多元函數(shù)微分學(xué)課件

多元函數(shù)微分學(xué)課件第一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第八章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用開始退出第二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念返回第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第三節(jié)全微分總習(xí)題第三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回一.區(qū)域四.多元函數(shù)的連續(xù)性三.多元函數(shù)的極限二.多元函數(shù)概念第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念習(xí)題第四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

一、區(qū)域

1.鄰域設(shè)是xOy平面上的一個點，δ是某一正數(shù).與點距離小于δ的點的全體稱為的鄰域，記為，即也就是返回下一頁第五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六2.區(qū)域設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點.如果存在點P的某一鄰域使，則稱P為E的內(nèi)點(圖8-1).

如果點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集.

如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬

P于E的點，也有不屬于E的點，

E則稱P為E的邊界點（圖8-2）.

設(shè)D是開集.如果對于D內(nèi)的圖8-1任何兩點，都可用折線連結(jié)起下一頁上一頁返回第六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六來,而且該折線上的點都屬于D,P則稱開集D是連通的.

連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.E開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.

圖8-23.n維空間設(shè)n為取定的一個自然數(shù),我們稱有序n元數(shù)組的全體為n維空間,而每個有序n元數(shù)組稱為n維空間中的一個點,數(shù)稱返回下一頁上一頁第七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六為該點的第i個坐標(biāo),n維空間記為.n維空間中兩點及間的距離規(guī)定為返回下一頁上一頁第八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、多元函數(shù)概念

定義1設(shè)D是平面上的一個點集.如果對于每個點P=(x,y)∈D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng),則稱z是變量x、y的二元函數(shù)(或點P的函數(shù)),記為點集D稱為該函數(shù)的定義域,x、y稱為自變量,z例題返回下一頁上一頁第九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六也稱為因變量,數(shù)集

稱為該函數(shù)的值域.

把定義1中的平面點集D換成n維空間內(nèi)的點集D.則可類似的定義n元函數(shù).當(dāng)n=1時，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當(dāng)n≥2時n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).返回下一頁上一頁第十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六三、多元函數(shù)的極限二元函數(shù)當(dāng),,即時的極限.這里表示點以任何方式趨于，也就是點與點間的距離趨于零，即定義2設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對于適合不等式返回下一頁上一頁第十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六的一切點P(x,y)∈D，都有成立，則稱常A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)，時的極限，記作或這里.例題返回下一頁上一頁第十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六四、多元函數(shù)的連續(xù)性

定義3設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點或邊界點且.如果則稱函數(shù)f(x,y)在點連續(xù).

若函數(shù)f(x,y)在點不連續(xù)，則稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點.

函數(shù)返回下一頁上一頁第十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)x→0,y→0時的極限不存在，所以點(0,0)是該函數(shù)的一個間斷點.

函數(shù)在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點，是一條曲線.

性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值.

在D上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切P∈D，有返回下一頁上一頁第十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。如果μ是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個數(shù)，則在D上至少有一點Q，使得f(Q)=μ.*性質(zhì)3(一致連續(xù)性定理)在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù).

若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對于D上的返回下一頁上一頁第十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六任意二點，只要當(dāng)時，都有成立.

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.

由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點函數(shù)值，即例題返回上一頁第十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法二.高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)習(xí)題返回第十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法定義設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在而x固定在處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果（1）存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作返回下一頁第十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例如，極限(1)可以表示為

(2)類似地,函數(shù)在點對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為

返回下一頁上一頁第十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

(3)記作如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱為函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作返回下一頁上一頁第二十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六類似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作求時只要把y暫時看作常量對x求導(dǎo)數(shù)；求時只要把暫x時看作常量對y求導(dǎo)數(shù).例題返回下一頁上一頁第二十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

圖8-6返回下一頁上一頁第二十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：返回下一頁上一頁第二十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二元函數(shù)z=f(x,y)在點的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.

