第12講直線與圓、圓與圓的位置關系（解析版）

第12講直線與圓、圓與圓的位置關系【知識點梳理】知識點一：直線與圓的位置關系1.直線與圓的位置關系：(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點.2.直線與圓的位置關系的判定：(1)代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線與圓C有公共點.有兩組實數(shù)解時，直線與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線與圓C相切；無實數(shù)解時，直線與圓C相離.(2)幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關系判斷：當時，直線與圓C相交；當時，直線與圓C相切；當時，直線與圓C相離.知識點詮釋：(1)當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理.(3)當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解決.知識點二：圓的切線方程的求法1．點在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2．點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識點詮釋：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．常見圓的切線方程：（1）過圓上一點的切線方程是；（2）過圓上一點的切線方程是.知識點三：求直線被圓截得的弦長的方法1．應用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．2．利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．知識點四：圓與圓的位置關系1.圓與圓的位置關系：(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.2.圓與圓的位置關系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離.(2)幾何法：設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.當時，兩圓相交；當時，兩圓外切；當時，兩圓外離；當時，兩圓內(nèi)切；當時，兩圓內(nèi)含.知識點詮釋：判定圓與圓的位置關系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關系來確定，這種方法運算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關系時，一般不用代數(shù)法.3.兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4．兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關系題型二：由直線與圓的位置關系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標題型三：切線與切線長問題題型四：弦長問題題型五：判斷圓與圓的位置關系題型六：由圓的位置關系確定參數(shù)題型七：公共弦與切點弦問題題型八：公切線問題題型九：圓中范圍與最值問題【典型例題】題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關系1．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））圓與直線的位置關系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】【分析】先計算出直線恒過定點，而點在圓內(nèi)，所以圓與直線相交.【詳解】直線可化為，所以恒過定點.把代入，有：，所以在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關系為相交.故選：C2．（2022·江蘇·高二）直線與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線距離與圓半徑之間的關系進行判定.【詳解】因為，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.故選：B.3．（2022·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二階段練習）不論k為何值，直線kx－y＋1－3k＝0都與圓相交，則該圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】直線過定點，接下來只需要將點分別代入各個選項的圓中，找出值小于25對應的圓即為答案【詳解】，直線恒過點將點代入中可得；將點代入中可得；將點代入中可得；將點代入中可得；所以直線恒過的定點在內(nèi)，所以當為任意實數(shù)時，直線都與圓相交，故選：B（多選題）4．（2022·江蘇·高二）已知直線：與圓：，則（

）A．直線與圓相離 B．直線與圓相交C．圓上到直線的距離為1的點共有2個 D．圓上到直線的距離為1的點共有3個【答案】BD【解析】【分析】計算圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關系.【詳解】由圓，可知其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，即，所以直線與圓相交，故A錯誤，B正確，所以圓上到直線的距離為1的點共有3個，故C錯誤，D正確，故選：BD（多選題）5．（2022·江蘇·高二）已知直線與圓，則下列結論正確的是（

）A．存在，使得的傾斜角為B．存在，使得的傾斜角為C．存在，使直線與圓相離D．對任意的，直線與圓相交，且時相交弦最短【答案】AD【解析】【分析】由時，得到直線，可判定A正確；求得直線的斜率，結合得到方程，可判定B錯誤；化簡直線，得到直線過點，結合點與圓的位置關系，可判定C錯誤；由時，得到，結合圓的弦的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對于A中，當時，直線，此時直線的傾斜角為，所以A正確；對于B中，當時，可得直線的斜率為，若直線的傾斜角為，可得，即，此時方程無解，所以B錯誤；對于C中，由直線，可化為，令，解得，即直線恒經(jīng)過點，又由圓的圓心坐標為，半徑為，因為，則，所以點在圓內(nèi)部，所以無論為何值，直線與圓總相交，所以C錯誤；對于D中，當時，直線，此時直線的斜率為，又由，此時，即，根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時弦長最短，所以D正確.故選：AD.（多選題）6．（2022·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校高二期中）已知直線與圓，則（

