,∴圓B和圓C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含.當(dāng)圓B與圓C相交時,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2.∵m>1,∴1<m<2.當(dāng)圓B與圓C內(nèi)切時,(m-1)BC=BC,得m=2.當(dāng)圓B與圓C內(nèi)含時,BC<(m-1)BC,得m>2.20.我市英山縣某茶廠種植“春蕊牌”綠茶,由歷年來市場銷售行情知道,從每年的3月25日起的180天內(nèi),綠茶市場銷售單價y(元)與上市時間t(天)的關(guān)系可以近似地用如圖1-3-6中的一條折線表示.綠茶的種植除了與氣候、種植技術(shù)有關(guān)外,其種植的成本單價z(元)與上市時間t(天)的關(guān)系可以近似地用如圖1-3-7的拋物線表示.圖1-3-6圖1-3-7(1)直接寫出圖1-3-6中表示的市場銷售單價y(元)與上市時間t(天)(t>0)的函數(shù)關(guān)系式;(2)求出圖1-3-7中表示的種植成本單價z(元)與上市時間t(天)(t>0)的函數(shù)關(guān)系式;(3)認(rèn)定市場銷售單價減去種植成本單價為純收益單價,問何時上市的綠茶純收益單價最大?(說明:市場銷售單價和種植成本單價的單位:元/500克解:(1)依題意,可建立的函數(shù)關(guān)系式為y=(2)由題目已知條件可設(shè)z=a(t-110)2+20.∵圖象過點(60,),∴=a(60-110)2+20.∴a=.∴z=(t-110)2+20(t>0).(3)設(shè)純收益單價為W元,則W=銷售單價-成本單價.故W=化簡得W=①當(dāng)W=-(t-10)2+100(0<t<120)時,有t=10時,W最大,最大值為100;②當(dāng)W=-(t-110)2+60(120≤t<150)時,由圖象知有t=120時,W最大,最大值為;③當(dāng)W=-(t-170)2+56(150≤t≤180)時,有t=170時,W最大,最大值為56.綜上所述,在t=10時,純收益單價有最大值,最大值為100元.21.(2006云南課改中考,25)如圖1-3-8,在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,OABC的邊OA在x軸上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中點,延長AD交OC的延長線于點E.圖1-3-8(1)畫出△ECD關(guān)于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E1CD,并求出點E1的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過C、E1、B三點的拋物線的函數(shù)表達式;(3)請?zhí)角蠼?jīng)過C、E1、B三點的拋物線上是否存在點P,使以點P、B、C為頂點的三角形與△ECD相似.若存在這樣的點P,請求出點P的坐標(biāo);若不存在這樣的點P,請說明理由.解:(1)過點E作EE1⊥CD交BC于F點、交x軸于E1點,則E1點為E點的對稱點.連結(jié)DE1、CE1,則△CE1D為所畫的三角形.∵△CED∽△OEA,,∴.∵EF、EE1分別是△CED、△OEA的對應(yīng)高,∴.∴EF=EE1.∴F是EE1的中點.∴E點關(guān)于CD的對稱點是E1點,△CE1D為△CED關(guān)于CD的對稱圖形.在Rt△EOE1中,OE1=cos60°×EO=×8=4.∴E1點的坐標(biāo)為(4,0).(2)∵OABC的高為h=sin60°×4=.過C作CG⊥OA于G,則OG=2.∴C、B點的坐標(biāo)分別為(2,)、(8,).∵拋物線過C、B兩點,且CB∥x軸,C、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,∴拋物線的對稱軸方程為x=5.又∵拋物線過E1(4,0),則拋物線與x軸的另一個交點為A(6,0).∴可設(shè)拋物線為y=a(x-4)(x-6).∵點C(2,)在拋物線上,∴=a(2-4)(2-6),解得a=.∴y=(x-4)(x-6)=.(3)根據(jù)兩個三角形相似的條件,由于在△ECD中∠ECD=60°,若△BCP與△ECD相似,則△BCP中必有一個角為60°.下面進行分類討論:①當(dāng)P點在直線CB的上方時,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°.∴△PCB為鈍角三角形.又∵△ECD為銳角三角形,∴△ECD與△CPB不相似.從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點P使△CPB與△ECD相似.②當(dāng)P點在直線CB上時,點P與C點或B點重合,不能構(gòu)成三角形.∴在直線CB上不存在滿足條件的P點.③當(dāng)P點在直線CB的下方時,若∠BCP=60°,則P點與E1點重合.此時,∠ECD=∠BCE1,而,∴.∴△BCE1與△ECD不相似.若∠CBP=60°,則P點與A點重合.根據(jù)拋物線的對稱性,同理可證△BCA與△CED不相似.22.