設(shè)為曲面z=f(x,y)上的一點,過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為,則導(dǎo)數(shù)

，即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點處的切線對x軸的斜率(見圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對y軸的斜率.返回下一頁上一頁第二十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六其中第二、第三兩個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、···以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.例題例題返回上一頁第二十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)全微分及其應(yīng)用習(xí)題下一頁返回第二十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)全微分及其應(yīng)用

二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏微分.

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一下一頁上一頁返回第二十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六點，則稱這兩點的函數(shù)值之差為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量Δx、Δy的全增量，記作Δz，即

定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量

(1)可表示為下一頁上一頁返回第二十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六其中A、B不依賴于Δx、Δy而僅與x,y有關(guān)，，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)全微分，記作dz,即

(2)

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.

下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分的條件.

定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點下一頁上一頁返回第二十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全微分為

(3)

證

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分.于是對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意點，(2)式總成立.特別當(dāng)時(2)式也應(yīng)成立，這時，所以(2)式成為下一頁上一頁返回第三十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六上式兩邊各除以，再令而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù)存在，而且等于A.同樣可證

=B.所以三式成立.證畢.下一頁上一頁返回第三十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六定理2(充分條件)如果z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分.

證因為我們只限于討論在某一區(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對于偏導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點為這鄰域內(nèi)任意一點，考察函數(shù)的全增量下一頁上一頁返回第三十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六在第一個方括號內(nèi)的表達(dá)式，由于y+Δy不變，因而可以看作是x的一元函數(shù)的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到

又依假設(shè)，在點連續(xù)，所以上式可寫為下一頁上一頁返回第三十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

(4)其中為Δx、Δy的函數(shù)，且當(dāng)時，.

同理可證第二個方括號內(nèi)的表達(dá)式可寫為

(5)其中為Δy的函數(shù)，且當(dāng)時，.

由(4)、(5)兩式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量Δz可以表示為下一頁上一頁返回第三十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六容易看出它就是隨著即而趨于零的.

這就證明了z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的.例題上一頁返回第三十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則返回下一頁習(xí)題第三十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理如果函數(shù)及都在點t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù)在t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：

(1)

證設(shè)t獲得增量Δt，這時、的對應(yīng)增量為Δu、Δv,由此，函數(shù)z=f(u,v)下一頁上一頁返回第三十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六相應(yīng)的獲得增量Δz.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當(dāng)時，.

將上式兩邊各除以Δt，得因為當(dāng)，時，，下一頁上一頁返回第三十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六，所以這就證明符合函數(shù)在點t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計算.證畢.

全微分形式不變

設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分下一頁上一頁返回第三十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六如果u、v又是x、y的函數(shù)、且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為下一頁上一頁返回第四十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六其中及發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的及帶如上式，得下一頁上一頁返回第四十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性.上一頁返回第四十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一.一個方程的情形二.方程組的情形第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式返回習(xí)題第四十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一、一個方程的情況

隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單質(zhì)來年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件，并有（1）返回下一頁第四十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六公式推導(dǎo)：將方程所確定的函數(shù)代入，得恒等式其左端可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得

由于，且，所以存在的返回下一頁上一頁第四十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得

如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得返回下一頁上一頁第四十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所確定的二元函數(shù)的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，返回下一頁上一頁第四十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有

(2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)返回下一頁上一頁第四十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六法則得因為連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得返回下一頁上一頁第四十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、方程組的情況考慮方程組

(5)在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來斷定方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).返回下一頁上一頁第五十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

隱函數(shù)存在定理3設(shè)以及在點的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又、，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)行列式)：返回下一頁上一頁第五十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六在點不等于零，則方程組、在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，，它們滿足條件，，并有返回下一頁上一頁第五十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

(6)返回下一頁上一頁第五十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo).