）A．直線與圓C相離B．直線與圓C相交C．圓C上到直線的距離為1的點共有2個D．圓C上到直線的距離為1的點共有3個【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系可判斷.【詳解】由圓，可知其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項B，D正確，選項A，C錯誤.故選：BD7．（2022·江蘇·高二）直線與圓的位置關系是___________.（選填“相交”、“相切”、“相離”）【答案】相交【解析】【分析】由圓心到直線的距離與半徑的關系判斷即可.【詳解】圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關系是相交.故答案為：相交8．（2022·全國·高二課時練習）直線和的位置關系是______．【答案】相切【解析】【分析】首先得到圓的圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷；【詳解】解：圓圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，則直線與圓相切；故答案為：相切9．（2022·浙江·義烏市商城學校高二階段練習）直線與圓的位置關系是_________.（填相切、相交、相離）【答案】相交【解析】【分析】首先求出直線過定點坐標，再判斷點與圓的位置關系，即可判斷直線與圓的位置關系；【詳解】解：直線恒過定點，又，即點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交；故答案為：相交10．（2022·廣東深圳·高二期末）已知圓C：的半徑為1．(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長．【答案】(1)；(2)直線l與圓C相交，.【解析】【分析】（1）利用配方法進行求解即可；（2）根據(jù)點到直線的距離公式，結合圓的弦長公式進行求解即可.(1)將化為標準方程得：．因為圓C的半徑為1，所以，得．(2)由（1）知圓C的圓心為，半徑為1．設圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設其交點為A，B，則，即．11．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列直線l與圓C的位置關系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相切；(2)相離；(3)相交.【解析】【分析】求出圓C的圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式計算判斷作答.(1)圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，所以直線l與圓C相切.(2)圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，所以直線l與圓C相離.(3)圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，所以直線l與圓C相交.12．（2022·江蘇·高二課時練習）對于圓，直線，分別根據(jù)下列條件，判斷直線l與圓C的位置關系：(1)點在圓C上；(2)點在圓C外.【答案】(1)直線與圓相切(2)直線與圓相交【解析】【分析】求出圓心到直線的距離的表達式，再由在圓上、圓外求出，與的關系，進而求出與的關系，判斷出直線與圓的位置關系．(1)解：圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因為點在圓上，所以可得，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；(2)解：因為點在圓外，所以，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相交．13．（2022·江蘇·高二課時練習）設k為實數(shù)，證明：無論k取何值，直線與圓都有兩個交點.【答案】證明見解析【解析】【分析】求得直線恒過定點，判斷與圓心的距離與半徑的關系，即可得到證明．【詳解】證明：直線即為，由可得，則直線恒過定點，而圓，即圓心，半徑，所以，可得在圓內(nèi)，即無論取何值，直線與圓都有兩個交點．題型二：由直線與圓的位置關系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標1．（2022·江蘇·高二）已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關系判斷出公切線條數(shù).2．（2022·吉林·長春市第六中學高二階段練習（理））已知圓上的點到直線的距離等于，那么的值不可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出圓心到直線的距離的最大值，可得出的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】直線過定點，因為，故點在圓外，圓心，半徑為，且，所以，圓心到直線的距離的最大值為，所以，圓上的到直線的距離的最大值為，當直線有公共點時，圓上的到直線的距離的最小值為，故圓上的點到直線的距離的取值范圍是，且、、，.故選：D.3．（2022·江蘇·高二）過點的直線與圓交于、兩點，當時，直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用幾何關系計算出圓心的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，然后設出直線的方程，利用點到直線的距離公式可取得結果.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，由已知可得，且，故為等腰三角形，且，所以，圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與圓相切，不合乎題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，則，解得.故選：C.4．（2022·上海市控江中學高二期中）若直線與曲線恰有兩個不同公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線過定點，以及直線和圓的位置關系即可得出結論，利用數(shù)形結合作出圖像進行研究即可【詳解】直線過定點，

曲線為以為圓心，1為半徑，且位于軸上半部分的半圓，如圖所示當直線過點時，直線與曲線有兩個不同的交點，此時，解得.當直線和曲線相切時，直線和半圓有一個交點，圓心到直線的距離，解得結合圖像可知，當時，直線和曲線恰有兩個交點故選：B5．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數(shù)（

）A．－2 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】由圓心到直線的距離為得出.【詳解】設圓的半徑為，由可得，因為是正三角形，所以點到直線的距離為即，兩邊平方得，故選：D6．（2022·上海市行知中學高二階段練習）若圓上恰有個點到直線的距離為，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為、，數(shù)形結合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點到直線的距離公式可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設與直線平行且與直線之間的距離為的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，，即.故答案為：.7．（2022·安徽省舒城中學高二期中）在平面直角坐標系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設點，根據(jù)列式求解得動點P的軌跡，再代入點到直線的距離公式列不等式即可求解.【詳解】設點，則，即，所以動點P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，要在圓上至少存在兩點到直線的距離等于，則需圓心到直線的距離，解得.故答案為：8．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知中，，，點在直線上，的外接圓圓心為，則直線的方程為______．【答案】【解析】【分析】圓心到點的距離即為半徑，可得到外接圓的方程，聯(lián)立圓的方程與直線的方程，得到點坐標，利用直線方程兩點式即可求解.【詳解】因為的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，即的外接圓方程為．聯(lián)立，解得，或，所以或（與點重合），舍，所以直線的方程為，即．故答案為：.9．（2022·江蘇·高二）若圓上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為，求直線l的傾斜角的取值范圍．【答案】【解析】【分析】由圓的一般方程求得圓心和半徑，由圓心到直線的距離建立不等式，求解即可.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為．因為圓上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為，所以圓心到直線的距離不大于．故，化簡得，即，即，，，所以．10．（2022·江蘇·高二課時練習）求直線和圓的公共點的坐標，并判斷它們的位置關系.【答案】，，相交【解析】【分析】聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點坐標，即可得解；【詳解】解：直線和圓的公共點的坐標就是方程組的解，消去得，解得或，所以方程組的解為或.所以公共點的坐標為，.因為直線和圓有兩個公共點，所以直線和圓相交.題型三：切線與切線長問題1．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學高二期中（文））直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.2．（2022·貴州師大附中高二開學考試（理））已知圓，過點P（5，5）作圓M的一條切線，切點為N，則切點N到直線PM的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由圓的方程可得且半徑，兩點距離公式有，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，應用勾股定理有，再應用等面積法求切點N到直線PM的距離.【詳解】由題設，且半徑，故，又N是切點，則，若切點N到直線PM的距離為，所以，故.故選：B3．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二期中（理））若直線與圓相切，則的值是（

