變量可分離方程及齊次方程

變量可分離方程及齊次方程演示文稿當前第1頁\共有24頁\編于星期三\1點變量可分離方程及齊次方程當前第2頁\共有24頁\編于星期三\1點如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個變量的函數(shù)與這個可分離變量的方程或可以寫成的形式,易于化為形式特點變量的微分之積.兩端積分可得通解.一階微分方程一、變量可分離方程當前第3頁\共有24頁\編于星期三\1點可分離變量的方程求通解的步驟是:分離變量,兩邊積分1.2.將上式一階微分方程其中C為任意常數(shù).由上式確定的函數(shù)就是方程的通解(隱式通解).這種解方程的方法稱為分離變量法.當前第4頁\共有24頁\編于星期三\1點例1求方程的通解.注意:

反映某種函數(shù)指數(shù)增長或指數(shù)衰減的現(xiàn)象.一階微分方程當前第5頁\共有24頁\編于星期三\1點一階微分方程例2求方程的通解.解分離變量兩端積分為方程的通解.隱式通解當前第6頁\共有24頁\編于星期三\1點二、齊次方程如果一階微分方程可以寫成齊次方程.即得到u滿足的方程即的形式,作變量代換代入則稱之為可分離變量的方程分離變量兩邊積分,求出通解后,就得到原方程的通解.1.齊次型方程一階微分方程當前第7頁\共有24頁\編于星期三\1點但分離變量,直接求解得到:這兩種解都不包含在前面的通解中.一階微分方程當前第8頁\共有24頁\編于星期三\1點例3求的通解.一階微分方程當前第9頁\共有24頁\編于星期三\1點分析解令方程變?yōu)辇R次方程可分離變量方程一階微分方程例4當前第10頁\共有24頁\編于星期三\1點兩邊積分即得通解分離變量一階微分方程當前第11頁\共有24頁\編于星期三\1點為齊次型方程.(其中h和k是待定的常數(shù))否則為非齊次型方程.解法一階微分方程2.可化為齊次的微分方程的微分方程有唯一一組解.當前第12頁\共有24頁\編于星期三\1點有唯一一組解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.一階微分方程中必至少有一個為零.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.●●當前第13頁\共有24頁\編于星期三\1點可分離變量.一階微分方程未必有解,上述方法不能用.方程可化為當前第14頁\共有24頁\編于星期三\1點解代入原方程得一階微分方程例5

是非齊次型方程.方程組是齊次型方程.分離變量法得方程變?yōu)楫斍暗?5頁\共有24頁\編于星期三\1點分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)橐浑A微分方程即或當前第16頁\共有24頁\編于星期三\1點求解下列微分方程一階微分方程例6

解題提示方程中出現(xiàn)等形式的項時,通常要做相應(yīng)的變量代換當前第17頁\共有24頁\編于星期三\1點一階微分方程解求微分得代入方程

可分離變量方程當前第18頁\共有24頁\編于星期三\1點解代入原式分離變量法得所求通解為另解一階線性方程.

可分離變量方程一階微分方程方程變形為當前第19頁\共有24頁\編于星期三\1點三、增長與衰減模型一階微分方程有高為1米的半球形容器,解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里流出,例7小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).水從它的底部小孔當前第20頁\共有24頁\編于星期三\1點所求規(guī)律為一階微分方程可分離變量方程當前第21頁\共有24頁\編于星期三\1點可分離變量的微分方程分離變量兩端積分一階微分方程四、小結(jié)解法:隱式(或顯式)通解當前第22頁\共有24頁\編于星期三\1點一階微分方程一階微分方程的解題程序(1)審視方程,判斷方程類型;(2)根據(jù)不同類型,確定解題方案;(3)若方程的求解最終化為分離變量型的,則作適當變換;(4)做變量替換后得出的解,最后一定要還原為原變量.