由于返回下一頁上一頁第五十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六將恒等式兩邊分別對x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于的線性方程組，由假設(shè)可知在點的一個鄰域，系數(shù)行列式返回下一頁上一頁第五十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六從而可解出，得同理，可得

返回上一頁第五十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用返回習(xí)題第五十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線Γ的參數(shù)方程

(1)這里假定(1)式的三個函數(shù)都可導(dǎo).

在曲線Γ上取對應(yīng)與的一點及對應(yīng)于的鄰近一點

.根據(jù)解析幾何，曲線的割線的方程是返回下一頁第五十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)沿著Γ趨于，時割線的極限位置就是曲線Γ在點處的切線(圖8-7).用Δt除上式的各分母，得

令(這Δt→0)，通過對上式取極限，即得圖8-7曲線在點處的切線方程返回下一頁上一頁第五十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

這里當(dāng)要假定都不能為零.

切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量就是曲線通過Γ在點處的一個切向量.

點通過而與切線垂直的平面稱為曲線Γ在返回下一頁上一頁第六十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六點處的法平面，它是通過點而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為返回下一頁上一頁第六十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、曲面的切平面與法線

我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形.

設(shè)曲面Σ由方程(9)給出，是曲面Σ上的一點，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零.在曲線Σ上，通過點M引一條曲線Γ(圖8-8)，假定曲線Γ的參數(shù)方程為返回下一頁上一頁第六十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六程為

(10)

對應(yīng)于點且，，不全為零，則由(2)式可得這曲線的切線方程為

圖8-8返回下一頁上一頁第六十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六引入向量則表示(10)在點M處的切向量返回下一頁上一頁第六十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六與向量n垂直.因為曲線(10)是曲面上通過點M的任意一條曲線，它們在點M的切線都與同一個向量n垂直，所以曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上.這個平面稱為曲面Σ在點M的切平面.這切平面的方程是

(12)

通過點而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點的法線.法線方程是返回下一頁上一頁第六十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.向量就是曲面Σ在點M處的一個法向量.返回上一頁第六十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一.方向?qū)?shù)二.梯度第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度返回習(xí)題第六十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點P引射線.設(shè)x軸正向到射線的轉(zhuǎn)角為，并設(shè)為上的另一點(圖8-9)且.我們考慮函數(shù)的增量與兩點間的距離的比值.當(dāng)沿著趨于時，如果這個比的極限存在，則稱這極返回下一頁第六十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

限為函數(shù)f(x,y)在點P沿

方向的方向?qū)?shù)，記作，即圖8-9返回下一頁上一頁第六十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

定理如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有其中為x軸到方向的轉(zhuǎn)角.

證根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為返回下一頁上一頁第七十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六兩邊各除以，得到所以返回下一頁上一頁第七十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為返回下一頁上一頁第七十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六對于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來說，它在空間一點P(x,y,z)沿著(設(shè)方向的方向為)的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中，

同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點處可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù)返回下一頁上一頁第七十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六為返回下一頁上一頁第七十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、梯度在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作，即返回下一頁上一頁第七十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

由梯度的定義可知，梯度的模為一般來說二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為返回下一頁上一頁第七十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六這條曲線在xOy面的投影是一條平面曲線(圖8-10)，它在xOy平面直角坐標(biāo)系中的方程為

圖8-10返回下一頁上一頁第七十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六對于曲線上的一切點，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱平面曲線為函數(shù)z=f(x,y)的等高線.

由于等高線f(x,y)=c上任一點P(x,y)處的法線斜率為所以梯度返回下一頁上一頁第七十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六為等高線上點P處的法向量.因此我們可得梯度與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度方向與過點P的等高線f(x,y)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向.

對于三元函數(shù)來說，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對每一點，都可定出一個向量返回下一頁上一頁第七十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六這向量稱為函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度，將它記作，即如果我們引進(jìn)曲面返回下一頁上一頁第八十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).返回上一頁第八十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六一.多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二.條件極值第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法返回習(xí)題第八十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點：如果都適合不等式則稱函數(shù)在點有極大值；如果都適合不等式返回下一頁第八十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六則稱函數(shù)在點有極小值

.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù).設(shè)n元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)有異于的任何點都不適合不等式返回下一頁上一頁第八十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六則稱函數(shù)在點有極大值(極小值).