）A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12【答案】C【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心坐標為半徑為1，所以或.故選：C4．（2022·全國·高二課時練習）已知圓的方程為，則過圓上一點的切線方程為___________.【答案】【解析】【分析】求出切線的斜率，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】記點，圓的圓心為與坐標原點，，所以，所求切線的斜率為，故所求切線的方程為，即.故答案為：.5．（2022·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高二期中）經(jīng)過圓上一點且與圓相切的直線的一般式方程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得出切線的斜率，結合點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標為，因為，則，則過點且與圓相切的直線的斜率為，根據(jù)直線的點斜式方程，可得直線的方程為，即，即點且與圓相切的直線的一般式方程為.故答案為：6．（2022·廣東·潮州市綿德中學高二階段練習）過點且與圓相切的直線的方程是______．【答案】或【解析】【分析】當直線斜率不存在時，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當直線斜率存在時，設斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當直線l的斜率不存在時，因為過點，所以直線，此時圓心到直線的距離為1=r，此時直線與圓相切，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設斜率為k，所以，即，因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或7．（2022·上海金山·高二期中）求過點的圓的切線方程__________.【答案】或【解析】【分析】利用幾何法求出切線的斜率，即可得到切線方程.【詳解】過點的斜率不存在的直線為：，圓心到直線的距離為1，與圓相交，不是切線；當斜率存在，設其為k，則切線可設為.所以，解得：或.所以切線方程為：或.故答案為：或.8．（2022·天津市第九十五中學益中學校高二期末）若過點作圓的切線，則切線方程為___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或．故答案為：或．9．（2022·四川·成都實外高二階段練習（文））設P為已知直線上的動點，過點P向圓作一條切線，切點為Q，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由題意得當最小時，CP連線與直線垂直，由點到直線的距離公式和勾股定理可求得答案.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，由題意得當最小時，CP連線與直線垂直，所以，由勾股定理得，所以的最小值為，故答案為：.10．（2022·重慶市清華中學校高二階段練習）已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線、，、為切點，則四邊形的面積的最小值為______【答案】【解析】【分析】依題意可得，由點到直線的距離公式結合勾股定理求出的最小值，即可求得四邊形的面積的最小值；【詳解】解：由圓，得到圓心，半徑由題意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，當最小時，最小，此時所求的面積也最小，點是直線上的動點，當時，有最小值，此時，所求四邊形的面積的最小值為；故答案為：11．（2022·廣東·高二階段練習）過點P（3，4）作圓O：的兩條切線，設切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積=______．【答案】【解析】【分析】求出，，即得解.【詳解】解：由題得，，∴，∴四邊形PAOB的面積．故答案為：.12．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.13．（2022·全國·高二課時練習）已知圓．求滿足下列條件的切線方程．(1)過點；(2)過點．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）由題知點在圓，且切線斜率存在，進而根據(jù)切線與直線垂直求得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求解即可；（2）根據(jù)題意，分斜率不存在和存在兩種情況討論求解即可.(1)解：因為圓的圓心為，半徑為，點在圓上，所以過點的切線斜率存在，且其與直線垂直，因為，所以，所求切線的斜率為，所以，所求切線方程為，即：.(2)解：因為圓的圓心為，半徑為，所以，當過點的切線斜率不存在時，其方程為，滿足題意；當切線斜率存在時，設斜率為，則其方程為，即，所以，圓心到切線的距離為，解得，所以，切線方程為，即：.綜上，所求切線方程為或14．（2022·廣東汕尾·高二期末）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)過點作圓C的切線，求切線方程．【答案】(1)．（或標準形式）(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．(1)解：根據(jù)題意，因為圓過兩點，，設的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，(2)解：當過點P的切線的斜率不存在時，此時直線與圓C相切當過點P的切線斜率k存在時，設切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或15．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學高二階段練習）已知圓：，動直線過點.(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點，求中點的軌跡方程.【答案】(1)或；(2)且，.【解析】【分析】（1）討論直線斜率不存在易得直線為，再根據(jù)兩條切線關于對稱，結合傾斜角的關系、二倍角正切公式求得另一條切線的斜率為，即可寫出切線方程.（2）設，根據(jù)，應用兩點距離公式化簡得到的軌跡方程，注意x、y的范圍.(1)當直線斜率不存在時，顯然直線與圓相切且切點為；所以，對于另一條切線，若切點為，則，又，所以，由圖知：直線的傾斜角的補角與互余，所以直線的斜率為，故另一條切線方程為，即，此時切點綜上，直線的方程為或.(2)由（1）知：直線與圓相交于、兩點，則斜率必存在，設，則，所以，整理得.由（1）得：，且.綜上，故的軌跡方程為且，.16．（2022·江蘇·高二課時練習）光線沿直線射入，經(jīng)過x軸反射后，反射光線與以點為圓心的圓C相切，求圓C的方程．【答案】【解析】【分析】求出入射直線與x軸交點，結合入射直線、反射直線斜率關系及點斜式寫出反射直線方程，再由直線與圓相切，應用點線距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】令，則，可得，故入射直線與x軸交點為，由反射直線斜率與入射直線斜率互為相反數(shù)，則反射直線的斜率為，所以反射直線為，整理得，因為反射光線與以點為圓心的圓C相切，所以圓C的半徑，故圓C的方程為.題型四：弦長問題1．（2022·江蘇·高二）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定最小時直線與直線的位置關系，即可得結果.【詳解】由恒過，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由，圓的半徑為5，所以.故選：A2．（2022·江蘇·高二）直線與圓相交于A，B兩點，若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用圓的弦長、半徑、弦心距的關系結合已知求出弦心距的范圍，再借助點到直線的距離公式計算作答.【詳解】令圓的圓心到直線l的距離為d，而圓半徑為，弦AB長滿足，則有，又，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：B3．（2022·江蘇·高二）若直線與圓所截得的弦長為，則實數(shù)為（

