一元二次方程 【核心知識(shí)精講精思】 九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（人教版）

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程目錄1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

隨堂檢測(cè)1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會(huì)把一元二次方程化為一般形式；（重點(diǎn)）2.了解一元二次方程的根的概念.

（重點(diǎn)）3.能根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)情景：要設(shè)計(jì)一座高2m的人體雕像,使

它的上部(腰以上)與下部(腰以

下)的高度比等于下部與全身的

高度比,則雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)多

少米高?新課導(dǎo)入情境導(dǎo)入問題1：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？問題2：你能畫出示意圖表示這個(gè)問題嗎？問題3：能反映問題的等量關(guān)系的是哪一句話？問題4：設(shè)雕像下部高BC=xm,請(qǐng)說出你所列的方

程，并化簡(jiǎn).這個(gè)方程是一元一次方程嗎？

它有什么特點(diǎn)？審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答x2+2x-4=02mx2-x新課導(dǎo)入思考新課導(dǎo)入x2＋2x－4＝0這個(gè)方程與我們學(xué)過的一元一次方程不同，其中未知數(shù)x的最高次數(shù)是2.

思考（1）如何解這類方程?（2）如何用這類方程解決一些實(shí)際問題?新課講解

知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義合作探究

問題一：如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100cm，寬50cm．在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?

問題一中，要制作一個(gè)無蓋的方盒，四角都要剪去一個(gè)相同的正方形，我們?cè)O(shè)正方形邊長(zhǎng)為

cm，則盒底的寬為

cm，盒底的長(zhǎng)為

cm，根據(jù)矩形的面積公式及方盒的底面積3600cm2，可列方程為

.(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式嗎？新課講解分析：(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=36004x2－300x+1400=0x2－75x+350=0先去括號(hào)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1新課講解新課講解

問題2要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？全部比賽場(chǎng)數(shù)為4×7=28.設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)要與其他(x－1)個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng)，因?yàn)榧钻?duì)對(duì)乙隊(duì)的比賽和乙隊(duì)對(duì)甲隊(duì)的比賽是同一場(chǎng)比賽，所以全部比賽共

場(chǎng).列方程.整理，得.

解上面方程即可得出參賽隊(duì)數(shù).分析：（2）方程中只含有

未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是

．（1）這些方程的兩邊都是

．整式2觀察由上面的問題得到的方程有什么特點(diǎn)？新課講解討論

等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．結(jié)論x2?x=56x2?75x+350=0x2+2x?4=0一個(gè)新課講解例

1

下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有

個(gè).

1①含有兩個(gè)未知數(shù).②不是整式方程.④未知數(shù)的最高次數(shù)不是2.⑤整理后未知數(shù)的最高次數(shù)不是2.③符合一元二次方程的“三要素”.分析：×√×××典例分析1.下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：練一練新課講解練一練如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是關(guān)于x一元二次方程，那么m的值為(

)A．±3

B．3C．－3

D．以上都不對(duì)下列關(guān)于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0DC23提示

判斷一元二次方程的步驟，首先看是不是整式方程；如果是，則進(jìn)一步整理化簡(jiǎn)，看化簡(jiǎn)后的方程中是否只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.新課講解

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式.為什么要規(guī)定a≠0？

因?yàn)閍=0時(shí)，未知數(shù)的最高次數(shù)小于2.當(dāng)

a=0時(shí)bx＋c=0當(dāng)

a≠0，b=0時(shí)

ax2＋c=0當(dāng)

a≠0，c

=0時(shí)

ax2＋bx=0當(dāng)

a≠0，b

=c

=0時(shí)

ax2

=0總結(jié)：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要滿足a≠0，b

，c

可以為任意實(shí)數(shù).為什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以為零呢？當(dāng)b≠0時(shí)，為一元一次方程一元二次方程新課講解新課講解ax2

+

bx+c=0(a≠

0)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)指出方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)要帶上前面的符號(hào)喲.

二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)：新課講解例

2

將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．典例分析解：去括號(hào)，得3x2－3x＝5x＋10.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.所以二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為－8，常數(shù)項(xiàng)為－10.一元二次方程的每一項(xiàng)（系數(shù)）都應(yīng)包括它前面的符號(hào)。

1、指出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：方程二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)21-330-51-30練一練2、將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

3x2－1x－2=02x2－7x＋3=01x2－5x＋0=02x2－5x－11=0友情提示：某一項(xiàng)的系數(shù)包括它前面的符號(hào),當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)通?；癁檎龜?shù)。當(dāng)系數(shù)為1或-1時(shí)，1省略不寫。新課講解知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.練一練下面哪些數(shù)是方程x2–4x+3=0的解?

-2，0，1，2，3，4.解：1和3.你注意到了嗎？一元二次方程的根可能不止一個(gè).新課講解例

3

已知a是方程x2+2x-2=0

的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求

3a2+6a+2019的值.典例分析解：由題意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2.∴3a2+6a+2019=3(a2+2a)=3×2+2019=2025.已知方程的解求代數(shù)式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，將所求代數(shù)式的一部分看作一個(gè)整體，再用整體思想代入求值．

練一練-112★知識(shí)拓展新課講解一元二次方程概念是整式方程；含一個(gè)未知數(shù)；（一元）最高次數(shù)是2.（二次）一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；解（根）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.定義判斷等號(hào)兩邊都是整式，只含一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程課堂小結(jié)1.一元二次方程3x2=5x的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別

是（

）

A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0C當(dāng)堂小練2.下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：－4，3.當(dāng)堂小練3.根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.有一根1m長(zhǎng)的鐵絲，怎樣用它圍一個(gè)面積為0.06m2的平

方的長(zhǎng)方形?解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據(jù)題意，得x(0.5-x)=0.06.

整理，得50x2-25x+3=0.4.在矩形場(chǎng)地的中央修建一個(gè)正方形花壇，花壇四周的面積與花壇面積相等。如果矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比花壇的邊長(zhǎng)長(zhǎng)6m，寬比花壇的邊長(zhǎng)寬4m，求正方形花壇的邊長(zhǎng)（只列方程，不求解）

1.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的一個(gè)根為1，

求a+b+c