(2006廣東深圳中考,22)如圖1-3-9,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點M在x軸的正半軸上,⊙M交x軸于A、B兩點,交y軸于C、D兩點,且C為的中點,AE交y軸于G點,若點A的坐標(biāo)為(-2,0),AE=8.圖1-3-9(1)求點C的坐標(biāo).(2)連結(jié)MG、BC,求證:MG∥BC.(3)如圖1-3-10,過點D作⊙M的切線,交x軸于點P.動點F在⊙M的圓周上運動時,的比值是否發(fā)生變化,若不變,求出比值;若變化,說明變化規(guī)律.圖1-3-1答案：(1)解:方法一:∵直徑AB⊥CD,∴CO=CD.∵,C為的中點,∴.∴.∴CD=AE.∴CO=CD=4.∴C點的坐標(biāo)為(0,4).方法二:連結(jié)CM,交AE于點N,∵C為的中點,M為圓心,∴AN=AE=4,CM⊥AE.∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM和△COM中,∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4.∴C點的坐標(biāo)為(0,4).(2)證明:設(shè)半徑AM=CM=r,則OM=r-2.由OC2+OM2=MC2得42+(r-2)2=r2.解得r=5.∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG∽△ANM.∴.∵MN=OM=3,即.∴OG=.∵.∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB.∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.(說明:直接用平行線分線段成比例定理的逆定理不扣分)(3)解:連結(jié)DM,則DM⊥PD,DO⊥PM,∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP.∴DM2=MO·MP,DO2=OM·OP,(說明:直接使用射影定理不扣分)即42=3·OP.∴OP=.當(dāng)點F與點A重合時,,當(dāng)點F與點B重合時,.當(dāng)點F不與點A、B重合時,連結(jié)OF、PF、MF.∵DM2=MO·MP,∴FM2=MO·MP.∴.∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF.∴.∴綜上所述,的比值不變,比值為.23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l1經(jīng)過點A(-2,0)和點B(0,),直線l2的函數(shù)表達式為y=-,l1與l2相交于點P.⊙C是一個動圓,圓心C在直線l1上運動,設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a.過點C作CM⊥x軸,垂足是點M.圖1-3-11(1)填空:直線l1的函數(shù)表達式是________________,交點P的坐標(biāo)是________________,∠EPB的度數(shù)是________________.(2)當(dāng)⊙C和直線l2相切時,請證明點P到直線CM的距離等于⊙C的半徑R,并寫出R=3-2時a的值.(3)當(dāng)⊙C和直線l2不相離時,已知⊙C的半徑R=-2,記四邊形NMOB的面積為S(其中點N是直線CM與l2的交點).S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時a的值;若不存在,請說明理由.解:(1)y=P(1,)60°(2)設(shè)⊙C和直線l2相切時的一種情況如圖甲所示,D是切點,連結(jié)CD,則CD⊥PD.過點P作CM的垂線PG,垂足為G,則Rt△CDP≌Rt△PGC.(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC)所以PG=CD=R.當(dāng)點C在射線PA上,⊙C和直線l2相切時,同理可證.取R=-2時,a=1+R=-1或a=-(R-1)=3-.甲(3)當(dāng)⊙C和直線l2不相離時,由(2)知分兩種情況討論:①如圖乙,當(dāng)0≤a≤-1時,S=.乙當(dāng)a=-=3時(滿足a≤-1),S有最大值,此時S最大值=.②當(dāng)3-≤a<0時,顯然⊙C和直線l2相切,即a=3-時,S最大,此時S最大值=［］·|3-|=.綜合以上①和②,當(dāng)a=3或a=3-時,存在S的最大值,其最大面積為.24.(2006湖南常德中考,26)把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起,使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動,讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn),設(shè)射線DE與射線AB相交于點P,射線DF與線段BC相交于點Q.(1)如圖1-3-12(1),當(dāng)射線DF經(jīng)過點B,即點Q與點B重合時,易證△APD∽△CDQ.此時AP·CQ=_________