第十二章全等三角形單元檢測卷（基礎篇）解析版

第十二章全等三角形（基礎篇）一、單選題1．下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．【詳解】解：A、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；C、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質，屬于較容易的基礎題．2．如圖，已知≌，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據全等三角形的性質，可得，，即可求解．【詳解】解：≌，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．3．如圖，在2×2的方格紙中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【分析】首先利用“邊角邊”求出△和△全等，根據全等三角形對應角相等可得，再根據直角三角形兩銳角互余求解．【詳解】解：如圖，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠2＝∠3，在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故選：B．【點睛】本題考查了全等圖形，主要利用了網格結構以及全等三角形的判定與性質，準確識圖并確定出全等三角形是解題的關鍵．4．在△ABC與△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（）A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1【答案】B【分析】根據全等三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A.由條件根據“SAS”可得△ABC≌△A1B1C1，不合題意；B.由條件不能得到△ABC≌△A1B1C1，符合題意；C.由條件根據“ASA”可得△ABC≌△A1B1C1，不合題意；D.由條件根據“SSS”可得△ABC≌△A1B1C1，不合題意．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．5．根據下列條件，能畫出唯一△ABC的是（

）A．AB＝3，BC＝4，CA＝7 B．AC＝4，BC＝3.5，∠A＝60°C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75° D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°【答案】D【分析】根據全等三角形的判定，三角形的三邊關系一一判斷即可．【詳解】解：A、不滿足三邊關系，本選項不符合題意．B、邊邊角三角形不能唯一確定．本選項不符合題意．C、沒有邊的條件，三角形不能唯一確定．本選項不符合題意．D、斜邊直角邊三角形唯一確定．本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6．下列說法正確的是（

）A．面積相等的兩個三角形一定全等 B．兩個等邊三角形一定全等C．周長相等的兩個三角形一定全等 D．三邊分別相等的兩個三角形全等【答案】D【分析】根據全等三角形的判定，逐項判斷即可求解．【詳解】解∶A、面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤，不符合題意；B、兩個等邊三角形不一定全等，故本選項錯誤，不符合題意；C、周長相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤，不符合題意；D、三邊分別相等的兩個三角形全等，故本選項正確，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．7．如圖，要測池塘兩端A，B的距離，小明先在地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD＝CA；連接BC并延長到E，使CE＝CB，發(fā)現(xiàn)DE＝AB．那么判定△ABC和△DEC全等的依據是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】由題意知AC=DC，BC=EC，由于∠ACB=∠DCE，根據“SAS”即可證明△ABC≌△DEC．【詳解】解：由題意知CD=CA，CE=CB，在△DCE和△ABC中，，∴△DCE≌△ABC（SAS）．故選：B．【點睛】此題主要考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解題的關鍵．8．如圖，在中，，點為上的點，連接，點在外，連接AE，BE，使得，，過點作交點，若，，則（