）．A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理即可求解.【詳解】解：圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線的距離為，又直線被圓所截的弦長為，故，即，解得或.故選：D.4．（2022·全國·高二課時練習）直線與圓相交所得的弦長是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設直線與圓交于兩點，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，圓的圓心坐標為，半徑，則圓心到直線的距離，設直線與圓交于兩點，所以，故答案為：.5．（2022·江西·上高二中模擬預測（理））已知圓C過點兩點，且圓心C在y軸上，經(jīng)過點且傾斜角為銳角的直線l交圓C于A，B兩點，若(C為圓心)，則該直線l的斜率為________．【答案】【解析】【分析】設圓心坐標，根據(jù)可求圓心，根據(jù)題意可得圓心C到直線l的距離，代入點到直線距離公式求解．【詳解】設圓心，由題意可得，即，則即圓心C的圓心，半徑設直線l：即根據(jù)題意可得圓心C到直線l的距離，解得故答案為：．6．（2022·全國·高二課時練習）設圓C同時滿足三個條件：①過原點；②圓心在直線y＝x上；③截y軸所得的弦長為4，則圓C的方程是______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意設圓的圓心為，圓過原點和截y軸所得的弦長為4，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意設圓的圓心為，則，解得，所以圓C的方程是或，故答案為：或7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圓，直線l過點且與圓O交于A，B兩點，當面積最大時，直線l的方程為_________．【答案】【解析】【分析】分當直線l的斜率不存在和當直線l的斜率存在時分別討論求出弦的長，得出面積的表達式，得出最大值，從而得出答案.【詳解】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，則由，得，所以,當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為原點到直線l的距離為：當且僅當，即時取得等號.由，解得由故直線l的方程為：，即故答案為：8．（2022·江蘇·高二）已知三點在圓C上，直線，(1)求圓C的方程;(2)判斷直線與圓C的位置關系；若相交，求直線被圓C截得的弦長．【答案】(1)(2)直線與圓C相交，弦長為【解析】【分析】（1）圓C的方程為:，再代入求解即可；（2）先求解圓心到直線的距離可判斷直線與圓C相交，再用垂徑定理求解弦長即可(1)設圓C的方程為:，由題意得:，

消去F得:，解得:，∴F=-4，

∴圓C的方程為:.(2)由（1）知:圓C的標準方程為:，圓心，半徑;點到直線的距離，故直線與圓C相交，故直線被圓C截得的弦長為9．（2022·福建·高二學業(yè)考試）求直線被圓截得的弦長．【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，結合勾股定理可求得結果.【詳解】解：圓的圓心為原點，半徑為，原點到直線的距離為，因此，直線被圓截得的弦長為.10．（2022·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二階段練習）過點作圓的割線，割線被圓截得的弦長為，求該割線方程．【答案】或【解析】【分析】由于點在圓的外部，設割線方程為．根據(jù)圓心到割線的距離為，解得的值，可得割線的方程.【詳解】設割線方程為，即．由于圓心到割線的距離為，解得，或，故割線的方程為或．11．（2022·江蘇·高二）已知圓M過點．(1)求圓M的方程；(2)若直線與圓M相交所得的弦長為，求b的值．【答案】(1)(2)6或16【解析】【分析】（1）設圓的一般方程，將點代入，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)直線與圓的弦長公式即可求解．(1)設圓M的方程為，因為圓M過三點，則解得，所以圓M的方程為，即；(2)由題意，得圓心到直線l的距離，故，即，解得或16．故所求b的值為6或16．12．（2022·江蘇·高二）已知圓C的圓心為原點，且與直線相切，直線過點．(1)求圓C的標準方程；(2)若直線與圓C相切，求直線的方程．(3)若直線被圓C所截得的弦長為，求直線的方程．【答案】(1)(2)，或(3)或【解析】【分析】（1）利用點到直線的距離求出半徑，即可得到圓C的標準方程；（2）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，當斜率存在時，設出直線，利用點到直線距離等于半徑求出斜率，即可求解；（3）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，利用圓的垂徑定理，列出弦長公式進行求解.(1)圓心到直線的距離，所以圓的半徑為，所以；(2)當直線斜率不存在時，圓心到直線的距離為，不相切．直線斜率存在，設直線，由，得所以切線方程為，或．(3)當直線斜率不存在時，，直線被圓所截得的弦長為，符合題意；當直線斜率存在時，設直線，由，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或題型五：判斷圓與圓的位置關系1．（2022·江蘇·高二）圓與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)含 D．外切【答案】D【解析】【分析】由圓的方程得到兩圓的圓心和半徑，通過比較圓心距與半徑關系即可判斷.【詳解】由題，圓的圓心為，半徑為2；圓，即，所以圓心為，半徑為；所以兩圓圓心距離為，所以兩圓外切.故選：D2．（2022·湖南·炎陵縣第一中學高二階段練習）圓與圓的位置關系是(