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：證不妨設(shè)在點處有極大值.依極大值的定義，在的某鄰返回下一頁上一頁第八十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六域內(nèi)異于的點都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取而的點，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因而必有返回下一頁上一頁第八十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六類似地可證

如果三元函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點具有極值的必要條件為

定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在返回下一頁上一頁第八十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，令則在處是否取得極值的條件如下：

(1)時具有極值，且當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值；

(2)時沒有極值；

(3)時可能有極值，也可能沒返回下一頁上一頁第八十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六有極值，還需另作討論.

二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點.

第二步對于每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值和.

第三步定出的符號，按定理2的返回下一頁上一頁第八十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值.返回下一頁上一頁第九十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法上面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無其他條件，所以有時候稱為無條件極值.但在實際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題.

例如，求表面積為而體積為最大的長方體的體積問題.設(shè)長方體的三棱的長為還必須滿足附加條件.象這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.返回下一頁上一頁第九十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六對于有些實際問題，可以把條件極值化為無條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問題，可由條件，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入中，于是問題就化為求返回下一頁上一頁第九十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六的無條件極值.

但在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題.

拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中為某一常數(shù).求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，返回下一頁上一頁第九十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六并使之為零，然后與方程聯(lián)立起來：由這方程組解出及，則其中就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點的坐標(biāo).返回下一頁上一頁第九十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六第八章結(jié)束上一頁返回第九十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六總習(xí)題八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi)：（1）在點可微分是在該點連續(xù)的充分條件.在點連續(xù)是在該點可微分的必要條件.

（2）在點的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點可微分的必要下一頁返回第九十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六條件.在點可微分是函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)及存在的充分條件.

（3）的偏導(dǎo)數(shù)及在點存在且連續(xù)是在該點可微分的充分

條件.

（4）函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個二階下一頁返回上一頁第九十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的充分條件.2.求函數(shù)的定義域，并求.3.證明極限不存在.下一頁返回上一頁題解題解第九十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六4.設(shè)求及.5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：下一頁返回上一頁題解題解題解第九十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六6.求函數(shù)當(dāng)時的全增量和全微分.7.設(shè)證明：在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分.下一頁返回上一頁題解題解第一百頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六8.設(shè)，而都是可微函數(shù)，求.9.設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求.10.設(shè)，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求.下一頁返回上一頁題解題解題解第一百零一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六11.設(shè)試求和.12.求螺旋線在點處的切線及法平面方程.13.在曲面上求一點，使這點處的法線垂直于平面，并寫出這法線的方程.下一頁返回上一頁題解題解題解第一百零二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六14.設(shè)x軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點(1,1)沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù)在橢球面上點處沿外法線方向的方向?qū)?shù).下一頁返回上一頁題解題解第一百零三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六16.求平面和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點.17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點，并求此最小體積.返回上一頁題解題解第一百零四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：求定義域

需滿足即需滿足下一頁返回第一百零五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六而是D的一個內(nèi)點.返回上一頁第一百零六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：設(shè)當(dāng)時，沿的方向趨近于零顯然，該極限隨k的不同而改變.返回第一百零七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：當(dāng),顯然.當(dāng),下一頁返回第一百零八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六下一頁返回上一頁第一百零九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六同理當(dāng),顯然.當(dāng),返回上一頁第一百一十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：返回第一百一十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：返回第一百一十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解：全增量返回下一頁第一百一十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回上一頁第一百一十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六證明:

顯然時,

有返回下一頁第一百一十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回下一頁上一頁第一百一十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回下一頁上一頁第一百一十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回若令沿方向趨近于0上一頁第一百一十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百一十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百二十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百二十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回下一頁第一百二十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回上一頁第一百二十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百二十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百二十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回第一百二十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回下一頁第一百二十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回下一頁上一頁第一百二十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回上一頁第一百二十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回下一頁第一百三十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回上一頁第一百三十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六解:

返回下一頁上一頁第一百三十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回下一頁上一頁第一百三十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回下一頁上一頁第一百三十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六

返回上一頁第一百三十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六習(xí)題8-11.已知函數(shù)試求.2.試證函數(shù)滿足關(guān)系式.3.以知函數(shù)，試求

.下一頁返回第一百三十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六4.求下列各函數(shù)的定義域：下一頁返回上一頁第一百三十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六5.求下列各極限：下一頁返回上一頁第一百三十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六6.證明下列極限不存在：下一頁返回上一頁第一百三十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六7.函數(shù)在何處是間斷的？8.證明.上一頁返回第一百四十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例1

圓柱體的體積和它的底半徑、高之間具有關(guān)系這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定.例2一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間具有關(guān)系下一頁返回第一百四十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六其中為常數(shù).這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的值就隨之確定.例3設(shè)是電阻并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系這里，當(dāng)在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定.上一頁返回第一百四十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例4設(shè)求證證因為可見，對任給，取則當(dāng)下一頁返回第一百四十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六時，總有成立，所以下一頁上一頁返回第一百四十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例5

求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時為及的邊界點.但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運算都是正確的：上一頁返回第一百四十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例6求解函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域為

因不是連通的，故不是區(qū)域.但是區(qū)域，且，所以是函數(shù)的一個定義域.因，故下一頁返回第一百四十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例7

求解下一頁上一頁返回第一百四十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六上一頁返回第一百四十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六習(xí)題8-21.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)下一頁返回第一百四十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六2.設(shè)，求證.3.設(shè)，求證.4.折，

求.下一頁返回上一頁第一百五十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六5.設(shè)，在(2,4,5)處的切線對于x

軸的傾角是多少？6.求下列函數(shù)的，和下一頁返回上一頁第一百五十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六7.設(shè)，求，，及.

8.設(shè)，求及.9.驗證：滿足；滿足下一頁返回上一頁第一百五十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例1

求在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解把看作常量把看作常量將(1,2)代入上面的結(jié)果，就是下一頁返回第一百五十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例2

求的偏導(dǎo)數(shù)解

下一頁上一頁返回第一百五十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例2

求的偏導(dǎo)數(shù)解

下一頁上一頁返回第一百五十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例3

設(shè)，求證：證因為，

，所以下一頁上一頁返回第一百五十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例4求的偏導(dǎo)數(shù).解把y和z都看作常量，得由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以上一頁返回第一百五十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例6

設(shè)，求、、、及.解下一頁返回第一百五十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六返回上一頁第一百五十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例7驗證滿足方程證因為，所以，下一頁返回第一百六十頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六因此例8證明函數(shù)滿足方程

下一頁返回上一頁第一百六十一頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六其中.證

由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以下一頁返回上一頁第一百六十二頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六因此返回上一頁第一百六十三頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六習(xí)題8-31.求下列函數(shù)的全微分：2.求函數(shù)當(dāng)時的全微分.下一頁返回第一百六十四頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六3.求函數(shù)當(dāng)時的全增量和全微分.4.求函數(shù)當(dāng)時的全微分.返回上一頁第一百六十五頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六例1計算函數(shù)的全微分.解因為所以例2計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解因為下一頁返回第一百六十六頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六所以例3計算函數(shù)的全微分.解所以.返回上一頁第一百六十七頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六習(xí)題8-41.設(shè)，而，

求.2.設(shè)，而，求.下一頁返回第一百六十八頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六3.設(shè)，而，，

求.4.設(shè)，而，，求.下一頁返回上一頁第一百六十九頁，共一百八十四頁，編輯于2023年，星期六5.設(shè)，而，求.6.設(shè)，而，