2023年高等數(shù)學(xué)：常微分方程的基礎(chǔ)知識和典型例題

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高等數(shù)學(xué)：常微分方程的基礎(chǔ)知識和典型例題常微分方程

一、一階微分方程的可解類型

（一）可分別變量的方程與一階線性微分方程

1.（05,4分）微分方程_________.1

2ln(1)9

xyyxxy'+==-滿足的解為

2

2

22223332.+ln,=ln.

111

lnlnln.

339

111

(1)0ln.

939

dxxdyyxexdxx

d

xxxdxxxxdxCxdxCxxxyCyxxx?==+=+-=-=?=-??分析：這是一階線性微分方程原方程變形為兩邊乘得

(y)=積分得y=C+由得

2.（06,4分）(1)

yxx

-'————.微分方程y=

的通解為111

(1).lnln.,CxxdydxyxxCyexeyxyCxeC--=-=-+==分析：這是可變量分別的一階方程，分別變量得

積分得，即因此，原微分方程的通解為其中為隨意常數(shù).

（二）奇次方程與伯努利方程

1.（97,2,5分）2

2

2

(32)(2)0xxyydxxxydy+-+-=求微分方程的通解.

22223122+1-23

,

1ln13ln,1=..yxudyxduudxuudxxuduududxuux

uuxCuuCxyCuxxyyxx

-=-+-+-=-++-=

+-=解：所給方程是奇次方程.令=,則=+.代入原方程得3（1-）+(1-2)=0.

分別變量得積分得即以代入得通解

2.(99,2,7分)

1(0(0),0

xydxxdyxy=?-=>??=??求初值問題的解.

1,2y,(()0,0.

ln(.udxdyxdyxduudxxuxxduudxxdudxxxuCuCxy

Cxx

=+-+=-=-=+==

=解：所給方程是齊次方程(因,的系數(shù)(與(-)都是一次齊次函數(shù)）.令帶入得

化簡得分別變量得積分得ln即以

代入原方程通解為2

21

.10,=1.(1).2

xy

Cxyx====-再代入初始條件得故所求解為，或?qū)懗?/p>

（三）全微分方程練習(xí)題

2()(0)0,(0)1,()()()fxffxyxfxfxxfx'=='(94,1,9分）設(shè)具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

[(+y)-y]dx+[+y]dy=0為一全微分方程，求以及全微分方程的通解

2222

00

222[()()][()],2()()2,()().

()0,1()2cossin2.

[2(2cossin)](22sincoxxxyxyfxyfxxyyx

xxyfxfxxyfxfxxyyx

fxyyfxxxxxyyxxydxxyxx==??'+-=+??''''+-=++=''?+=??

'

==??=++-+-+++-+解：由全微分方程的條件，有

即亦即因而是初值問題的解，從而解得原方程化為22222222s)0.11

()2()(2sincos)(2sincos)0,221

[2(cos2sin)]0.2

1

2(cos2sin).

2

xdyydxxdyydxxdyydxxxxdydxyxyyxxxyxyyxxC=+++=++-=++-=先用湊微分法求左端微分式的原函數(shù)：

其通解為

（四）由自變量轉(zhuǎn)變量與因變量轉(zhuǎn)變量之間的關(guān)系給出的一階微分方程

2

44y

4.98,3()=

,01(0)=(1)()2.().().().

yyxxyxxx

xyyABCeDeπ

π

ααππππ=??+?→+?（分）已知函數(shù)在隨意點(diǎn)處的增量當(dāng)初,是的高階無窮小，，則等于（）

2

arctan2

arctan41,lnarctan,.1(0)(),

(1).()

x

xy

yx

dydxyxCyCeyx

yyxeyeDπ

ππππ'=

+'==+=+===分析：由可微定義，得微分方程.分別變量得兩邊同時(shí)積分得即代入初始條件，得C=，于是由此，應(yīng)選

二、二階微分方程的可降階類型

5.00,330xyy'''+=（分）微分方程的通解為_____

33032

12=P()y=P3

30,.

yxCxPPxxyPxxCyCx

''''''''+====+分析：這是二階微分方程的一個(gè)可降階類型，令，則，方程可化為一階線性方程標(biāo)準(zhǔn)形式為P+P=0，兩邊乘得(P)=0.通解為.

再積分得所求通解為

200

1

6.02,312

xxyyyyy

==''''+==（分）微分方程=0滿足初始條件，的特解是_____20

111()(.12

0,

lnln11

01,22

1

,22xdydPdPyPyyyPdxdxdy

dPdP

yP

yPPydydydPdy

Py

C

PyCCy

xyPyCyPydyy=''''===='=+=''===='==分析：這是二階的可降階微分方程.令以為自變量)，則代入方程得+P=0，即+=0(或=0,，但其不滿足初始條件）.分別變量得積分得+=，即P=(P=0對應(yīng)=0)；

由時(shí)，=得

，于是

22.