)A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【解析】【分析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差的關系即可判斷兩圓位置關系.【詳解】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.3．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）在平面直角坐標系中，圓：和圓：的位置關系是（

）A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】B【解析】【分析】求得兩圓的圓心坐標與半徑，結合圓與圓的位置關系的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，圓：，可得圓心坐標，半徑為，圓：，則圓心坐標為，半徑為，可得兩圓的圓心距，則，即，所以圓與圓相交.故選：B.（多選題）4．（2022·江蘇南通·高二期末）已知，圓，，則（

）A．當時，兩圓相交 B．兩圓可能外離C．兩圓可能內(nèi)含 D．圓可能平分圓的周長【答案】AB【解析】【分析】首先得出兩圓的圓心和半徑，然后將圓心距與半徑之和、之差作比較，即可判斷ABC，若圓平分圓的周長，則兩圓的公共弦所在直線過點，然后通過計算可判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，，當時，，所以兩圓相交，故A正確；因為，所以兩圓可能外離，不能內(nèi)含，故B正確C錯誤；圓的一般方程為，所以兩圓的公共弦所在直線方程為，若圓平分圓的周長，則直線過點，所以，此方程無解，所以圓不能平分圓的周長，故D錯誤；故選：AB5．（2022·全國·高二課時練習）圓與圓的位置關系為___________.【答案】相交【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系，求出圓心距和半徑之間的關系即可得解.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，所以圓心距，可得，所以和相交.故答案為：相交6．（2022·江蘇·高二）已知圓的標準方程是，圓關于直線對稱，則圓與圓的位置關系為______．【答案】相交【解析】【分析】由兩圓方程可確定圓心和半徑；利用圓關于直線對稱可知的圓心在直線上，由此可求得；由圓心距和兩圓半徑之間的關系可得兩圓位置關系.【詳解】由圓的方程知其圓心，半徑；由圓的方程知其圓心，半徑；圓關于直線對稱，直線過圓心，即，解得：，圓心，；兩圓圓心距，則，又，，，即，圓與圓相交.故答案為：相交.7．（2022·青海·海南藏族自治州高級中學高二期末（理））已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關系是______．【答案】相交【解析】【分析】把兩個圓的方程化為標準方程，分別找出兩圓的圓心坐標和半徑，利用兩點間的距離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關系比較即可知兩圓位置關系.【詳解】化為，化為，則兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，圓心距為，，所以兩圓相交.故答案為：相交.8．（2022·江蘇·高二）（1）判斷圓與圓的位置關系；（2）證明圓與圓外切，并求出切點坐標.【答案】（1）圓內(nèi)含于圓；（2）證明見解析，切點為【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再計算圓心距與半徑和（差）比較，即可判斷；（2）首先將圓的方程化為標準式，得到圓心坐標與半徑，再計算圓心距與半徑和比較，即可證明，再兩圓方程作差得到直線方程，聯(lián)立直線與圓的方程，即可求出切點坐標；【詳解】解：（1）圓，即圓，圓心，半徑；圓，即圓，圓心，半徑，所以，所以，所以兩圓內(nèi)含，即圓內(nèi)含于圓；（2）證明：圓①，即圓，圓心，半徑；圓②，即圓，圓心，半徑，所以，所以，所以兩圓相外切；①②得，即，則，解得，即切點坐標為9．（2022·江蘇·高二）已知圓，點分別在軸和圓上.(1)判斷兩圓的位置關系；(2)求的最小值.【答案】(1)外離；(2)﹒【解析】【分析】(1)判斷兩圓圓心距和兩圓半徑之和及半徑之差的關系即可判斷兩圓的位置關系；(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可知，作關于(1，2)關于x軸的對稱點，則，據(jù)此即可求得答案．(1)圓的圓心為(1，2)，半徑為1，圓的圓心為(3，4)，半徑為，∵，∴兩圓外離；(2)，作(1，2)關于x軸的對稱點，則當、P、三點共線時，所求最小值為．10．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列各組中兩個圓的位置關系：(1)與；(2)與；(3)與．【答案】(1)內(nèi)切；(2)外切；(3)相交.【解析】【分析】求出每個問題中的兩個圓的圓心坐標及對應的半徑，再利用幾何法判斷作答.(1)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，所以與內(nèi)切.(2)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，所以與外切.(3)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，有，所以與相交.11．（2022·全國·高二課時練習）判斷圓與圓的位置關系，并畫出兩圓，的圖形．【答案】外切；圖形見解析.【解析】【分析】求出兩個圓的圓心及半徑，再求出圓心距即可判斷，畫出圖形.【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則有，所以圓與外切，其圖形如下：12．（2022·全國·高二課時練習）求證：圓與圓不可能相外切．【答案】證明見解析【解析】【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再計算圓心距與半徑和的關系，即可判斷；【詳解】解：圓，即，圓心，半徑；圓，即，圓心，半徑，所以，，則，所以，即，所以圓與圓相離，即不可能相外切；題型六：由圓的位置關系確定參數(shù)1．（2022·河南安陽·高二階段練習（理））已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意圓、相離，則，分別求圓心和半徑代入計算．【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即∴故選：A．2．（2022·全國·高二課時練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】【分析】直接設點P，根據(jù)可以求得點P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設點P∵即整理得：∴點P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或故選：C．3．（2022·江蘇·高二）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將圓化為標準形式確定圓心和半徑，即知內(nèi)切于則，結合基本不等式求的最小值.【詳解】由題設，，，又與內(nèi)切，而，且，所以內(nèi)切于，則，故，當時等號成立.所以的最小值為.故選：B4．（2022·江蘇·高二）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則m的最大值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【解析】【分析】由題意得點軌跡，轉(zhuǎn)化為有交點問題【詳解】，記中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，又P在圓C上，所以兩圓有交點，則，而，得．故選：B5．（2022·江蘇·高二）若圓與圓相外切，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】【分析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因為兩圓相外切，所以，解得，故選：D6．（2022·廣東深圳·高二期末）若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以．因為，所以，解得，故選：C．7．（2022·四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學高二開學考試（理））在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】圓是以為圓心，1為半徑的圓，直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點只需圓與直線有公共點即可，由此能求出的取值范圍．【詳解】解：圓的方程為，整理得：，即圓是以為圓心，1為半徑的圓；又直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，只需圓與直線有公共點即可．設圓心到直線的距離為，則，即，．故選：A．8．（2022·安徽·高二開學考試）若圓上存在點P，且點P關于直線的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】求出圓關于y＝x對稱后的圓的方程，問題等價于圓與圓有交點，則圓與圓的圓心距應該介于兩圓半徑之和與半徑之差的絕對值之間，由此可求r的范圍.【詳解】點P(x，y)關于y＝x對稱點為Q(y，x)，∴圓的圓心為，半徑為r，其關于的對稱圓方程為：，根據(jù)題意，圓與圓有交點.又圓與圓的圓心距，要滿足題意，只需，解得：.故選：A.9．（2022·江蘇·高二）在平面直角坐標系中，，，動點滿足，的軌跡方程為____，的軌跡與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】