）A．49° B．59° C．41° D．51°【答案】C【分析】先證明△ABE≌△BCD，可得∠BAE=∠CBD，再利用直角三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE=∠CBD，∵∠BAE=21°，∠C=28°，∴∠CBD=21°，∴∠BDF=∠CBD+∠C=21°+28°=49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD=90°，∴∠FBD=90°-∠BDF=90°-49°=41°．故選：C．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，判斷出△ABE≌△BCD是解本題的關鍵．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，過點A作AF∥BC且AF＝AD，點E是AC上一點且AE＝AB，連接EF，DE．連接FD交BE于點G．下列結論中正確的有（）個．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由“SAS”可證△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性質依次判斷可求解．【詳解】∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAE＝∠BAD，故①正確；在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正確；∵AF＝AD，∠DAF＝90°，∴∠AFD＝45°＝∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正確；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD＝S△AEF，∴S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF，故④正確；如圖，過點E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN＝90°，∴∠EFN＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，在△BGD和△EGN中，，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG＝GE，故⑤正確，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】B【分析】作MN⊥AD于N，根據平行線的性質求出∠DAB，根據角平分線的判定定理得到∠MAB=∠DAB，計算即可．【詳解】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中點，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質與判定，熟練掌握相關內容、正確添加輔助線是解題的關鍵.填空題11．如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．【答案】；【分析】延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據已知線段長度建立等量關系計算．【詳解】如圖：延長至使，連接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【點睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關的角的代換是解決本題的關鍵．12．如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為__【答案】48【分析】根據平移的性質得出BE=6，DE=AB=10，則OE=6，則陰影部分面積=S四邊形ODFC=S梯形ABEO，根據梯形的面積公式即可求解．【詳解】解:由平移的性質知，BE＝6，DE＝AB＝10，∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，∴S四邊形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE）?BE×（10+6）×6＝48．故答案為48．【點睛】本題主要考查了平移的性質及梯形的面積公式，得出陰影部分和梯形ABEO的面積相等是解題的關鍵．13．如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．【答案】70【分析】先利用HL證明△ABE≌△CBF，可證∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.【詳解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為70.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.14．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝_____．【答案】55°【分析】根據∠BAC＝∠DAE能夠得出∠1＝∠EAC，然后可以證明△BAD≌△CAE，則有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．【詳解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案為：55°．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，三角形外角性質，掌握全等三角形的判定方法及性質是解題的關鍵．15．如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于點F,則_________;【答案】60°【分析】根據等邊三角形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△BCE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠CBE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AFE=∠ABC，從而得解．【詳解】解：在等邊△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，∵，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，即∠AFE=60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，證明△ABD和△BCE全等是解本題的難點，也是關鍵．16．如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是________．（只需寫一個，不添加輔助線）【答案】AC=DF（答案不唯一）【詳解】∵BF=CE，∴BF＋FC=CE＋FC，即BC=EF；∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一邊對應相等，∴根據全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．故答案為：AC=DF．（答案不唯一）17．如圖，△ABE，△BCD均為等邊三角形，點A，B，C在同一條直線上，連接AD，EC，AD與EB相交于點M，BD與EC相交于點N，下列說法正確的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【詳解】∵△ABE，△BCD均為等邊三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正確；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正確；∴△BMN為等邊三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正確；若EM=MB，則AM平分∠EAB，則∠DAB=30°，而由條件無法得出這一條件，故④不正確；綜上可知正確的有①②③，故答案為①②③.點睛：本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性質（即全等三角形的對應邊相等，對應角相等）.18．如圖，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，點C為射線OP上一點，作CD⊥OA于點D，在∠POB的內部作CE∥OB，則∠DCE=__度．【答案】130【分析】先根據角平分線的性質求出∠AOC和∠BOC的大小，再利用三角形外角的性質求出∠DCP的大小，根據平行線的性質求出∠PCE的大小，進而可得∠DCE的大?。驹斀狻拷猓骸摺螦OB＝40°，OP平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝20°，又∵CD⊥OA于點D，CE∥OB，∴∠DCP＝90°＋20°＝110°，∠PCE＝∠POB＝20°，∴∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝110°＋20°＝130°．【點睛】本題考查了相交線與平行線的相關知識，以及角平分線的性質、垂線和三角形內角和、外角相關知識，解題的關鍵是求出∠DCP和∠PCE的大小．三、解答題19．如圖，線段、相交于點,,.求證：.【答案】詳見解析【分析】根據對頂角相等可知∠AEB=∠DEC，結合已知,，可證得△AEB≌△DEC，故∠B=∠C.【詳解】證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC故.【點睛】本題考查了全等三角形中邊角邊的判定，軸對稱型全等三角形的模型，掌握即可解題.20．已知：如圖所示△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE，BD．求證：AE=BD．【答案】詳見解析.【分析】根據等腰直角三角形的性質得出∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，然后加上同一個角得出∠BCD=∠ACE，從而說明△ACE和△BCD全等，從而得出答案．【詳解】證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE與△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的證明，屬于基礎題型．找出隱含的條件以及明確等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．21．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，連接AF．求證：AF平分∠BAC．【答案】證明見解析【分析】先根據AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用內角和為180°，可分別求∠BCE和∠DBC，利用等量減等量差相等，可得FB=FC，再易證△ABF≌△ACF，從而證出AF平分∠BAC．【詳解】證明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)，∵BD、CE分別是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB(高的定義)，∴∠CEB=∠BDC=90°，∴∠ECB=90°?∠ABC,∠DBC=90°?∠ACB，∴∠ECB=∠DBC(等量代換)，∴FB=FC(等角對等邊)，在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF(SSS)，∴∠BAF=∠CAF(全等三角形對應角相等)，∴AF平分∠BAC．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．22．如圖1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8．點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由B點向點D運動．它們的運動時間為t(s).

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=2時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為每秒x個單位，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x,t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由見解析；（2）存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等，，【分析】（1）利用HL證得Rt△PAC≌Rt△QBP，得出∠APC=∠PQB，進一步得出∠PQB+∠QPB=∠APC+∠QPB=90°，得出結論即可；（2）由△ACP≌△BQP，分兩種情況：①AC=BQ，AP=BP，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．【詳解】（1）解：△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：當t=2時，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠PAB=∠PBQ=90°，在Rt△PAC和Rt△QBP中，

，∴Rt△PAC≌Rt△QBP，∴∠APC=∠PQB，∵∠PQB+∠QPB=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC⊥PQ.（2）解：存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等，理由如下：若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，即,解得；若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BO，即,解得.【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于掌握判定定理.23．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）連接、，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再根據、的長度表示出、，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：連接、，點在的垂直平分線上，，是的平分線，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．24．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．【答案】（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）△DEF為等邊三角形，證明見解析【分析】（1）因為DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE