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文檔簡介

第五章

三角函數(shù)5.3誘導公式(一)是用什么方法研究的?1.終邊相同的角的三角函數(shù)有什么關系呢?我們還可以研究什么問題?2.這組公式有什么作用?公式一sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα如圖,設30°角的終邊與單位圓的交點為點P,210°角的終邊與單位圓的交點為點P′.認真觀察圖形,回答下列問題:30°xyOPP′210°【探究問題】1.30°角的終邊與210°角的終邊有什么關系?2.設點P的坐標為P(x,y),則點P′的坐標是什么?3.由問題2,30°角和210°角的三角函數(shù)值分別是多少?4.30°角和210°角的三角函數(shù)值有什么關系?5.由上述問題,你能總結(jié)出一般結(jié)論嗎?30°xyOPP′210°如圖,設角α的終邊與單位圓交于點P1(x,y),則角π+α的終邊與單位圓的交點為P2(-x,-y),下面是根據(jù)三角函數(shù)定義推導公式的過程,請你補充完整:由三角函數(shù)的定義得sin

α=

,cos

α=

,tan

α=

,又sin(π+α)=

,cos(π+α)=

,tan(π+α)=

=

,

sin(π+α)=

,cos(π+α)=

,tan(π+α)=

.

-sin

α-cos

α-tan

αyx-x-y誘導公式(二)sin(π+α)=-sin

α,

cos(π+α)=-cos

α,

tan(π+α)=tan

α.

公式作用:第三象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù),例如:tan(-α)=

=

.如圖,設角α的終邊與單位圓的交點為P1(x,y),由于角-α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱,因此角-α與單位圓的交點P2(-x,-y),則sin

α=y,cos

α=x,sin(-α)=

=

;-sin

α-tan

α-ycos(-α)=

=

;cos

αx誘導公式(三)sin(-α)=-sin

α,

cos(-α)=cos

α,

tan(-α)=-tan

α.

公式作用:將負角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù),例如:tan(π-α)=

=

.如圖,設角α的終邊與單位圓的交點為P1(x,y),由于角π-α的終邊與角α的終邊關于y軸對稱,因此角π-α與單位圓的交點P2(-x,y),則sin

α=y,cos

α=x,sin(π-α)=

=

;sin

α-tan

αycos(π-α)=

=

;-cos

α-x誘導公式(四)sin(π-α)=sin

α,

cos(π-α)=-cos

α,

tan(π-α)=-tan

α.

公式作用:將第二象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù).例1.求值:(1);(2)

分析:先將不是[0o,360o)范圍內(nèi)角的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為[0o,360o)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)(利用誘導公式一)或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導公式化到[0o,90o)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的值.

例1.求值(1);(2)

解:(1)用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),其一般步驟是:①化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù);②化為[0,2π)內(nèi)的三角函數(shù);③化為銳角的三角函數(shù).可概括為:“負化正,大化小,化到銳角為終了”(有時也直接化到銳角求值).

任意負角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)的銳角的三角函數(shù)用公式三或一一二或四用公式用公式練習:利用誘導公式求下列三角函數(shù)值:(1)(2)(3)(4)例2.化簡解:練習:已知證明:課堂小結(jié)

1.誘導公式(二)sin(π+α)=-sin

α,

cos(π+α)=-cos

α,

tan(π+α)=tan

α.

2.誘導公式(三)sin(-α)=-sin

α,

cos(-α)=cos

α,

tan(-α)=-tan

α.

3.誘導公式(四)sin(π-α)=si

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