【解析】【分析】第一空：設出，由直接求解即可；第二空：兩圓相交或相切，根據(jù)圓心距和半徑之間的關系列出不等式求解即可.【詳解】設，由得，化簡得；的軌跡與圓有公共點，兩圓心分別為，圓心之間的距離為4，故，解得.故答案為：；.10．（2022·江蘇·高二）設P為曲線上動點，Q為曲線上動點，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.【答案】【解析】【分析】求出圓心距，根據(jù)圓的對稱性得出.【詳解】由可得故答案為：11．（2022·江蘇·高二）已知圓：與圓：.(1)若圓與圓外切，求實數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下，若直線l過點(2，1)，且與圓的相交弦長為，求直線l的方程.【答案】(1)m=5(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)兩圓外切，兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和可得；（2）先根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，然后分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用點到直線的距離公式可得.(1)圓：，則，半徑r1=1，由圓：，得，則，半徑.∵圓與圓外切，∴，∴，解得m=5.(2)由(1)得m=5，圓的方程為，則，r2=2.由題意可得圓心到直線l的距離，當直線l斜率不存在時，直線方程為x=2，符合題意;當直線l斜率為k時，則直線方程為，化為一般形式為，則圓心(3，0)到直線l的距離，解得k=0，得直線方程為y=1.綜上，直線l的方程為或.12．（2022·全國·高二課時練習）求以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心距等于半徑和求解得圓C的半徑，再求解方程即可.【詳解】解：由題知的圓心為，，因為以為圓心，且與圓相外切，設圓C的半徑為，所以，即，所以，所以圓C的方程為題型七：公共弦與切點弦問題1．（2022·重慶復旦中學高二開學考試）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，因為，則，所以，圓與圓相交，將兩圓方程作差得，即.因此，兩圓的相交弦所在直線的方程為.故選：A.2．（2022·吉林·長春外國語學校高二開學考試）已知圓：和圓：，則（