2.,11xdxyxCy

Cy===+===積分得又由得，所求特解為

三、二階線性微分方程

（一）二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)

12127.01,3(sincos)(,)xyeCxCxCC=+（分）設(shè)為隨意常數(shù)為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_____.

122212121212121221()()()220.220.

(sincos)[()sin()cos],(2sxxxrrirrrrrrrrrrrryyyyeCxCxyeCCxCCxyeC=±--=-++=-+='''-+==+'''=-++=-分析一：由通解的形式可得特征方程的兩個(gè)根是，，從而得知特征方程為由此，所求微分方程為分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么類型（只要是二階），由通解求得112in2cos),,220.

xCxCCyyy+'''-+=從這三個(gè)式子消去與得

（二）求解二階線性常系數(shù)非齊次方程

29.07,4432=_____xyyyey'''-+=（分）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為

222232.1243(1)(3)01,3.

,2.(483)22.2.

xxx

x

xxxeyAeAAAeeAyCeCeeαλλλλλλα-+=--====*=-+=?=-=+-分析：特征方程的根為非齊次項(xiàng)不是特征根，非齊次方程有特解代入方程得因此，通解為

10.(10,10)322xyyyxe'''-+=分求微分方程的通解.

2122122221320,1,2.

2()2,1().

(4)223[(2)]2()2,222,xxxxyCeCefxxeyxaxbeaxabxabaxabxbaxbxxaxabxaαλλλλα??-+===?=+==*=+++++-+++++=-+-=?=分析：這是求二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解.

由相應(yīng)的特征方程得特征根相應(yīng)的齊次方程的通解為非齊次項(xiàng)是單特征根，故設(shè)原方程的特解代入原方程得即212121,2.

3(2),xxxbyCeCexxeCC?-=-=+-+原方程的通解為其中，為兩個(gè)隨意常數(shù).

（三）確定二階線性常系數(shù)非齊次方程特解的類型

22222042,41sin()(sincos).()(sincos).()sin.()cos.

yyxxAyaxbxcxAxBxByxaxbxcAxBxCyaxbxcAxDyaxbxcAx'''+=++*=++++*=++++*=+++*=+++（，分）微分方程的特解形式可設(shè)為（）

222210,.

11sin2,(2)()sinsin(0,1),(sincos).

(sinxiyyxyyxyaxbxcfxexxiyxAxBxyaxbxcxAxαλλβαβαβ+==±''''+=++=*=++====±*=+*=+++分析：相應(yīng)的二階線性齊次方程的特征方程是特征根為由線性方程解的迭加原理，分離考察方程（）與（）

方程(1)有特解方程的非齊次項(xiàng)，

是特征根它有特解因此原方程有特解cos).().

BbxA+應(yīng)選(四)二階線性變系數(shù)方程與歐拉方程

22

212.(04,4)420(0)_______.dydyxxyxdxdx

++=>分歐拉方程的通解為

222222121212

122

(ln)(41)20,320.320,1,2,.,,.tttxetxdydydydy

yydxdtdtdt

yCeCeCCyCCxxλλλλ--==+-+=++=++==-=-=+=

+分析：求解歐拉方程的辦法是：作自變量，將它化成常系數(shù)的情形：即相應(yīng)的特征方程特征根通解為因此，所求原方程的通解為其中為隨意常數(shù)

20

(05,2,12cos(0)(1)01,2xxxttxyxyyy

yπ=='''==?（分）設(shè)對隨意曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于

求的普通表達(dá)式02

2()(,())()()().

0()().1()()(),()()()()

()()()2()()x

x

yfxxfxYfxfxXxXyYfxxfxftdtfxxfxx

xftdtxfxxfxfxfxxfxxfxxfxx='-=-'==-'=-'=-*''''=+--'??

解：曲線上點(diǎn)處的切線方程為令得軸上的截距由題意（含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與積分的方程），為消去積分，兩邊乘以得

恒等式兩邊求導(dǎo)，得，即112()()0

()000,()0

(),,0,.

()ln.

fxfxxfxxyyC

yPxyPxPPyPx

yfxCxC''+='''*==+=''''''==+=====+在式中令得自然成立.故不必再加附加條件.就是說是微分方程的通解.令則解得再積分得

2.98,2,8(),(,)(0,1)1,()yyxxyyxyyx==+=（分）設(shè)是一向上凸的延續(xù)曲線其上隨意一點(diǎn)且此曲線上點(diǎn)處的切線方程為求該曲線的方程，并求函數(shù)的極值

.

22

12

1(),0,,1.1(),11,arctan.1(0)1(0)1,4

tan().

4

lnyyxyyyy

PyPxyPPdP

dxPxCPyPCyPxyπ

π

''=