）A．公共弦長為 B．公共弦長為C．公切線長 D．公切線長【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得公共弦所在直線方程，利用直線截圓所得弦長的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為圓的圓心為，半徑；對圓，其圓心為，半徑，圓心距，又，故兩圓相交，設交于兩點.故所在直線方程為：，整理得：，故到直線的距離，故.故選：B.3．（2022·全國·高二課時練習）過點作圓的切線，若切點為A、，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出以為圓心，為半徑為圓的方程，再求兩個圓的公共弦方程即可.【詳解】根據(jù)題意，設，圓的圓心為，半徑，有，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即，公共弦所在的直線即直線，則，變形可得；即直線的方程是；故選：B.【點睛】求兩個圓的公共弦方程的方法就是兩個圓的方程相減，消去x、y平方項，變成關于x、y的一次方程.4．（2022·全國·高二課時練習）若從坐標原點O向圓作兩條切線，切點分別為A，B，則線段的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】圓心為在軸上，因此關于對稱，即軸，在四邊形中易求得的長．【詳解】圓標準方程是，圓心為，半徑為，所以關于對稱，即關于軸對稱，而，，所以，所以．故選：D．【點睛】結論點睛：過圓外一點作圓的切線，切點為，則的垂直平分線是，則由面積法得切點弦長．5．（2022·江蘇·高二）已知圓與圓相交于A，B兩點，則______.【答案】【解析】【分析】由題知直線的方程為，進而根據(jù)幾何法得弦，再在中，利用余弦定理并結合同角三角函數(shù)關系求解即可.【詳解】解：因為圓與圓相交于A，B兩點，所以直線的方程為：，即，所以圓心到弦的距離為，所以弦，所以在中，，由余弦定理得，所以故答案為：6．（2022·全國·高二期末）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.【答案】(1，－1)【解析】【分析】設Q的坐標為(m，n)，根據(jù)方程，寫出切點弦AB所在直線方程，利用的關系，求得動直線恒過的定點坐標.【詳解】由題意可設Q的坐標為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點Q作圓O：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有，解得，則直線AB恒過定點(1，－1).故答案為：(1，－1).7．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.【答案】【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.8．（2022·全國·高二課時練習）已知兩圓和.圓和公共弦方程為___________；圓和公共弦的長度為___________.【答案】

【解析】【分析】聯(lián)立兩圓方程得出圓和公共弦方程，聯(lián)立得出兩圓交點坐標，進而得出圓和公共弦的長度.【詳解】和兩式相減得出，即圓和公共弦方程為設圓和相交于兩點，由可得則圓和公共弦的長度為故答案為：；9．（2022·江蘇·高二）已知圓：與：相交于A、B兩點．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程；(3)求經(jīng)過A、B兩點且面積最小的圓的方程．【答案】(1)x－2y＋4＝0(2)(3)【解析】【分析】（1）兩圓相減，可得公共弦所在直線方程；（2）首先設圓系方程（為常數(shù)），根據(jù)圓心在直線上，求，即可求得圓的方程；（3）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，即可求得圓心和半徑.(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．(2)設經(jīng)過A、B兩點的圓的方程為（為常數(shù)），則圓心坐標為；又圓心在直線y＝－x上，故，解得，故所求方程為．(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標為，由弦長公式可知所求圓的半徑為．故面積最小的圓的方程為．10．（2022·江蘇·高二）已知圓和圓，若點(，)在兩圓的公共弦上，求的最小值．【答案】8【解析】【分析】兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程，根據(jù)P在公共弦上可得a＋b＝2，根據(jù)和基本不等式即可求的最小值．【詳解】圓和圓的兩個方程相減即可得到兩圓的公共弦所在直線方程為，∵點(，)在兩圓的公共弦上，∴，∴，當且僅當，即、時等號成立，∴的最小值為8．11．（2022·江蘇·高二）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．【答案】【解析】【分析】設兩圓交點為A、B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓，聯(lián)立兩圓，求得公共弦方程，再求得兩圓圓心連線的方程，即可求得圓心坐標，根據(jù)弦長公式，求得弦AB的長，可得圓的半徑，即可得答案.【詳解】設兩圓交點為A、B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓．聯(lián)立，可得直線AB的方程為．又圓M的圓心，圓N的圓心所以兩圓圓心連線的方程為．解方程組，可得圓心坐標為．圓心到直線AB的距離為，圓M的半徑為，弦AB的長為，則所求圓的半徑為，所以所求圓的方程為．12．（2022·江蘇·高二）圓的方程為，圓的圓心，若圓與圓交于A、B兩點且，求圓的方程.【答案】圓或．【解析】【分析】可設圓，則公共弦的方程為，利用的長度為可得到的距離從而得到大小．【詳解】解：設圓，因為圓，此兩圓的方程相減即得兩圓公共弦，則圓心O1到直線的距離，故或者，故圓或．13．（2022·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）我們知道：當是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.(1)求圓C的方程；(2)當時，求線段AB的長；(3)當點在直線上運動時，求線段AB長度的最小值.【答案】(1)；(2)；(3)4.【解析】【分析】(1)根據(jù)圓的圓心和半徑設圓的標準方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點Q，當CQ垂直于AB時，AB最短.(1)由題，設圓C的標準方程為，則，解得.故圓C方程為；(2)根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；(3)設，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設圓心C到直線的距離為，則，故當最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.題型八：公切線問題1．（2022·甘肅·天水市第一中學高二期中）已知兩圓方程分別為和．則兩圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】【分析】得出兩圓的位置關系后判斷【詳解】兩圓的圓心分別為和，半徑分別為2和3，圓心距，則兩圓外切，公切線有3條．故選：C2．（2022·江蘇·高二）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【解析】【分析】利用已知條件判斷圓與圓的關系，進而可以求解.【詳解】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線.故選：B.3．（2022·江蘇·高二）兩圓與的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】【分析】求得圓心坐標分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關系的判定方法，得出兩圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.4．（2022·安徽省宣城中學高二開學考試）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】判斷兩圓的位置關系，根據(jù)兩圓的位置關系判斷兩圓公切線的條數(shù).【詳解】圓的標準方程為，圓心坐標為，半徑長為.圓的標準方程為，圓心坐標為，半徑長為.圓心距為，由于，即，所以，兩圓相交，公切線的條數(shù)為.故選：B.5．（2022·四川·遂寧中學高二開學考試（文））設點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】當最小時，四邊形PACB的面積取得最小，此時PC：與聯(lián)立聯(lián)立求得，和PC的中點坐標及，可得以PC為直徑的圓的方程與圓C的方程相減可得答案．【詳解】由于PA，PB是圓C：的兩條切線，A，B是切點，所以，當最小時，四邊形PACB的面積取得最小，此時PC：，即，聯(lián)立得所以，PC的中點為，，以PC為直徑的圓的方程為，即，與圓C：兩圓方程相減可得直線AB的方程．故選：B．6．（2019·河北·高二學業(yè)考試）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設直線交軸于點，推導出為的中點，為的中點，利用勾股定理可求得.【詳解】如下圖所示，設直線交軸于點，由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則，，，，為的中點，為的中點，，由勾股定理可得.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于推導出為的中點，并利用勾股定理進行計算，此外，在直線與圓相切的問題時，要注意利用圓心與切點的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì).（多選題）7．（2022·全國·高二課時練習）如圖，點，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構成曲線，則（）A．曲線與軸圍成的圖形的面積等于 B．與的公切線的方程為C．所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為 D．所在的圓截直線所得弦的長為【答案】BCD【解析】【分析】由題已知曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個圓，故此可寫出各段圓弧所在的方程，然后根據(jù)圓的相關知識判斷各選項.【詳解】解：由題意得：A選項：、、所在的圓的方程分別為，，.曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個圓，其面積為，故A錯誤；B選項：設與的公切線方程為，則，所以，，所以與的公切線方程為，即，故B正確；C選項：由和兩式相減得，即為公共弦所在的直線方程，故C正確；D選項：所在的圓的方程為，圓心，圓心到直線的距離，則所求的弦長為，故D正確.故選：BCD8．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（文））圓和圓的公切線的條數(shù)為______．【答案】3【解析】【分析】判斷出兩個圓的位置關系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關系0條公切線，內(nèi)切關系1條公切線，相交關系2條公切線，外切關系3條公切線，外離關系4條公切線?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：39．（2022·江蘇·高二）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.10．（2021·全國·高二課時練習）求圓與圓的內(nèi)公切線所在直線方程及內(nèi)公切線的長．【答案】或，8【解析】【分析】利用兩圓的圓心在軸得到內(nèi)公切線的交點也在軸上，再利用幾何性質(zhì)可求的坐標，最后利用內(nèi)公切線和圓相切得到其斜率，從而可求其直線方程.【詳解】，，，．設內(nèi)公切線與連心線交于點，則在軸上且．設，可得，．設內(nèi)公切線所在直線方程為，即．由，得．所以內(nèi)公切線所在直線方程為或．內(nèi)公切線的長為．【點睛】當兩圓相離時，兩圓有兩條外公切線和內(nèi)公切線，求它們的直線方程時，應先利用幾何性質(zhì)求出外公切線的交點、內(nèi)公切線的交點，它們和兩圓的圓心在一條直線上，再利用相切求出斜率.題型九：圓中范圍與最值問題1．（2022·江蘇·高二）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定最小時直線與直線的位置關系，即可得結果.【詳解】由恒過，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由，圓的半徑為5，所以.故選：A2．（2022·廣西梧州·高二期中（理））已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】先得到圓心的軌跡為圓，然后利用該圓的圓心到原點的距離減去該圓的半徑可得解.【詳解】依題意，半徑為2的圓經(jīng)過點，所以圓心的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為.故選：B.3．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學高二期末）已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（

）A．-1 B． C．+1 D．6【答案】A【解析】【分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標原點的距離，從而求出圓上的點到坐標原點的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點的距離為，故圓上的點到坐標原點的距離最小值為.故選：A4．（2022·四川省通江中學高二階段練習（理））直線與圓交于兩點，則弦長的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．2【答案】D【解析】【分析】先求得直線恒過定點，由時，取得最小值求解.【詳解】直線可化為，由，解得，所以直線恒過定點，當時，取得最小值，此時，所以,故選：D5．（2022·江蘇·南京市第十三中學高二開學考試）若是直線上的動點，PA、PB與圓相切于A、B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為（

）A． B． C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性及三角形的面積公式將問題轉(zhuǎn)化為求最小，再由勾股定理及點到直線的距離公式可求解.【詳解】由圓，得到圓心，半徑，由題意可得：，，，∴，在中，由勾股定理可得：，當最小時，最小，此時所求的面積也最小，點是直線：上的動點，當時，有最小值，，所求四邊形的面積的最小值為8.故選：D.6．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二開學考試）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心坐標，再借助“1”的妙用計算作答.【詳解】圓，即的圓心為，依題意，點在直線上，則有，整理得，而，于是得，當且僅當時取“=”，所以的最小值為4.故選：D7．（2022·安徽省蚌埠第三中學高二開學考試）若實數(shù)x，y滿足，則下列關于的最值的判斷正確的是（

）A．最大值為2＋，最小值為—2－B．最大值為2＋，最小值為2－C．最大值為－2＋，最小值為－2－D．最大值為—2＋，最小值為2－【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何意義，把可看作圓上任意一點與定點連